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Vorkurs Mathematik
1
Einführung in die mathematische Notation
Konstanten
•
•
•
i
e
komplexe Einheit
Eulersche Zahl
Kreiszahl
i2 + 1 = 0
2
Einführung in die mathematische Notation
Bezeichner
• Primzahlen, Zähler und Nenner von Brüchen
kleine kursive Buchstaben, möglichst p, q
• ganze Zahlen
kleine kursive Buchstaben, möglichst i, j, k, l, m, n
• reelle und komplexe Zahlen
kleine kursive Buchstaben
Buchstaben, möglichst nicht ff, g
g, h
h, ii, jj, kk, ll, m
m, n
n, p
p, q
• Skalarfaktoren in (Vektor-) Gleichungen
kleine griechische Buschstaben
• Punkte
P kt
große kursive Buchstaben, möglichst P, Q, R
• Matrizen
große
ß kursive Buchstaben
3
Einführung in die mathematische Notation
Bezeichner
• Mengen
große kursive Buchstaben A, B, …
• Kurven
möglichst C, K
• (Ober-) Flächen
möglichst F
F, S
• Volumina
möglichst V
• Zahlenmengen
Z hl
•
Elemente von Mengen
kleine kursive Buchstaben
4
Einführung in die mathematische Notation
Bezeichner
• Mengen von Mengen
große kaligraphische Buchstaben
• Leere Menge
•
•
Funktionen
kleine kursive Buchstaben
Buchstaben, möglichst f,
f g,
g h
Polynome
kleine kursive Buchstaben, möglichst p, q
5
Einführung in die mathematische Notation
M
Menge
d natürlichen
der
tü li h Z
Zahlen
hl
Menge der ganzen Zahlen
Menge
e ge de
der rationalen
at o a e Zahlen
a e
Menge der reellen Zahlen
Menge der komplexen Zahlen
Menge der positiven reellen Zahlen
Menge der negativen reellen Zahlen
entsprechend
entsprechend
6
Elementare Rechenoperationen mit reellen Zahlen
Aufbau des Zahlensystems
•
Die natürlichen Zahlen
– Zum Zählen, genauer zum Abzählen der Elemente endlicher Mengen
genügen die Zahlen 1,2,3,4, usw. Die Gesamtheit dieser Zahlen, zu
denen man noch die Null hinzunehmen kann,, nennt man die Menge
g N
der Natürlichen Zahlen:
N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, . . . }
N* = {{1, 2, 3, 4, 5, 6, . . . }
7
Elementare Rechenoperationen mit reellen Zahlen
Aufbau des Zahlensystems
•
Grundgesetze
g
der Anordnung
g
– Zwischen zwei natürlichen Zahlen a und b besteht genau eine der
Beziehungen a < b, a = b, a > b
– a=a
(Reflexivität)
– aus a = b folgt b = a
(Symmetrie)
– aus a = b und b = c folgt a = c
(Transitivität)
– aus a ≤ b und b < c folgt a < c
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Elementare Rechenoperationen mit reellen Zahlen
Aufbau des Zahlensystems
•
Grundgesetze
g
der Addition
– Zu zwei natürlichen Zahlen a und b existiert stets die Summe a + b im
Bereich der natürlichen Zahlen
– aus a = a‘
a und b = b‘
b folgt a + b = a‘
a +b
b‘
(Eindeutigkeit)
– a+b=b+a
(Kommutativgesetz)
– (a + b) + c = a + (b + c)
(Assoziativgesetz)
– aus a < b folgt a + c < b + c
(Monotoniegesetz)
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Elementare Rechenoperationen mit reellen Zahlen
Aufbau des Zahlensystems
•
Grundgesetze
g
der Subtraktion
– Existiert zu zwei natürlichen Zahlen a und b eine natürliche Zahl x, die
die Gleichung
a + x = b erfüllt,, so heißt x = b – a Differenz von b und a
– x = b – a ist eindeutig bestimmt, falls es existiert
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Elementare Rechenoperationen mit reellen Zahlen
Aufbau des Zahlensystems
•
Grundgesetze
g
der Multiplikation
p
– Zu zwei natürlichen Zahlen a und b existiert stets das Produkt a · b im
Bereich der natürlichen Zahlen. Für „a · b“ schreibt man auch „ab“.
