Aufgaben Klasse 12, 14. Blatt

Aufgaben Klasse 12, 14. Blatt
Aufgabe 14.1
Es seien a, b und c reelle Zahlen. Es sei bekannt, daß die Gleichung
√
√
√
√
√
√
a + bx + b + cx + c + ax = a − bx + b − cx + c − ax
wenigstens eine reelle Lösung x hat. Finde alle Lösungen der Gleichung!
Aufgabe 14.2
Beweise, daß es in jeder arithmetischen Folge (erster Ordnung) natürlicher Zahlen zwei Glieder
mit gleicher Quersumme gibt.
Aufgabe 14.3
Beweise die Youngsche Ungleichung:
Es sei y = ϕ(x) mit ϕ(0) = 0 für x > 0 monoton wachsend und x = ϕ−1 (y) die zu ϕ inverse
Funktion. Weiter seien
F (x) =
Zx
ϕ(x0 )dx0 , F ∗ (y) =
Zy
ϕ−1 (y 0)dy 0
0
0
zwei für x, y > 0 definierte Funktionen. Beweise, daß für alle a, b > 0 die Ungleichung
a · b ≤ F (a) + F ∗ (b)
gilt. Wann gilt Gleichheit?
Hinweis: Stelle Dir das Problem geometrisch vor.
Aufgabe 14.4
∞
Es seien Folgen a = (an )∞
n=1 und q = (qn )n=1 mit qi > 0 gegeben. Es sei Qn = q1 + ... + qn und
n
1 X
qi ai , Gn (a, q) =
An (a, q) =
Qn i=1
n
Y
i=1
! Q1
n
aqi i
die gewichteten arithmetischen und geometrischen Mittel. Beweise
An − Gn ≥
Qn−1
(An−1 − Gn−1 ) .
Qn
Hinweis: Benutze die Bernoullische Ungleichung.
Dr. Holger Stephan
e-mail: [email protected]
URL: http://www.wias-berlin.de/people/stephan/msg.htm