¤Info Kleines Computer-Lexikon (wird von LETRA98 benutzt) Rechnen/Algebra Sekundarstufe I © by J. Widmer, ATEUS 98 Zweck: Nachschlagen von unbekannten Begriffen Repetition und Prüfungsvorbereitung Vernetzen des Lernstoffes durch "Surfen" im Lexikon ¤Addition Verknüpfung (Operation) zweier Zahlen durch "+" Terme der Addition: 3 + 1.Summand 4 plus auch der Term = 2.Summand 7 gleich Summe 3+4 heisst Summe Addition ganzer Zahlen ausführlich: vereinfacht: (+5)+(+3)=+8 5+3=8 (+8)+(-5)=+3 8-5=3 (-2)+(-5)=-7 -2-5=-7 (+3)+(-7)=-4 3-7=-4 Merkregeln: +(+a) => +a -(-a) => +a +(-a) => -a -(+a) => -a Addition von Brüchen Brüche müssen vor dem Addieren gleichnamig gemacht werden. 4 5 28 25 53 18 — + — = —— + —— = —— = 1 —— 5 7 35 35 35 23 ¤arithmetisches Mittel auch "Durchschnitt" (z.B. Noten) Das arithmet. Mittel aus n Zahlen ist der Quotient aus der Summe dieser Zahlen, dividiert durch n. ¤Assoziativgesetz auch Zusammenfassungsgesetz; es gilt für die Addition: (a+b)+c = a+(b+c) und für die Multiplikation: (a·b)·c = a·(b·c) ¤aufzählende Form eine Mengendarstellung, bei der die Elemente aufgezählt werden. Beispiel: A={3,6,9} A ist die Menge mit den Elementen 3,6 und 9 ¤ausklammern Verwandeln einer Summe bzw. Differenz in ein Produkt Anwendung der Distributivgesetze (Verteilungsgesetze) Beispiel: 4a ausklammern 12ab + 8a - 4ac = 4a(3b + 2 - c) ¤ausmultiplizieren Verwandeln eines Produktes in eine Summe bzw. Differenz Anwenden der Distributivgesetze (Verteilungsgesetze) Beispiel: Klammer mit 3a ausmultiplizieren 3a(2c + c - 1) = 6ac + 3ac - 3a ¤Aussage Sprachliche Gebilde, für die es sinnvoll ist zu fragen, ob sie wahr oder falsch sind, heissen Aussagen. Beispiele: Bern ist die Hauptstadt der Schweiz. Der Igel ist ein Nagetier. 3+7=11 (wahre Aussage) (falsche Aussage) (falsche Aussage) Keine Aussagen sind: Wie geht es Dir? 5+x=12 Hole Wasser! ¤Aussageform Sprachliche Gebilde mit Leerstellen oder Platzhaltern, welche aus einer Aussage entstanden sind, heissen Aussageformen. Beispiele: 3 + x = 10 ... ist Haupstadt von Spanien. 45 < y < 90 ¤Basis 5 a =a·a·a·a·a Potenz mit Basis a und Exponent 5 ¤beschreibende Form eine Form der Mengendarstellung, bei der die Elemente beschrieben werden. Beispiel: M = {x/ 23 < x < 50} IN "M ist die Menge aller x aus IN, für die gilt: x liegt zwischen 23 und 50." ¤Bewegungsaufgaben In diesen Aufgaben kommen die Grössen Weg (s) , Zeit (t) und Geschwindigkeit (v) vor. Es gilt: s v = — t <=> s = v·t <=> s t = — v Bei zwei bewegten Körpern wird der Bewegungsvorgang am besten zuerst im s-t-Diagramm aufgezeichnet. ¤Beziehungen zwischen Zahlen Teiler: 8 ist Teiler von 24 <=> Vielfache: 24 ist Vielfaches von 8 24 ist durch 8 teilbar <=> 8 ist in 24 enthalten zwischen Mengen Gleiche Mengen: Zwei Mengen A und B heissen gleich, wenn jedes Element von A auch zu B gehört und umgekehrt. In Zeichen: A = B Teilmengen: Eine Menge A heisst Teilmenge einer Menge B, wenn jedes Element von A auch zu B gehört. In Zeichen: A B Jede Teilmenge ist Teilmenge von sich selbst: A A Die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge: {} A ¤Binärsystem siehe Zweiersystem ¤Bruttogewicht "Rohgewicht", Gewicht mit Verpackung In der Prozentrechnung gilt: (Beispiel) Bruttogweicht —> 100% Tara —> 20% ——————————————————————————— Nettogewicht —> 80% ¤Bruttorechnungsbetrag In der Warenkalkulation gilt: (Beispiel) Für den Abzug des Rabatts: Bruttorechnungsbetrag —> 100% Rabatt —> 20% ——————————————————————————————————— Nettorechnungsbetrag —> 80% ("Rohbetrag") (Mengenvergünstigung) Für den Abzug des Skonto: Nettorechnungsbetrag —> 100% Skonto —> 2% —————————————————————————————————— Warenpreis —> 98% ("Reinbetrag") (Vergünstigung für prompte Bezahlung) ¤Dezimalbruch Bei der Division zweier natürlicher Zahlen unterscheiden wir die folgenden drei Fälle: 1. 