Aufgaben der Klasse 5

Landesverband Mathematikwettbewerbe NRW e. V.
5. Landeswettbewerb 1999 in
Leverkusen
Aufgaben der Klassen 12 und 13
1. Aufgabe:
Es seien a, b, c, d reelle Zahlen mit den Eigenschaften
a 2  c2  b2  d 2
(1)
ab  cd  0.
(2)
Man beweise, daß dann stets gilt a 2  d 2 und b2  c 2 .
2. Aufgabe:
Gegeben sei eine Folge ganzer Zahlen a1, a2, a3,.... Es wird nun eine neue Folge x0, x1, x2,... gebildet,
indem man x0 = 1 und x1 = a1 setzt, und danach x2, x3,... schrittweise aus der Gleichung
xk + 1 =ak  xk + xk – 1, k = 1, 2, 3,...
bestimmt. Entsprechend bildet man die Folge y0, y1, y2,... , indem man y0 = 1, y1 = a1 + 1 setzt und
anschließend y2, y3,... schrittweise gemäß
yk + 1 =ak  yk + yk – 1, k = 1, 2, 3,...
berechnet.
Beweisen Sie, daß für jede positive ganze Zahl k die beiden Zahlen xk und yk zueinander teilerfremd
sind.
3. Aufgabe:
Die Punkte A, B, C und D liegen so auf einem Kreis k mit dem Mittelpunkt M, daß sie die Eckpunkte
eines Sehnenvierecks ABCD des Kreises k sind und die Diagonalen AC und BD senkrecht zueinander
sind.
Man beweise, daß die Seite CD doppelt so lang ist wie der Abstand des Punktes M von der Seite AB.