Die komplexen Zahlen

Die komplexen Zahlen
Es handelt sich um Zahlen der Form z = a + b · j ∈ C mit j 2 = −1.
Zur Einführung erinnern wir uns an quadratische Gleichungen
s 2
−p
−p
±
−q
x2 + p · x + q = 0 mit Lösungen x =
2
2
Beispiel x2 − x − 1 = 0
q 1
1 2
+1 =
Wir haben x = 2 ±
2
1
2
± 12 ·
√
5, also zwei Lösungen
.
.
x1 = 1,618 und x2 = −0,618
Beispiel x2 + 2x + 3 = 0
q
√
Hier ergibt sich x = −1 ± (−1)2 − 3 = −1 ± −2 .
Es gibt folglich keine reelle Lösung, denn es gibt keine reelle Zahl w ∈ R mit w2 = −2.
√
ABER: Wie steht es mit w = 2 · j ?
2
√
2
2 · j = 2 · j 2 = −2 (!)
w =
Die Gleichung x2 + 2x + 3 = 0 hat also zwei komplexe Lösungen x = −1 ± w
√
√
x1 = −1 + 2 · j und x2 = −1 − 2 · j
Komplexe Zahlen
z =a+b·j ∈C
mit den Bestandteilen:
imaginäre Einheit
Realteil
Imaginärteil
j mit j 2 = −1
Re (z) = a ∈ R
Im (z) = b ∈ R
Die (komplex) Konjugierte
von z = a + b · j ∈ C
ist z = a − b · j ∈ C
Beispiele
√
z1 = −1 + √2 · j
z1 = −1 − 2 · j
z2 = −2 + 3 · j
z2 = −2 − 3 · j
Eine Zahl z = a + b · j heißt rein reell,
z3 = 10
z3 = 10
z4 = j
z4 = −j
wenn Im (z) = b = 0, d.h. wenn z = a ist.
Eine Zahl z = a + b · j heißt rein imaginär, wenn Re (z) = a = 0, d.h. wenn z = b · j ist.
Generell gilt: z = z sowie Re (z) =
z+z
z−z
und Im (z) =
2
2j
Quadratische Gleichungen
x2 + p · x + q = 0 mit Koeffizienten p, q ∈ R
Es gibt drei Fälle:
p 2
− q > 0 zwei verschiedene reelle Lösungen
2
p 2
− q = 0 eine „doppelte“ reelle Lösung
2
p 2
− q < 0 ein Paar konjugiert komplexer Lösungen
2
p 2
Entscheidend ist also, ob
− q T 0 bzw. ob p2 − 4 q T 0 ist.
2
∆ = p2 − 4 q heißt deshalb auch Diskriminante der Gleichung x2 + p · x + q = 0.
Gleichung vom Grad n
xn + an−1 · xn−1 + · · · + a1 · x + a0 = 0 mit Koeffizienten a0 , a1 , . . . , an−1 ∈ R
besitzt maximal n Lösungen. Als Lösungen infrage kommen reelle Zahlen oder
Paare konjugiert komplexer Zahlen.
Sie erinnern sich an den Anfang des letzten Semesters? Da ging es um Polynome und Faktorisierung. Ein Aussage war:
Ein Polynom mit reellen Koeffizienten zerfällt in ein Produkt aus
linearen Faktoren und/oder
quadratischen Faktoren, die sich nicht weiter zerlegen lassen
Die linearen Faktoren entsprechen den Nullstellen des Polynoms.
Wir können nun ergänzen:
Die (reell) unzerlegbaren quadratischen Faktoren entsprechen Paaren konjugiert komplexer
Nullstellen. Sie lassen sich dementsprechend in zwei komplexe Linearfaktoren zerlegen.