Miniquiz: Komplexe Zahlen

Miniquiz: Komplexe Zahlen
1. Welche der folgenden Aussagen über komplexen Zahlen sind richtig?
2 Jede reelle Zahl ist auch eine komplexe Zahl.
Richtig. Jede reelle Zahl x ∈ R kann als komplexe Zahl z = x + 0 · i interpretiert
werden.
2 Jede komplexe Zahl z ∈ C besitzt ein Inverses z −1 bezüglich der Multiplikation.
Falsch. Die Zahl z = 0 besitzt kein Reziprokes“. Für alle anderen komplexen
”
Zahlen stimmt diese Aussage.
2 Beim Multiplizieren komplexer Zahlen addiert man die Beträge und multipliziert die Argumente.
Falsch. Beim Multiplizieren komplexer Zahlen multipliziert man die Beträge und
addiert die Argumente. Das erkennt man besonders gut in der Eulerschen Darstellung. Für z1 = r1 · eiϕ1 und z2 = r2 · eiϕ2 gilt
z1 · z2 = r1 · eiϕ1 · r2 · eiϕ2 = r1 r2 · ei(ϕ1 +ϕ2 ) .
2 Der Imaginärteil einer komplexen Zahl ist stets eine reelle Zahl.
Richtig. Für eine komplexe Zahl z = a + b · i ist b der Imaginärteil. Das i gehört
also nicht zum Imaginärteil.
2. Welche Aussagen über die eingezeichneten Zahlen z1 und z2 sind wahr?
Im
2
z2
z1
1
−2
−1
0
1
−1
−2
1
2
Re
2 z2 ist die konjugiert komplexe Zahl zu z1 .
Falsch. Die konjugiert komplexe Zahl erhält man, wenn z1 an der x-Achse gespiegelt wird.
2 z2 = −z1
Falsch. Das Negative einer komplexe Zahl erhält man durch (Punkt-)Spiegelung
am Koordinatenursprung.
2 z1 und z2 haben denselben Betrag.
Richtig.
Der Betrag einer komplexen Zahl z = a + b · i ist definiert als |z| =
√
2
2
a + b , d.h. nur die Quadrate von Real- und Imaginärteil sind von Bedeutung.
Diese Quadrate stimmen bei z1 und z2 jedoch überein.
2 z2 = −z1 .
Richtig. Ausgehend von z1 gelangt man durch Spiegeln an der x-Achse (das
entspricht der Bildung von z1 ) und Spiegeln am Ursprung (das entspricht der
Bildung des Negativen) zu z2 .
3. Gegeben ist die Gleichung z 5 = 1. Welche Aussagen sind wahr?
2 Die Gleichung besitzt fünf reelle Lösungen.
Falsch. Diese Gleichung besitzt fünf komplexe Lösungen.
2 z1 = 1 und z2 = −1 sind Lösungen dieser Gleichung.
Falsch. Das gilt nur, wenn der Exponent gerade wäre. Hier ist z1 = 1 die einzige
reelle Lösung.
2 Alle Lösungen der Gleichung liegen auf dem Einheitskreis.
Richtig. Jede Lösung z = r · eiϕ muss r5 = 1, also r = 1, erfüllen.
2 Mit einem Drehwinkel von 60◦ gelangt man von einer Lösung zur nächsten.
Falsch. Der Drehwinkel beträgt 2π/5 und das entspricht 72◦ .
4. Welches der folgenden Bilder beschreibt die Lösungsmenge der Gleichung |z − i| = 32 ?
Wenn z1 eine beliebige komplexe Zahl ist, dann misst man mit |z − z1 | den Abstand
zwischen z und z1 . Die obige Gleichung sucht also alle z ∈ C, die von der Zahl
z1 = i den Abstand 3/2 haben. Das entspricht einem Kreis mit Radius r = 3/2 und
Mittelpunkt bei z1 = i. Also beschreibt die Abbildung oben links die Lösungsmenge.
2
Im
−2
Im
2
2
1
1
−1
1
2
Re
−2
−1
−1
−1
−2
−2
Im
−2
2
1
2
Re
Im
2
2
1
1
−1
1
1
2
Re
−2
−1
−1
−1
−2
−2
3
Re