20 : 4 = 5 Die Division geht auf, der Rest ist 0 2. 21 : 8 = 2,625 Es entsteht ein abbrechender Dezimalbruch ———————————— 3. 10 : 7 = 1,428571428571... Es ensteht ein nicht abbrechender Dezimalbruch ——————————————————————————————— (mit Periode: 428571; auch periodischer Dezimalbruch) ¤Differenz "Unterschied" zweier Zahlen; Resultat einer Subtraktion Die Terme heissen: 20 9 = 11 Minuend minus Subtrahend gleich Differenz Beachte: auch der Term 20-9 heisst Differenz ¤direkt proportional Beispiel für eine direkte Proportion: Weg in km Zeit in h ————————— ————————— 30 —> 4 150 —> 20 "... je grösser der Weg ... desto grösser die Zeit ..." Der Weg ist (direkt) proportional zur Zeit (bei gleichförmiger Bewegung) Es gelten die Proportionen: 4 : 30 = 30 : 4 = 30 : 150 150 : 30 ihr Kreuzprodukt ist immer: 20 : 150 150 : 20 = 4 : 20 = 20 : 4 30·20 = 150·4 ¤Distributivgesetze Verteilungsgesetze der Multiplikation bezüglich der Addition und Subtraktion: a(b+c)=ab+ac und a(b-c)=ab-ac ¤Dividend Terme der Division: 8 : 4 = 2 Dividend durch Divisor gleich Quotient ¤Division Verknüpfung (Operation) durch ":" Terme der Division: 8 : 4 = 2 Dividend durch Divisor gleich Quotient Auch der Term 8 : 4 bzw. 8 — 4 heisst Quotient Division ganzer Zahlen ausführlich: vereinfacht: (+12):(+3)=+4 12:3=4 (-15):(+3)=-5 (-15):3=-5 (+24):(-8)=-3 24:(-8)=-3 (-20):(-5)=+4 (-20):(-5)=4 Merkregeln: + durch + => + - durch - => + + durch - => - durch + => - Division von Brüchen Zwei Brüche werden durcheinander dividiert, indem man den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten Bruches multipliziert. 3 7 3 8 3·8 24 — : — = — · — = ——— = —— 5 8 5 7 5·7 35 a e a f af — : — = — · — = —— b f b e be ¤Divisor Terme der Division: 8 : 4 = 2 Dividend durch Divisor gleich Quotient ¤Dualsystem siehe Zweiersystem ¤Durchschnitt Durchschnitt von Zahlen: siehe arithmetisches Mittel Durchschnitt von Mengen: eine Mengenverknüpfung Unter dem Durchschnitt zweier Mengen A und B versteht man die Menge aller Elemente, die sowohl zu A als auch zu B gehören. D = A B In Zeichen: Beispiele: A = {3,6,9,12,15,18,21,24,...} B = {5,10,15,20,25,...} D = A B = {15,30,45,60,...} Beachte: A A = A A {} = {} {} {} = {} ¤Element In der Mathematik spricht man von einer Menge, wenn von jedem Ding feststeht, ob es zur Menge gehört oder nicht. Jene Dinge, die zu einer Menge gehören heissen Elemente dieser Menge. ¤elementefremd Zwei Mengen heissen elementefremd, wenn ihr Durchschnitt die leere Menge ist. ¤Erweitern Erweitern heisst: Zähler und Nenner eines Bruches mit der gleichen Zahl multiplizieren Ziel des Erweiterns ist meistens das Gleichnamigmachen zur Addition bzw. Subtraktion von Bruchzahlen. ¤Exponent 5 a =a·a·a·a·a Potenz mit Basis a und Exponent 5 ¤Faktor Terme der Multiplikation: 3 1. Faktor · mal 4 2. Faktor = gleich Beachte: auch 3·4 ist ein Produkt 12 Produkt ¤Flächenmasse Die Flächeneinheiten: 2 1 km = 100 ha = 10'000 a 2 = 1'000'000 m 2 1 ha = 100 a = 10'000 m 2 1 a = 100 m 2 1 m 2 2 2 = 10'000 cm = 1'000'000 mm 2 = 10'000 mm = 100 dm 2 2 1 dm = 100 cm 2 2 1 cm = 100 mm Merke