¨Ubung zur Analysis 1 Blatt 2 Im Folgenden sei K stets ein

Prof. Dr. J. Ebert
PD Dr. T. Timmermann
Übung zur Analysis 1
Blatt 2
Abgabe bis Do, 30.10., 12 Uhr
Aufgabe 1 zur Bearbeitung in der Übung
Aufgaben 2-4 zur selbständigen Bearbeitung
Im Folgenden sei K stets ein angeordneter Körper.
Aufgabe 1. (a) Zeigen Sie: |a − b| ≥ |a| − |b| und |a + b| ≥ |a| − |b| für alle
a, b ∈ K.
(b) Das arithmetische, geometrische und harmonische Mittel zweier positiver
Zahlen a, b ∈ K ist definiert als
A(a, b) =
a+b
,
2
H(a, b) =
2ab
.
a+b
Zeigen Sie: H(a, b) ≤ A(a, b).
P
(c) Zeigen Sie: (1 + n1 )n ≤ nk=0 k!1 für alle n ∈ N0 .
Aufgabe 2. Sei n ∈ N0 und x ∈ K mit x ≥ −1. Beweisen Sie mit vollständiger
Induktion die Bernoullische Ungleichung
(1 + x)n ≥ 1 + nx.
Aufgabe 3. Zeigen Sie, dass für alle a, b, c, d ∈ K gilt:
(a) max{x, y} = 21 (x + y + |x − y|) und min{x, y} = 12 (x + y − |x − y|);
(b) (ab + cd)2 ≤ (a2 + c2 )(b2 + d2 ).
Aufgabe 4. Zeigen Sie:
(a) 2n ≤ (n + 1)! für alle n ∈ N0 ;
(b) (1 + n1 )n < 3 für alle n ∈ N. (Hinweis: Verwenden Sie 1(c), 4(a) und die Formel
für die geometrische Summe vom letzten Blatt.)
Zusatzaufgabe 5. Zeigen Sie mit Hilfe von 4(b) und vollständiger Induktion
n
die Ungleichung n3 ≤ n!3 für alle n ∈ N.
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