U.43 a1,a2,...,an und b1,b2,...,bn seien beliebige reelle Zahlen

U.43 a1 , a2 , . . . , an und b1 , b2 , . . . , bn seien beliebige reelle Zahlen. Dann gilt
¶
µ
¡ 2
¢ 2 1 2 1 2
1 2
2
2
2
a1 + 2a2 + 3a3 + · · · + nan b1 + b2 + b3 + · · · + bn
2
3
n
≥ (a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 + · · · + an bn )2 .
√
√
U.43 Beweis: Setzen wir uk ≡ k ak und vk ≡ bk / k, k = 1, 2, . . . , n, dann gilt
2
u =
n
X
k=1
u2k
=
n
X
k=1
ka2k ,
2
v =
n
X
k=1
vk2
n
X
1 2
b ,
=
k k
k=1
u·v =
n
X
k=1
uk vk =
n
X
ak bk .
k=1
Die Behauptung folgt direkt aus der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung u 2 · v 2 ≥ (u · v)2 . ¤