für die Umwandlungszahlen bei Flächeneinheiten: "grosse Einheit" —> "kleine Einheit" 2 km —> ·100 ha —> ·100 a —> ·100 2 m —> ·100 "kleine Einheit" —> "grosse Einheit" 2 mm 2 —> cm :100 ·0,01 2 —> dm —> :100 :100 ·0,01 ·0,01 2 m —> :100 ·0,01 mal Umrechnungszahl 2 dm —> ·100 2 cm —> ·100 durch Umwandlungszahl a —> :100 ·0,01 ha 2 —> km :100 ·0,01 1. Beispiel für das Auffinden der Umwandlungszahlen bei Flächeneinheiten: 2 Aufgabe: Wieviele m sind in 23,56 ha enthalten? Lösung: 2 ha —> ·100 a —> ·100 2 ha —> m ·10'000 ————————— m Es sind 23,56·10'000 = 2 235'600 m —————————— 2. Beispiel für das Auffinden der Umwandlungszahl bei Flächeneinheiten: 2 Aufgabe: Wieviele a sind in 3'345 dm enthalten? Lösung: 2 a —> :100 m 2 —> :100 dm 2 mm 2 a —> dm :10'000 ————————— Es sind 3'345 : 10'000 a = 0,3345 a ———————— ¤ganze Zahlen ———+———+———+———+———+———+———+———+———+———+———+———+———+———+——> -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 Die Menge der ganzen Zahlen besteht aus den negativen Zahlen, + den positiven Zahlen und der Zahl 0: Z = Z {0} Z ( = Vereinigung) Operationen siehe unter : Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division ¤Gefälle Unter dem Gefälle bzw. der Steigung versteht man den Höhenunterwschied in Prozenten der horizontalen Distanz. Beispiel: Eine Strasse überwindet auf eine horizontale Distanz von 12 km einen Höhenunterschied von 300 m. 12000 m —> 100% 300 m — > x 300·100 x = ——————— % = 2,5 % 12000 Die Steigung bzw. das Gefälle beträgt 2,5 % ¤Geschwindigkeit Weg Geschwindigkeit = ————— Zeit s v = — t Die (durchschnittliche) Geschwindigkeit ist der pro Zeiteinheit zurückgelegte Weg. Umrechnung: km 1 —— h m 1 — s = 1000 m —————— 3600 s 18 = —— 5 km —— h 5 —— 18 = m — s km = 3,6 —— h Merke: 1 m/s = 3,6 km/h ¤Gewichtsmasse Die Gewichtseinheiten: 1 t = 1000 kg 1 kg = 1000 g 1 g = 1000 mg Selten gebraucht: 1 q = 100 kg (Zentner, früher Doppelzentner) Zum Merken: t —> ·1000 kg —> ·1000 g —> ·1000 mg mg —> :1000 g —> :1000 kg —> :1000 t ¤Gewinn Beispiel: Selbstkosten —> 100% Gewinn —> 30% —————————————————————— Verkaufspreis 130% ¤ggT Der grösste gemeinsame Teiler von Zahlen ist das Produkt der gemeinsamen Primfaktoren ihrer Zerlegungen. Beispiel: ggT(308,420) = ? 308 = 2·2·7·11 420 = 2·2·3·5·7 = 2·2 ·7·11 = 2·2·3·5·7 ggT(308,420) = 2·2·7 = 28 Merke für das Bruchrechnen: Der ggT aus Zähler und Nenner ist die grösstmögliche Kürzungszahl. ¤Gleichnamigmachen ... heisst: Zähler und Nenner eines Bruches mit der gleichen Zahl multiplizieren. ... ist nötig bei der Addition und Subtraktion ungleichnamiger Brüche. kleinster gemeinsamer Nenner: ggT ¤Gleichung Sind T1 und T2 Terme, so heisst T1 Lösungsbeispiel: 8x + 10 = 6(x+4) 8x + 10 = 6x + 24 2x + 10 = 24 2x = 14 x = 7 L = {7} ¤Grösse | -6x | -10 | :2 Endgleichung Lösungsmenge = T2 Gleichung Eine Grösse (12 km) besteht aus Masszahl (12) und Massbenennung (km) Beispiele: m 3 4m , 5— , 4,56 m s ¤Grundwert Im Beispiel ... 