Infinitesimalrechnung
19. Folgen
Eine (reelle, unendliche) Folge ist eine Abbildung von den
natürlichen Zahlen in die reellen Zahlen, so dass jeder natürlichen
Zahl n genau eine reelle Zahl an zugeordnet wird.
Eine (reelle, unendliche) Folge ist eine Abbildung von den
natürlichen Zahlen in die reellen Zahlen, so dass jeder natürlichen
Zahl n genau eine reelle Zahl an zugeordnet wird.
(n) = 1, 2, 3, ...
   
(an) = a1, a2, a3, ...
Eine (reelle, unendliche) Folge ist eine Abbildung von den
natürlichen Zahlen in die reellen Zahlen, so dass jeder natürlichen
Zahl n genau eine reelle Zahl an zugeordnet wird.
(n) = 1, 2, 3, ...
   
(an) = a1, a2, a3, ...
n-tes Glied der Folge: an
Eine (reelle, unendliche) Folge ist eine Abbildung von den
natürlichen Zahlen in die reellen Zahlen, so dass jeder natürlichen
Zahl n genau eine reelle Zahl an zugeordnet wird.
(n) = 1, 2, 3, ...
   
(an) = a1, a2, a3, ...
n-tes Glied der Folge: an
die ganze Folge: (an)
Eine (reelle, unendliche) Folge ist eine Abbildung von den
natürlichen Zahlen in die reellen Zahlen, so dass jeder natürlichen
Zahl n genau eine reelle Zahl an zugeordnet wird.
(n) = 1, 2, 3, ...
   
(an) = a1, a2, a3, ...
n-tes Glied der Folge: an
die ganze Folge: (an)
beschränkte Folge: n : S-  an  S+
Aufzählung
Bildungsgesetz
Rekursionsformel
Anfangsglied
(an) = 2, 4, 6, 8, 10, ...
an = 2n
an = 2 + an-1
a1 = 2
(bn) = 8, 10, 12, 14, ...
bn = 2(n + 3)
bn = 2 + bn-1
b1 = 8
(cn) = 2, 4, 8, 16, 32, ... cn = 2n
cn = 2cn-1
c1 = 2
(dn) = 1, 4, 9, 16, 25, ... dn = n2
dn = (1 + dn-1)2
d1 = 1
en = (1 + en-1)2
e1 = 9
(fn) = 1,1/2 ,1/3 ,1/4 , ... fn = 1/n
1/fn = 1 + 1/fn-1
f1 = 1
(gn) = -1, 1, -1, 1, -1, ... gn = (-1)n
gn = -gn-1
g1 = -1
(en) = 9, 16, 25, 36, ...
en = (n + 2)2
Ein Häufungspunkt einer Folge ist eine Zahl h, in deren
Umgebung (h - e, h + e)
für jedes e > 0 unendlich viele Glieder der Folge liegen.
Ein Häufungspunkt einer Folge ist eine Zahl h, in deren
Umgebung (h - e, h + e)
für jedes e > 0 unendlich viele Glieder der Folge liegen.
Satz von Bolzano und Weierstraß: Jede beschränkte unendliche
Folge besitzt mindestens einen Häufungspunkt.
Besitzt eine beschränkte Folge nur einen Häufungspunkt, so heißt
dieser Häufungspunkt Grenzwert der Folge.
Bernard Bolzano
(1781 - 1848)
Karl Weierstraß
(1815 - 1897)
Satz von Bolzano und Weierstraß: Jede beschränkte unendliche
Folge besitzt mindestens einen Häufungspunkt.
Besitzt eine beschränkte Folge nur einen Häufungspunkt, so heißt
dieser Häufungspunkt Grenzwert der Folge.
Eine Folge (an) konvergiert gegen den endlichen Grenzwert
a, wenn zu jedem e > 0 eine Zahl ne existiert, so dass
für alle n  ne gilt: |an - a| < e



lim an = a
n
oder kurz
Bernard Bolzano
(1781 - 1848)
(an)  a
Karl Weierstraß
(1815 - 1897)
Satz. Jede Folge enthält eine monotone Teilfolge.
an heißt Spitze der Folge, wenn an  am für  m > n.
Eine Folge besitzt endlich viele oder unendlich viele Spitzen.
Jede beschränkte Folge enthält eine konvergente Teilfolge.
Die Folge (an) konvergiert genau dann, wenn es zu jedem e > 0
eine natürliche Zahl ne   gibt, so dass für m, n ≥ ne gilt
|an – am| < e (19.3)
Augustin Louis Cauchy (1789 - 1857)
()(an) sei konvergent. |an – a| < e/2 und |a – am| < e/2.
e > |an – a| + |a – am| ≥ |an – a + a – am| = |an – am|
() Nun gelte (19.3). (an) ist beschränkt und enthält (ank)  a.
|an – ank| < e/2 und | ank – a| < e/2
e > |an – ank| + | ank – a| ≥ |an – ank + ank – a| = |an – a|
Die Folge (an) konvergiert genau dann, wenn es zu jedem e > 0
eine natürliche Zahl ne   gibt, so dass für m, n ≥ ne gilt
|an – am| < e (19.3)
Eine konvergente Folge nennt man
deshalb auch Cauchy-Folge.
In den reellen Zahlen besitzt jede
Cauchy-Folge einen Grenzwert, in
den rationalen Zahlen nicht.
Augustin Louis Cauchy (1789 - 1857)
Irrationale Zahlen lassen sich als Grenzwerte von Folgen
rationaler Zahlen definieren.
x = k
k
x2 = k
2x2 = x2 +
x k
x 
2 2x
an
k
an 1 

2 2an
Augustin Louis Cauchy (1789 - 1857)
Irrationale Zahlen lassen sich als Grenzwerte von Folgen
rationaler Zahlen definieren.
x = k
k
x2 = k
2x2 = x2 +
x k
x 
2 2x
an
k
an 1 

2 2an
3
x = k 
1
k
2x3 = x3 + k an+1 = 2 (an  2 )
an
Übung: Man setze a1 = 1 und berechne die dritte
Wurzel aus 7 auf vier zählende Stellen genau.
Satz. Seien (an) und (bn) konvergente Folgen und c , dann gilt:
(c . an) = c .
an
(an + bn) = (
(an . bn) = (
anc = (
an) + (
an)(
bn)
bn)
an)c, falls anc und (
an)c existieren
Satz. Seien (an) und (bn) konvergente Folgen und c , dann gilt:
(c . an) = c .
an
(an + bn) = (
(an . bn) = (
anc = (
an) + (
an)(
bn)
bn)
an)c, falls anc und (
an)c existieren
Satz. Eine Folge (an) konvergiert gegen den Grenzwert a, wenn die
Folge (an - a) eine Nullfolge ist.
Satz. Ist an  bn für fast alle n, dann gilt
Minorante Majorante
an 
bn.
Übung: Man bestimme die Grenzwerte der unten definierten
Folgen oder stelle ihre Divergenz fest (große Buchstaben
bezeichnen positive reelle Zahlen).
an = n-1/2
bn =
cn =
dn =
J
n
(
 Kn )I
U  Vn  Wn 2 . n
.
2
2
Kn
Un  n
n 5  Cn 4
D
n5
E2
nB
A n
1
Ln 6
L(Kn 3 / 4  Mn 5 / 8 )
+
+
4
2
3
2
n (7  L n )
(5n  3n  n )
1 1
 2)
n
n
n
1
1
1


Un 2 Vn 3 Wn 4
(1 
2
+ Gn H
Leonardo von Pisa (1170 - 1240)
Fibonacci