Blatt 2 - Mathematisches Institut

Übungen zur Vorlesung
Analysis für Informatiker und Lehramt
Abgabetermin: Fr. 28.10.2016 bis 11:00 Uhr
Abgabeort: Postfach Radl, Zimmer A 514
Mathematisches Institut
Universität Leipzig
Agnes Radl
Blatt 2
Aufgabe 1
Zeigen Sie folgende Behauptungen mit Hilfe vollständiger Induktion:
(a) Für jedes n ∈ N gilt
n
X
k=1
1
1
=1−
.
k(k + 1)
n+1
(b) Sei x eine reelle Zahl und x 6= 1. Dann gilt für jedes n ∈ N0
n
X
k=0
xk =
1 − xn+1
.
1−x
Aufgabe 2 (Bernoullische Ungleichung)
Sei x eine reelle Zahl. Zeigen Sie mit Hilfe vollständiger Induktion:
Falls x ≥ −1 ist, dann gilt für jedes n ∈ N die Ungleichung
(1 + x)n ≥ 1 + nx.
An welcher Stelle haben Sie die Voraussetzung x ≥ −1 verwendet?
Aufgabe 3
Zeigen Sie nachfolgende Aussagen.
(a) Für jedes x ∈ R gilt x ≤ |x|.
(b) Für jedes x ∈ R gilt |−x| = |x|.
(c) Für x ∈ R und C ∈ (0, ∞) gilt genau dann −C < x < C, wenn |x| < C erfüllt ist.
Aufgabe 4
(a) Zeigen Sie, dass für beliebige reelle Zahlen x und y folgende Ungleichung gilt:
|x| − |y| ≤ |x − y| .
(b) Zeigen Sie, dass für beliebige reelle Zahlen x, y, u und v folgende Ungleichung gilt:
|x − y| − |u − v| ≤ |x − u| + |v − y| .