3 % von 400 Fr. = 3/100 von 400 Fr. = 3·4 Fr. = 12 Fr. ... ist der Grundwert 400 Fr. (das Ganze) in der Prozentrechnung gilt: Grundwert —> 100% Prozentwert —> p (p Prozentsatz) Beispiele für Grundwerte: Kapital, Bruttorechnungsbetrag (Rabatt), Nettorechnungsbetrag (Skonto) Selbstkosten, Bruttogewicht, Horizontaldistanz ¤Hohlmasse Die Volumeneinheiten (Hohlmasse): 3 1 m 3 = 1000 dm 3 3 1 dm = 1000 cm 3 3 1 cm = 1000 mm 1hl = 1 l = 1 dl= 1 cl= 3 = 1'000'000 cm 3 = 1'000'000 mm 100 l 10 dl = 100 cl = 1000 ml 10 cl = 100 ml 10 ml Beachte besonders: 3 3 1 l = 1 dm 1000 l = 1 m 3 1 ml = 1 cm Merke für die Umwandlungszahlen bei Volumeneinheiten: "grosse Einheit" —> "kleine Einheit" mal Umrechnungszahl 3 3 3 —> hl —> l=dm —> dl —> cl —> ml=cm —> ·10 ·100 ·10 ·10 ·10 ·1000 ——————·1000——————> —————————·1000—————————> m "kleine Einheit" —> "grosse Einheit" 3 mm 3 mm durch Umwandlungszahl 3 3 3 —> ml=cm —> cl —> dl —> l=dm —> hl —> m :1000 :10 :10 :10 :100 :10 ——————————:1000——————————> ——————:1000—————> 1. Beispiel für das Auffinden der Umwandlungszahlen bei Volumeneinheiten: 3 Aufgabe: 3,4 m = ? l Lösung: 3 m —> ·1000 3 dm = l (1 Kubikdezimeter = 1 Liter) (1 Kubikmeter = 1000 Liter) Es sind 3,4 ·1000 l = 3'400 l 2. Beispiel für das Auffinden der Umwandlungszahl bei Volumeneinheiten: 3 Aufgabe: 34'000 cm = ? hl Lösung: 3 cm = ml —> :1000 3 dm = l —> hl :100 Empfehlung: schrittweise vorgehen 3 34'000 cm = 34'000 : 1000 l = 34 l = 34 : 100 hl = 0,34 hl ¤indirekt proportional Beispiel für eine indirekte Proportion: Geschwindigkeit in km/h Zeit in h ——————————————————————— ————————— 45 —> 4 60 —> 3 " ...je grösser die Geschwindigkeit, desto kleiner die Zeit ..." Die Geschwindigkeit ist indirekt (umgekehrt) proportional zur Zeit. Es gilt die Proportion: 45 : 60 = 3 : 4 und die Produktengleichung: 45·4 = 60·3 (umgekehrtes Verhältnis) ¤Kapital Ein Geldbetrag: Guthaben, Darlehen, Hypothek, Schuld Zinsrechnung: K Kapital in Fr.; z Zins in Fr.; p Zinssatz in %; t Zeit in d; Jahreszinsformel: K·p z = ——— <=> 100 z·100 K = ————— p Marchzinsformel: K·p·t z = ——————— <=> 100·360 z·100·360 K = ————————— p·t ¤Kehrwert a b der Kehrwert von — ist — b a 1 der Kehrwert von a ist — a 1 der Kehrwert von — b ist b Durch eine Bruchzahl wird dividiert, indem man mit ihrem Kehrwert multipliziert: 2 4 2 5 5 — : — = — · — = — 3 5 3 4 6 ¤kgV Das kleinste gemeinsame Vielfache von Zahlen ist das Produkt der höchsten Potenzen der in ihren Zerlegungen vorkommenden Primfaktoren. Beispiel: kgV(756,1200) = ? 3 756 = 2·2·3·3·3·7 = 2 3 · 3 · 7 4 1200 = 2·2·2·2·3·5·5 = 2 4 kgV(756,1200) = 2 2 · 3 3 · 3 · 5 2 · 5 · 7 = 75600 ¤Klammern Klammern zeigen an, was zuerst gerechnet werden muss. z.B.: 15(23+12)-3(9-7) = 15·35 - 3·2 = ... Klammern wegschaffen: 1. Klammern auflösen a + (b + c - d) = a + b + c - d a - (b + c - d) = a - b - c + d 2. Klammern ausmultiplizieren 3a(2b - c + 4) = 3a·2b - 3a·c + 3a·4 = 6ab - 3ac + 12a ¤Kommutativgesetz auch Vertauschungsgesetz der Addition: a+b = b+a der Multiplikation: a·b=b·a ¤Kreuzprodukt Eine Gleichungsumformung: Quotientengleichung: a c — = — oder a:b=c:d b d <=> Produktengleichung: (Kreuzprodukt) a·d = b·c Anwendung: "Dreisatz"-Aufgaben 125 g —> 28 Fr. 380 g —> x 125 28 ——— = —— 380 x <=> 380·28 x = —————— = 85,12 [Fr.] 125 Algebra/Geometrie: Ueber das Kreuzprodukt lässt sich die vierte Proportionale (x) berechnen: ac a : x = b : c <=> bx = ac <=> x = —— b ¤Kubikzahl Ist a eine natürliche Zahl, so ist 3 a·a·a = a Kubikzahl Beispiele: 1, 8, 27, 64 (=4·4·4) , 125, ... ¤Kürzen ... heisst: Zähler und Nenner eines Bruches durch die gleiche Zahl dividieren. Grösstmögliche Kürzungszahl: ggT aus Zähler und Nenner ¤Kursumrechnung Bedeutung des DM-Kurses 88,20/89,50 (in der Schweiz): Die Bank zahlt für 100 DM 88,20 Fr. (Kauf) Der Kunde zahlt für 100 DM 89,50 Fr. (Verkauf) Beispiele: Ich brauche 300 DM. Kosten b. obigem Kurs: 100 DM —> 89,50 Fr. (Verkauf) 300 DM —> x x = 268,50 Fr. Ich bringe 860 