– aus a = a‘
a und b = b‘
b folgt ab = a
a‘b‘
b
(Eindeutigkeit)
– ab = ba
(Kommutativgesetz)
– (ab)c = a(bc)
(Assoziativgesetz)
– (a + b)c = ac + bc
(Distributivgesetz)
– aus a < b und c > 0 folgt ac < bc
(Monotoniegesetz)
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Elementare Rechenoperationen mit reellen Zahlen
Aufbau des Zahlensystems
•
Grundgesetze
g
der Division
– Existiert zu zwei natürlichen Zahlen a und b, wobei a ≠ 0 ist, eine
natürliche Zahl x, die die Gleichung ax = b erfüllt, so schreibt man
(Quotient von b und a)) und nennt a Teiler von b (kurz:
(
a | b).
)
x = b/a (Q
– x = b/a ist eindeutig bestimmt, falls es existiert
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Elementare Rechenoperationen mit reellen Zahlen
Aufbau des Zahlensystems
•
Die g
ganzen Zahlen
– Die Differenz zweier natürlichen Zahlen a und b (x = b – a) exsistiert im
Bereich der natürlichen Zahlen N genau dann wenn a ≤ b ist. Um die
Differenz auch für a > b angeben
g
zu können,, erweitert man die Menge
g
der natürlichen Zahlen um die negativen ganzen Zahlen. Diese erhält
man dadurch, dass man die natürlichen Zahlen mit einem Minuszeichen
versieht, also -1, -2, -3, . . .
– Es gilt dann für a > b:
a–b=–(b–a)
– Alle angegebenen Grundgesetze gelten auch in der Menge Z der
ganzen Zahlen
Z = { . . . , - 3, - 2, - 1, 0 , 1, 2, 3, . . .}
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Elementare Rechenoperationen mit reellen Zahlen
Aufbau des Zahlensystems
•
Die Grundgesetze
g
der Subtraktion können für die g
ganzen Zahlen ergänzt
g
werden um
– Zu je zwei ganzen Zahlen a und b existiert genau eine ganze Zahl
x = b – a,, die die Gleichung
g a + x = b erfüllt.
•
Bemerkung:
– Die Einführung der negativen Zahlen erfolgte zunächst auf Grund von
praktischen Bedürfnissen, wie z.B. Rechnen mit Guthaben (positiv) und
Schulden (negativ)
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Elementare Rechenoperationen mit reellen Zahlen
Aufbau des Zahlensystems
•
Die rationalen Zahlen
– Der Quotient
zweier ganzen Zahlen a und b, wobei a ≠ 0 ist,
existiert im Bereich der ganzen Zahlen nur dann, wenn b ein
ganzzahliges
g
g Vielfaches von a ist. Um den Q
Quotienten auch dann
angeben zu können, wenn die Division a : b „nicht aufgeht“, muss man
die Menge der ganzen Zahlen um die Brüche erweitern, indem man den
Ausdruck , der zunächst nur symbolische
y
Bedeutung
g hat, als
Bezeichner einer neuen Zahlenart auffasst und rationale Zahl nennt.
Eine rationale Zahl ist also durch ein geordnetes Paar ganzer Zahlen
gegeben. In der Menge Q der rationalen Zahlen, das ist die um alle
Brüche , a ≠ 0, a und b ganz, erweiterte Menge der ganzen Zahlen,
gelten alle bisher angegeben Grundgesetze.
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Elementare Rechenoperationen mit reellen Zahlen
Aufbau des Zahlensystems
•
Die Grundgesetze
g
der Division können für die rationalen Zahlen ergänzt
g
werden um
– Zu je zwei rationalen Zahlen a ≠ 0 und b existiert genau eine rationale
Zahl
, die die Gleichung
g ax = b erfüllt.
