TU Dortmund Prof. Dr. Matthias Röger M.Sc. Nils Dabrock

Sommersemester 2017
TU Dortmund
Prof. Dr. Matthias Röger
M.Sc. Nils Dabrock
Klassische Theorie der partiellen Differentialgleichungen
Blatt 5
Abgabe: am 24.05.2016 in der Übung
Aufgabe 17 (6 Punkte). Sei u ∈ L1loc (Rn ) gegeben und erfülle u die Mittelwertungleichung
Z
u(y) dHn−1 (y)
(1)
u(x) ≤ −
∂B(x,r)
für fast alle x ∈ Rn , r > 0. Zeigen Sie, dass u distributionell subharmonisch ist, das heißt für
alle ϕ ∈ Cc∞ (Rn ) mit ϕ ≥ 0 gilt
Z
u(x) (−∆ϕ) (x) dx ≤ 0.
(2)
Rn
Gehen Sie dafür in mehreren Schritten vor:
(i) Zeigen Sie, dass Funktionen u ∈ C 2 (Rn ), die die Ungleichung (1) erfüllen, bereits subharmonisch im klassischen Sinne sind.
(ii) Sei η ∈ Cc2 (Rn ) nichtnegativ. Zeigen Sie, dass auch u ∗ η die Ungleichung (1) erfüllt.
2
(iii) Folgern Sie aus
R (i) und (ii) die Behauptung. Betrachten sie dazu η ∈ Cc (B(0, 1))−nnichtnegativ mit Rn η = 1 und die zugehörige Diracfolge (ηδ )δ>0 , die durch ηδ (x) = δ η( xδ )
definiert ist.
Aufgabe 18 (5 Punkte).
(i) Seien u1 , u2 ∈ C 2 (Rn ) subharmonisch und sei u ∈ C 0 (Rn ) definiert durch u(x) :=
max{u1 (x), u2 (x)}. Zeigen Sie, dass dann −∆u ≤ 0 im Distributionssinn gilt (vgl. die
Definition in Aufgabe 17).
(ii) Sei h ∈ C 2 (Rn ) harmonisch. Beweisen Sie, dass −∆|h| ≤ 0 im Distributionssinn gilt.
Aufgabe 19 (5 Punkte). Sei U ⊂ Rn offen und beschränkt, q ∈ C 0 (U ) und φ ∈ C 0 (∂Ω).
(1) Seien u1 , u2 ∈ C 2 (U ) ∩ C 0 (U ) Lösungen von
−∆u1 ≤ q in U,
u1 ≤ φ
auf ∂U,
−∆u2 ≥ q in U,
u2 ≥ φ
auf ∂U.
Zeigen Sie, dass u1 ≤ u2 in U .
(2) Sei nun U ⊂ B(x0 , R) für ein x0 ∈ Rn und R > 0 und u ∈ C 2 (U ) ∩ C 0 (U ) eine Lösung
von
−∆u = q in U,
u=φ
auf ∂U.
Weiter gebe es reelle Zahlen m ≤ M und k ≤ 0 ≤ K mit
m≤φ≤M
k≤q≤K
auf ∂U,
in U.
Zeigen Sie, dass für alle x ∈ U
k
K
m+
R2 − |x − x0 |2 ≤ u(x) ≤ M +
R2 − |x − x0 |2 .
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