DM und kriege bei obigem Kurs: 100 DM —> 88,20 Fr. (Kauf) 860 Dm —> y y = 758,52 Fr. ¤Längenmasse Die Längeneinheiten: 1 km = 1000 m 1 m = 10 dm 1 dm = 10 cm 1 cm = 10 mm 1 m = 100 cm = 1000 mm = 100 mm = 0,001 km 1 dm = 0,1 m 1 cm = 0,1 dm 1 mm = 0,1 cm = 0,01 m = 0,01 dm = 0,001 m Merke für die Umwandlungszahlen bei Längeneinheiten: "grosse Einheit" —> "kleine Einheit" km —> ·1000 m —> ·10 dm —> ·10 mal Umwandlungszahl cm "kleine Einheit" —> "grosse Einheit" mm —> :10 oder ·0,1 cm —> :10 ·0,1 dm —> :10 ·0,1 —> ·10 mm durch Umwandlungszahl m —> :1000 ·0,001 km 1. Beispiel für das Auffinden der Umwandlungszahlen bei Längeneinheiten: Aufgabe: Wieviele cm sind in 45,3 km enthalten? Lösung: km —> m —> dm —> cm km —> cm ·1000 ·10 ·10 ·100'000 ————————— Es sind 45,3·100'000 cm = 4'530'000 cm ———————————— 2. Beispiel für das Auffinden der Umwandlungszahl bei Längeneinheiten: Aufgabe: Wieviele dm sind in 358 mm enthalten? Lösung: mm —> :10 cm —> :10 dm mm —> dm :100 ————————— Es sind 358 : 100 dm = 3,58 dm ——————— ¤Marchzins Zins für t Tage z t K Kapital in Fr.; p Zinssatz in %; t Zeit in d; Marchzinsformel: K·p·t z = ——————— t 100·360 ¤Massumrechnung Beispiele für Massumrechnungen findest Du unter den Stichwörtern: Flächenmasse Geschwindigkeit Gewichtsmasse Hohlmasse Längenmasse Zeitmasse ¤Menge In der Mathematik spricht man von einer Menge, wenn von jedem Ding feststeht, ob es zur Menge gehört oder nicht. Jene Dinge, die zu einer Menge gehören heissen Elemente dieser Menge. ¤Mengendiagramm Darstellung von Mengen mit Mengenbild(ern) Menge: geschlossene ovale Linie, innerhalb die Elemente ¤Minuend Term der Subtraktion: 12 3 = 9 Minuend minus Subtrahend gleich Differenz ¤Multiplikation Verknüpfung (Operation) zweier Zahlen durch "·" Terme der Multiplikation: 3 1. Faktor · mal 4 2. Faktor = gleich 12 Produkt auch der Term 3·4 ist ein Produkt Multiplikation ganzer Zahlen ausführlich: vereinfacht: (+5)·(+3)=+15 5·3=15 (-8)·(+5)=-40 (-8)·5=-40 (+3)·(-7)=-21 3·(-7)=-21 (-2)·(-5)=+10 (-2)·(-5)=10 Merkregeln: + mal + => + - mal => + + mal - mal + => => - Multiplikation von Brüchen Zwei Brüche werden miteinander multipliziert, indem man je die Zähler und die Nenner miteinander multipliziert. 3 4 3·4 12 — · — = ——— = —— 5 7 5·7 35 ¤natürliche Zahlen sind die Zahlen, die wir beim Zählen verwenden: {1, 2, 3, 4, 5, ...} Sie heissen auch positive Zahlen und gehören zu den ganzen Zahlen. ¤negative Zahlen ———+———+———+———+———+———+———+———+———+———+———+———+———+———+——> -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 Die Menge der ganzen Zahlen besteht aus den negativen Zahlen, + den positiven Zahlen und der Zahl 0: Z = Z {0} Z ( = Vereinigung) Operationen siehe unter : Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division ¤Nettogewicht "Reingewicht", Gewicht ohne Verpackung In der Prozentrechnung gilt: (Beispiel) Bruttogweicht —> 100% Tara —> 20% ——————————————————————————— Nettogewicht —> 80% ¤Nettorechnungsbetrag In der Warenkalkulation gilt: (Beispiel) Für den Abzug des Rabatts: Bruttorechnungsbetrag —> 100% Rabatt —> 20% ——————————————————————————————————— Nettorechnungsbetrag —> 80% ("Rohbetrag") (Mengenvergünstigung) Für den Abzug des Skonto: Nettorechnungsbetrag —> 100% Skonto —> 2% —————————————————————————————————— Warenpreis —> 98% ("Reinbetrag") (Vergünstigung für prompte Bezahlung) ¤Operation Verknüpfung zweier ... ... Zahlen: Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division ... Mengen: Durchschnitt, Vereinigung ¤Periode Bei der Division ... 