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Infinitesimalrechnung 19. Folgen Eine (reelle, unendliche) Folge ist eine Abbildung von den natürlichen Zahlen in die reellen Zahlen, so dass jeder natürlichen Zahl n genau eine reelle Zahl an zugeordnet wird. Eine (reelle, unendliche) Folge ist eine Abbildung von den natürlichen Zahlen in die reellen Zahlen, so dass jeder natürlichen Zahl n genau eine reelle Zahl an zugeordnet wird. (n) = 1, 2, 3, ... (an) = a1, a2, a3, ... Eine (reelle, unendliche) Folge ist eine Abbildung von den natürlichen Zahlen in die reellen Zahlen, so dass jeder natürlichen Zahl n genau eine reelle Zahl an zugeordnet wird. (n) = 1, 2, 3, ... (an) = a1, a2, a3, ... n-tes Glied der Folge: an Eine (reelle, unendliche) Folge ist eine Abbildung von den natürlichen Zahlen in die reellen Zahlen, so dass jeder natürlichen Zahl n genau eine reelle Zahl an zugeordnet wird. (n) = 1, 2, 3, ... (an) = a1, a2, a3, ... n-tes Glied der Folge: an die ganze Folge: (an) Eine (reelle, unendliche) Folge ist eine Abbildung von den natürlichen Zahlen in die reellen Zahlen, so dass jeder natürlichen Zahl n genau eine reelle Zahl an zugeordnet wird. (n) = 1, 2, 3, ... (an) = a1, a2, a3, ... n-tes Glied der Folge: an die ganze Folge: (an) beschränkte Folge: n : S- an S+ Aufzählung Bildungsgesetz Rekursionsformel Anfangsglied (an) = 2, 4, 6, 8, 10, ... an = 2n an = 2 + an-1 a1 = 2 (bn) = 8, 10, 12, 14, ... bn = 2(n + 3) bn = 2 + bn-1 b1 = 8 (cn) = 2, 4, 8, 16, 32, ... cn = 2n cn = 2cn-1 c1 = 2 (dn) = 1, 4, 9, 16, 25, ... dn = n2 dn = (1 + dn-1)2 d1 = 1 en = (1 + en-1)2 e1 = 9 (fn) = 1,1/2 ,1/3 ,1/4 , ... fn = 1/n 1/fn = 1 + 1/fn-1 f1 = 1 (gn) = -1, 1, -1, 1, -1, ... gn = (-1)n gn = -gn-1 g1 = -1 (en) = 9, 16, 25, 36, ... en = (n + 2)2 Ein Häufungspunkt einer Folge ist eine Zahl h, in deren Umgebung (h - e, h + e) für jedes e > 0 unendlich viele Glieder der Folge liegen. Ein Häufungspunkt einer Folge ist eine Zahl h, in deren Umgebung (h - e, h + e) für jedes e > 0 unendlich viele Glieder der Folge liegen. Satz von Bolzano und Weierstraß: Jede beschränkte unendliche Folge besitzt mindestens einen Häufungspunkt. Besitzt eine beschränkte Folge nur einen Häufungspunkt, so heißt dieser Häufungspunkt Grenzwert der Folge. Bernard Bolzano (1781 - 1848) Karl Weierstraß (1815 - 1897) Satz von Bolzano und Weierstraß: Jede beschränkte unendliche Folge besitzt mindestens einen Häufungspunkt. Besitzt eine beschränkte Folge nur einen Häufungspunkt, so heißt dieser Häufungspunkt Grenzwert der Folge. Eine Folge (an) konvergiert gegen den endlichen Grenzwert a, wenn zu jedem e > 0 eine Zahl ne existiert, so dass für alle n ne gilt: |an - a| < e lim an = a n oder kurz Bernard Bolzano (1781 - 1848) (an) a Karl Weierstraß (1815 - 1897) Satz. Jede Folge enthält eine monotone Teilfolge. an heißt Spitze der Folge, wenn an am für m > n. Eine Folge besitzt endlich viele oder unendlich viele Spitzen. Jede beschränkte Folge enthält eine konvergente Teilfolge. Die Folge (an) konvergiert genau dann, wenn es zu jedem e > 0 eine natürliche Zahl ne gibt, so dass für m, n ≥ ne gilt |an – am| < e (19.3) Augustin Louis Cauchy (1789 - 1857) ()(an) sei konvergent. |an – a| < e/2 und |a – am| < e/2. e > |an – a| + |a – am| ≥ |an – a + a – am| = |an – am| () Nun gelte (19.3). (an) ist beschränkt und enthält (ank) a. |an – ank| < e/2 und | ank – a| < e/2 e > |an – ank| + | ank – a| ≥ |an – ank + ank – a| = |an – a| Die Folge (an) konvergiert genau dann, wenn es zu jedem e > 0 eine natürliche Zahl ne gibt, so dass für m, n ≥ ne gilt |an – am| < e (19.3) Eine konvergente Folge nennt man deshalb auch Cauchy-Folge. In den reellen Zahlen besitzt jede Cauchy-Folge einen Grenzwert, in den rationalen Zahlen nicht. Augustin Louis Cauchy (1789 - 1857) Irrationale Zahlen lassen sich als Grenzwerte von Folgen rationaler Zahlen definieren. x = k k x2 = k 2x2 = x2 + x k x 2 2x an k an 1 2 2an Augustin Louis Cauchy (1789 - 1857) Irrationale Zahlen lassen sich als Grenzwerte von Folgen rationaler Zahlen definieren. x = k k x2 = k 2x2 = x2 + x k x 2 2x an k an 1 2 2an 3 x = k 1 k 2x3 = x3 + k an+1 = 2 (an 2 ) an Übung: Man setze a1 = 1 und berechne die dritte Wurzel aus 7 auf vier zählende Stellen genau. Satz. Seien (an) und (bn) konvergente Folgen und c , dann gilt: (c . an) = c . an (an + bn) = ( (an . bn) = ( anc = ( an) + ( an)( bn) bn) an)c, falls anc und ( an)c existieren Satz. Seien (an) und (bn) konvergente Folgen und c , dann gilt: (c . an) = c . an (an + bn) = ( (an . bn) = ( anc = ( an) + ( an)( bn) bn) an)c, falls anc und ( an)c existieren Satz. Eine Folge (an) konvergiert gegen den Grenzwert a, wenn die Folge (an - a) eine Nullfolge ist. Satz. Ist an bn für fast alle n, dann gilt Minorante Majorante an bn. Übung: Man bestimme die Grenzwerte der unten definierten Folgen oder stelle ihre Divergenz fest (große Buchstaben bezeichnen positive reelle Zahlen). an = n-1/2 bn = cn = dn = J n ( Kn )I U Vn Wn 2 . n . 2 2 Kn Un n n 5 Cn 4 D n5 E2 nB A n 1 Ln 6 L(Kn 3 / 4 Mn 5 / 8 ) + + 4 2 3 2 n (7 L n ) (5n 3n n ) 1 1 2) n n n 1 1 1 Un 2 Vn 3 Wn 4 (1 2 + Gn H Leonardo von Pisa (1170 - 1240) Fibonacci