•
Bemerkung:
– Auch die Einführung der rationalen Zahlen erfolgte zunächst auf Grund
von praktischen Bedürfnissen, um mit Bruchteilen bestimmter Längen,
Massen, gewichte usw. rechnen zu können
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Elementare Rechenoperationen mit reellen Zahlen
Aufbau des Zahlensystems
•
Die reellen Zahlen
– Der Begriff der reellen Zahl ist ein sehr tiefliegender Begriff, zu dessen
Verständnis man den Begriff des Grenzwertes (lim) benötigt.
– Die Menge R der reellen Zahlen
Zahlen, das die um die irrationalen Zahlen
erweiterte Menge der rationalen Zahlen
– Durch die reellen Zahlen werden alle Punkte der Zahlengeraden erfasst.
– Sie
Si befriedigen
b f i di
damit
d it alle
ll B
Bedürfnisse
dü f i
d
des Zähl
Zählens und
dM
Messens
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Elementare Rechenoperationen mit reellen Zahlen
Abgeleitete Rechenregeln
•
Addition und Subtraktion
– Aus den Grundgesetzen der Addition und Subtraktion folgen solche Beziehungen
wie
• - (- a) = a
• a – b = a + (- b)
• (a+b+...–c–d–...) +(e+f+...–g–h–...)
=a+b+...–c–d–...+e+f+...–g–h–...
Steht vor der Klammer ein positives Zeichen so können die Klammern ohne
Veränderung der Vorzeichen weggelassen werden.
• (a+b+...–c–d–...) -(e+f+...–g–h–...)
=a+b+...–c–d–...–e–f– ...+g+h+...
Steht hingegen vor einem Klammerausdruck ein negatives Zeichen, so
müssen beim Weglassen der Klammer alle Vorzeichen der Glieder
weggelassen
gg
werden
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Elementare Rechenoperationen mit reellen Zahlen
Abgeleitete Rechenregeln
•
Multiplikation
p
– Es gelten folgende Vorzeichenregeln:
• (+a) (+b) = +ab
• (+a) (-b)
( b) = -ab
ab
• (-a) (-b) = +ab
• (-a) (+b) = -ab
– Bei der Multiplikation von zwei Klammerausdrücken ist jedes Glied der
einen Klammer mit jedem Glied der anderen Klammer unter Beachtung
der Vorzeichenregel zu multiplizieren:
(a+b+...–c–d–...)(e+f+...–g–h–...)
= ae + af + . . . – ag – ag – . . . + be + bf + . . . – bg – bh – . . . + . . .
– ce – cf – . . . + cg + ch + . . . – de – df – . . . + dg + gh + . . . – . . .
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Elementare Rechenoperationen mit reellen Zahlen
Abgeleitete Rechenregeln
•
Multiplikation
p
– Bei der Multiplikation von mehr als zwei Klammerausdrücken wendet
man dieses Verfahren schrittweise an
– Beispiel:
(a + b) (c – d) (e – f – g)
= (ac – ad + bc – bd) (e – f – g)
= ace – acf – acg
g – ade + adf + adg
g + bce – bcf – bcg
g – bde + bdf + bdg
g
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Elementare Rechenoperationen mit reellen Zahlen
Abgeleitete Rechenregeln
•
Multiplikation
p
– Als Spezialfall erhält man die bekannten binomischen Formeln:
• (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
• (a – b)2 = a2 – 2ab + b2
• (a + b) (a – b) = a2 – b2
Beispiele:
• 4a2 + 12ab + 9b2 = ((2a + 3b))2
• a2 x2 – 2abxy + b2 y2 = (ax – by)2
• 16 u2 – 2v2 = (4u + v) (4u – v)
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Elementare Rechenoperationen mit reellen Zahlen
Abgeleitete Rechenregeln
•
Multiplikation
p
– Einen quadratischen Ausdruck der Form x2 + ax + b kann man durch
quadratische Ergänzung in einen einer binomischen Formel
entsprechenden
p
Anteil und einen Rest c aufspalten:
p
• x2 + ax + b =
– Beispiel
B i i l
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Elementare Rechenoperationen mit reellen Zahlen
Abgeleitete Rechenregeln
•
Division
– Bei der Division von Klammerausdrücken kann man nicht solche
einfachen Regeln angeben, wie das bei der Addition, Subtraktion und
Multiplikation
p
möglich
g
ist. Man dividiert eine Summe durch einen
Ausdruck, indem man jeden Summanden durch diesen Ausdruck
dividiert
– Beispiel:
– Z
Zu diesem
di
E
Ergebnis
b i kkommtt man auch
hd
durch
hA
Ausklammern
kl
gemeinsamer Faktoren
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Elementare Rechenoperationen mit reellen Zahlen
Abgeleitete Rechenregeln
•
Bruchrechnung
g
– Der Nenner muss stets verschieden von Null sein. So ist zum Beispiel
nur sinnvoll für b ≠ c.