10 : 7 = 1,428571428571... ... ensteht ein nicht abbrechender Dezimalbruch mit Periode: 428571; auch periodischer Dezimalbruch _ 1/3 =0,3333... =0,3 (lies: "Null Komma Periode 3") ¤Platzhalter auch Variable, Stellvertreter für eine Zahl in der Algebra z.B.: a, b, c, ..., x, y, z, A, B , C ,... ¤positive Zahlen ———+———+———+———+———+———+———+———+———+———+———+———+———+———+——> -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 Die Menge der ganzen Zahlen besteht aus den negativen Zahlen, + den positiven Zahlen und der Zahl 0: Z = Z {0} Z ( = Vereinigung) Die Menge der positiven ganzen Zahlen ist gleich der Menge der natürlichen Zahlen. Operationen siehe unter : Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division ¤Potenz 5 a =a·a·a·a·a Potenz mit Basis a und Exponent 5 ¤Primfaktor Ist ein Teiler einer natürlichen Zahl prim, so heisst er Primfaktor. Primfaktorzerlegung von 270 = 2·3·3·3·5 ¤Primzahl Eine natürliche Zahl mit genau 2 Teilern heisst Primzahl: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ... ¤Produkt 3 1. Faktor · mal 4 2. Faktor = gleich Beachte: auch 3·4 ist ein Produkt 12 Produkt ¤Promille "Tausendstel" Beispiel: 3 0/00 von 5000 Fr. = 3/1000 von 5000 Fr. = 3·5 Fr. = 15 Fr. ¤Proportion auch Verhältnisgleichung, Quotientengleichung siehe auch direkt proportional, Kreuzprodukt Beispiel: 30 : 4 = 120 : 16 <=> (Kreuzprodukt) 30·16=4·120 "30:4" und "120:6" sind Verhältnisse ¤Prozent "Hundertstel" Beispiel: 3 % von 400 Fr. = 3/100 von 400 Fr. = 3·4 Fr. = 12 Fr. ¤Prozentsatz Im Beispiel ... 3 % von 400 Fr. = 3/100 von 400 Fr. = 3·4 Fr. = 12 Fr. ... ist der Prozentsatz 3 % ¤Prozentwert Im Beispiel ... 3 % von 400 Fr. = 3/100 von 400 Fr. = 3·4 Fr. = 12 Fr. ... ist der Prozentwert 12 Fr. ¤Quadratzahl Ist a eine natürliche Zahl, so ist a·a bzw. a² eine Quadratzahl Beispiele f. Quadratzahlen: 1, 4, 9, 16, 25 (=5·5), 36, 49, ... ¤Quotient Terme der Division: 8 : 4 = 2 Dividend durch Divisor gleich Quotient Auch der Term 8 : 4 bzw. 8 — 4 heisst Quotient ¤Rabatt In der Warenkalkulation gilt: (Beispiel) Für den Abzug des Rabatts: Bruttorechnungsbetrag —> 100% Rabatt —> 20% ——————————————————————————————————— Nettorechnungsbetrag —> 80% Für den Abzug des Skonto: ("Rohbetrag") (Mengenvergünstigung) Nettorechnungsbetrag —> 100% Skonto —> 2% —————————————————————————————————— Warenpreis —> 98% ("Reinbetrag") (Vergünstigung für prompte Bezahlung) ¤Rest Rest der Division 13 : 5: 13 : 5 = 2 Rest 3 <=> 5·2+3=13 Zahlen mit 7er-Rest 2 haben bei der Division durch 7 den Rest 2: 2, 9, 16, 23, 30, 37, 44, ... Beisp.: 37 : 7 = 5 Rest 2 ¤Selbstkosten Beispiel: Selbstkosten —> 100% Gewinn —> 30% —————————————————————— Verkaufspreis 130% ¤Skonto In der Warenkalkulation gilt: (Beispiel) Für den Abzug des Rabatts: Bruttorechnungsbetrag —> 100% Rabatt —> 20% ——————————————————————————————————— Nettorechnungsbetrag —> 80% ("Rohbetrag") (Mengenvergünstigung) Für den Abzug des Skonto: Nettorechnungsbetrag —> 100% Skonto —> 2% —————————————————————————————————— Warenpreis —> 98% ("Reinbetrag") (Vergünstigung für prompte Bezahlung) ¤Steigung Unter der Steigung bzw. dem Gefälle versteht man den Höhenunterwschied in Prozenten der horizontalen Distanz. Beispiel: Eine Strasse überwindet auf eine horizontale Distanz von 12 km einen Höhenunterschied von 300 m. 12000 m —> 100% 300 m — > x (Kreuzprodukt) 30000 x = ————— % = 2,5 % 12000 Die Steigung bzw. das Gefälle beträgt 2,5 % ¤Subtrahend Terme der Subtraktion: 12 3 = 9 Minuend minus Subtrahend gleich Differenz ¤Subtraktion Verknüpfung (Operation) zweier Zahlen durch "-" Terme der Subtraktion: 12 3 = 9 Minuend minus Subtrahend gleich Differenz auch der Term 12 - 3 heisst Differenz Subtraktion ganzer ausführlich: (+5)-(+3)=+2 (+5)-(-3)=+8 (-5)-(+3)=-8 (-5)-(-3)=-2 Zahlen vereinfacht: 5-3=2 5+3=8 -5-3=-8 -5+3=-2 Merkregeln: +(+a) => +a -(-a) => +a +(-a) => -a -(+a) => -a Subtraktion von Brüchen Brüche müssen vor dem Subtrahieren gleichnamig gemacht werden. 4 5 28 25 3 — - — = —— - —— = —— 5 7 35 35 35 ¤Summand Terme der Addition: 3 1.Summand + plus 4 2.Summand ¤Summe Terme der Addition: = 7 gleich Summe 3 + 1.Summand plus auch der Term 4 = 2.Summand 7 gleich Summe 3+4 heisst Summe ¤Tara Gewicht der Verpackung In der Prozentrechnung gilt: (Beispiel) Bruttogweicht —> 100% Tara —> 20% ——————————————————————————— Nettogewicht —> 80% ¤Teilbarkeit natürliche Zahlen sind teilbar durch - 2, 3, 4, 5, 6, 7 8, 9, wenn ihre Endziffer gerade ist wenn ihre Ziffersumme durch 3 teilbar ist wenn ihr Hunderterrest durch 4 teilbar ist wenn ihre Endziffer 0 oder 5 ist wenn sie durch 2 und durch 3 teilbar sind (probieren) wenn ihr tausenderrest duch 8 teilbar ist wenn ihre Ziffernsumme durch 9 teilbar ist ¤Teiler Beispiel: 3 ist Teiler von 12 (12 ist Vielfaches von 3) alle Teiler von 40: 1 40 2 20 4 10 5 8 ————— 8 5 Menge der Teiler von 40: T = {1,2,4,5,8,10,20,40} 40 ¤teilerfremd Zwei natürliche Zahlen heissen teilerfremd, wenn ihr ggT 1 ist. Beispiele: 5 und 7, 12 und 35 ¤Teilmenge Eine Menge A heisst Teilmenge einer Menge B, wenn jedes Element von A auch zu B gehört. In Zeichen: A B Jede Teilmenge ist Teilmenge von sich selbst: A A Die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge: {} A ¤Term Definition: 1. Jede Zahl und jeder Platzhalter (Variable) für eine Zahl heisst ein Term. 2. Jede Summe, Differenz, jedes Produkt, jeder Quotient und jede Potenz zweier Terme ist wieder ein Term. Beispiele für Terme: 2 2, 4, c, 0, x, 2+3, a-3c, 4a(3c+2e-1), (a+b) Keine Terme sind die folgenden Gebilde: 3x = 12 3x < 45 3+4=7 9-4=8 (Gleichung, Aussageform) (Aussageform, Ungleichung) (Gleichung, wahre Aussage, Termumformung) (falsche Aussage) ¤Variable auch Platzhalter, Stellvertreter für eine Zahl In der Gleichung ax - b = c heisst x auch Lösungsvariable, falls sie nach x aufgelöst wird. ¤Vereinigung Vereinigung von Mengen: eine Mengenverknüpfung Unter der Vereinigung zweier Mengen A und B versteht man die Menge aller Elemente, die zu A oder zu B gehören. (oder zu beiden Mengen; "oder" im nicht ausschliessenden Sinn) In Zeichen: D = A B Beispiele: A = {3,6,9,12,15,18,21,24,...} B = {5,10,15,20,25,...} D = A B = {3,5,6,9,10,12,15,18,20,21,24,25,...} Beachte: A A = A A {} = A {} {} = {} ¤Verhältnis Das Verhältnis zweier Zahlen ist ihr Quotient: Beispiel: " 12 zu 16 " 12 —> —— 16 = 12 : 16 = 3 : 4 Das Verhältnis zweier Grössen ist der Quotient ihrer Masszahlen. "25 m zu 20 m" —> 25 : 20 = 5 : 4 = 1 : 0,8 = 1,25 : 1 ¤Verkaufspreis Beispiel: Selbstkosten —> 100% Gewinn —> 30% —————————————————————— Verkaufspreis 130% ¤Verknüpfung auch Operation Verknüpfung zweier ... ... Zahlen: Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division ... Mengen: Durchschnitt, Vereinigung ¤Verlust Beispiel: Selbstkosten —> 100% Verlust —> 30% —————————————————————— Verkaufspreis 70% ¤Vertauschungsgesetz auch Kommutativgesetz der Addition: a+b = b+a der Multiplikation: a·b=b·a ¤Verteilungsgesetze Verteilungsgesetze der Multiplikation (auch Distributivgesetze) bezüglich der Addition und Subtraktion: a(b+c)=ab+ac und a(b-c)=ab-ac ¤Verteilungsrechnung 1. Beispiel: Eine Strecke von 90 cm soll im Verhältnis 3 : 4 : 11 geteilt werden. 