– Man kann auch Brüche bilden, bei denen Zähler und oder Nenner
Brüche sind:
– Bei Mehrfachbrüchen muss der Hauptbruchstrich klar erkennbar sein,
denn es ist im allgemeinen
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Elementare Rechenoperationen mit reellen Zahlen
Abgeleitete Rechenregeln
•
Bruchrechnung
g
– Man kann jeden Bruch , b ≠ 0 mit einer Zahl c ≠ 0 erweitern (Zähler
und Nenner mit c multiplizieren) bzw. kürzen (Zähler und Nenner durch
c dividieren))
– Das
D Kü
Kürzen wendet
d t man an um B
Brüche
ü h zu vereinfachen
i f h
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Elementare Rechenoperationen mit reellen Zahlen
Abgeleitete Rechenregeln
•
Bruchrechnung
g
– Es ist zu beachten, dass man nur Faktoren, nicht aber Summanden
kürzen kann. So lässt sich zum Beispiel im allgemeinen der Bruch
nicht vereinfachen.
Es ist
nur für c = 0 (b ≠ 0) und für a = b (a ≠ -c)
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Elementare Rechenoperationen mit reellen Zahlen
Abgeleitete Rechenregeln
•
Bruchrechnung
g
– Nur Brüche mit gleichen Nennern lassen sich durch Addition oder
Subtraktion in folgender Weise zusammenfassen:
– Will man Brüche mit ungleichem Nenner addieren oder subtrahieren, so
hat man diese vorher durch Erweiterung auf den gleichen Nenner zu
bringen. Ein gemeinsamer Nenner ist immer das Produkt aller Nenner
(und natürlich Vielfache davon). Es gilt also zum Beispiel
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Elementare Rechenoperationen mit reellen Zahlen
Abgeleitete Rechenregeln
•
Bruchrechnung
g
– Man muss jedoch nicht immer das Produkt aller Nenner als
gemeinsamen Nenner (Hauptnenner) wählen. Bei
kann man als Hauptnenner
p
((HN)) wählen:
HN = 2 · 3 · 5 · 6 · 15 · 36 = 97200
Es genügt aber auch als HN das „kleinste gemeinsame Vielfache“ der
Nenner zu wählen.
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Elementare Rechenoperationen mit reellen Zahlen
Abgeleitete Rechenregeln
•
Bruchrechnung
g
– Um das „kleinste gemeinsame Vielfache“ zu erhalten, zerlegt man die
Nenner in Produkte von Primzahlen und erhält einen HN als Produkt der
höchsten Potenzen der Primzahlen aller Nenner
2 = 2
3 =
3
5 =
5
6 = 2·3
15 =
3·5
36 = 22 · 32
HN = 22 · 32 · 5 = 4 · 9 · 5 = 180
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Elementare Rechenoperationen mit reellen Zahlen
Abgeleitete Rechenregeln
•
Bruchrechnung
g
– Als Hauptnenner wählt man also das Produkt aus den mit den höchsten
Potenzen auftreten Primfaktoren, was die Rechnung natürlich sehr
vereinfacht:
30
Elementare Rechenoperationen mit reellen Zahlen
Abgeleitete Rechenregeln
•
Bruchrechnung
g
– Für die Multiplikation und die Division gelten die Regeln
31
Elementare Rechenoperationen mit reellen Zahlen
Übungsaufgaben
Bitte lösen Sie die Aufgaben auf dem ersten Übungsblatt!
32