1.Teil: 3x 2.Teil: 4x 3.Teil: 11x Gleichung: 18x=90 —> 3·5 m = 15 m —> 4·5 m = 20 m —> 11·5 m = 55 m <=> x=5 2. Beispiel: Anna und Paul sollen 340 Fr. so teilen, dass Anna 20 Fr. mehr kriegt als Paul. Anteil Anna: x+20 Anteil Paul: x —> 180 Fr. —> 160 Fr. Gleichung: 2x+20=340 <=> x=160 3. Beispiel: Peter und Fritz sollen 308 Fr. so teilen dass Fritz 20% mehr kriegt als Peter. Anteil von Peter: 100% von x = x Anteil von Fritz: 120% von x =1,2x —> 140 Fr. —> 168 Fr. Gleichung: 2,2x=308 <=> x=140 ¤Vielfache Beispiel: 12 ist Vielfaches von 3 (3 ist Teiler von 12) Die Menge der Vielfachen von 4: V = {4, 8, 12, 16, 20, 24, ...} 4 ¤Volumina siehe Hohlmasse ¤Währungsumrechnung Bedeutung des DM-Kurses 88,20/89,50 (in der Schweiz): Die Bank zahlt für 100 DM 88,20 Fr. (Kauf) Der Kunde zahlt für 100 DM 89,50 Fr. (Verkauf) Beispiele: Ich brauche 300 DM. Kosten b. obigem Kurs: 100 DM —> 89,50 Fr. (Verkauf) 300 DM —> x x = 268,50 Fr. Ich bringe 860 DM und kriege bei obigem Kurs: 100 DM —> 88,20 Fr. (Kauf) 860 Dm —> y ¤Zahlengerade y = 758,52 Fr. ———+———+———+———+———+———+———+———+———+———+———+———+———+———+——> -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 Sie dient der Veranschaulichung der negativen und positiven Zahlen, welche zusammen mit der Zahl 0 die Menge der ganzen Zahlen bilden. s.a. ganze Zahlen, positive Zahlen, negative Zahlen ¤Zehnerpotenz Eine Potenz mit der Basis 10: 0 10 = 1 ; 1 10 = 10 ; 2 10 = 100 ; 3 6 10 = 1000 ; 10 = 1 Mio. ¤Zeitmasse Die Zeiteinheiten: 1 d = 24 h 1 h = 60 min = 3600 sec (oder s) 1 min = 60 s 1 sec = 1000 msec (oder ms) d —> ·24 msec h —> ·60 —> :1000 sec min —> ·60 —> :60 min sec —> ·1000 —> :60 h msec —> :24 d 1. Aufgabenbeispiel zur Umrechnung von Zeiteinheiten: Aufgabe: Wieviele h, min und sec sind 38'000 sec ? Lösung: 38'000 : 3600 = 10 Rest 2000 2000 : 60 = 33 Rest 20 Es sind 10 h 33 min —> 10 h —> 33 min 20 sec 2. Aufgabenbeispiel für die Umrechnung von Zeiteinheiten: Aufgabe: 3,6 h = ? min Lösung: 3 h = 3 · 60 min = 180 min 0,6 h = 0,6 · 60 min = 36 min Es sind 216 min ¤Zins z Zins in Fr.; K Kapital in Fr.; p Zinssatz in %; t Zeit in d; Jahreszinsformel: K·p z = ——— 100 Marchzinsformel: K·p·t z = ——————— 100·360 ¤Zinssatz z Zins in Fr.; K Kapital in Fr.; p Zinssatz in %; t Zeit in d; Jahreszinsformel: K·p z = ——— <=> 100 Marchzinsformel: K·p·t z = ——————— 100·360 z·100 p = ————— K <=> z·100·360 p = ————————— K·t ¤Zuordnung Beispiel für die Zuordnung zweier Grössen: "... 23 kg kosten 245 Fr. ..." Gewicht in kg 23 Betrag in Fr. —————————> usw. 245 Wird z.B. zur Darstellung von Dreisatzaufgaben verwendet. ¤Zusammenfassungsgesetz auch Assoziativgesetz; es gilt für die Addition: (a+b)+c = a+(b+c) und für die Multiplikation: (a·b)·c = a·(b·c) ¤Zweiersystem Stellenwertsystem mit 2er-Bündelung; Basis=2 Es kennt nur die Ziffern 0 und 1 Die Zahlen heissen auch Dualzahlen oder Binärzahlen. Beispiel: die Zahl 101011 auf dem "Rechenbrett" dargestellt: ——————————————————————————— 5 4 3 2 1 0 ... 2 2 2 2 2 2 ——————————————————————————— 32 16 8 4 2 1 ——————————————————————————— 1 0 1 0 1 1 hat den dezimalen Wert: 32+8+2+1=43