Lineare Algebra I Herbstsemester 2016 Serie 1 Prof. P. Habegger

Lineare Algebra I
Serie 1
Herbstsemester 2016
Prof. P. Habegger
Die Menge der natürlichen Zahlen wird mit N = {1, 2, 3, . . .} bezeichnet.
Aufgabe S1. (2 + 2 + 2 + 2 Punkte) Formulieren Sie die Negation der folgenden
Aussagen.
(i) Alle Menschen sind sterblich.
(ii) Die Erde ist eine Kugel.
(iii) Es gibt ein Land, welches an keinem Meer liegt und dessen Nachbarländer
auch an keinem Meer liegen.
(iv) Jede reelle Zahl ist positiv oder negativ oder gleich Null.
Aufgabe S2. (1 + 1 + 1 + 1 Punkte) Entscheiden Sie bei jeder Aussage, ob sie
wahr oder falsch ist. Eine Begründung ist nicht notwendig.
(i) Es gilt (−1)2 = 1 oder (−1)2 = −1.
(ii) Das Quadrat jeder reellen Zahl ist eine reelle Zahl und jede reelle Zahl ist
das Quadrat einer reellen Zahl.
(iii) Es gibt eine ganze Zahl, die eine reelle Zahl ist.
(iv) Jede ganze Zahl ist eine reelle Zahl.
Aufgabe S3 (2 + 2 Punkte). Seien M = {1, 2, 3, a} und N = {a, b, c, d, a}.
(i) Bestimmen Sie M ∪ N und M ∩ N .
(ii) Finden Sie eine bijektive Abbildung M → N .
Aufgabe E1 (4 Punkte). An welcher Stelle im folgenden “Beweis” steckt der
Fehler? Begründen Sie Ihre Antwort!
Behauptung: Für jede ganze Zahl n ≥ 0 gilt 2n = 1.
Beweis: Der Beweis ist per Induktion. Die Aussage stimmt für
n = 0, da 20 = 1 per Definition. Somit ist die Induktionsverankerung bewiesen.
Nun kommen wir zum Induktionsschritt. Wir nehmen also n ≥ 0
an und dass 2k = 1 für alle 0 ≤ k ≤ n gilt. Wir möchten 2n+1 = 1
nachweisen.
Es gilt
22n
2n · 2n
1·1
2n+1 = n−1 = n−1 =
= 1,
2
2
1
wobei die ersten zwei Gleichungen aus elementaren Rechenoperationen folgen und die dritte Gleichheit eine Konsquenz der Induktionsannahme 2n = 2n−1 = 1 ist.
2
√
Aufgabe E2 (2 + 4 Punkte). Die Goldene Zahl ist ϕ = (1 + 5)/2.
(i) Überprüfen Sie
ϕ2 − ϕ − 1 = 0
und
(1 − ϕ)2 − (1 − ϕ) − 1 = 0.
(ii) Die Fibonacci Folge ist eine Abbildung f : N → N und wird wie folgt
definiert. Man setzt f (1) = f (2) = 1 und
f (n) = f (n − 1) + f (n − 2) für alle natürlichen Zahlen n ≥ 3.
Also gilt beispielsweise f (3) = f (2) + f (1) = 2 und f (4) = 3 etc. Zeigen
Sie mittels Induktion, dass
1
f (n) = √ (ϕn − (1 − ϕ)n ) für alle n ∈ N gilt.
5
Abgabe bis zum 3. Oktober, 2016 um 12 Uhr ins entsprechende Fach in der
Spiegelgasse 1.
Die Aufgaben S1, S2, . . . sind teil des Standardprogramms und E1, E2, . . . gehören
zum Ergänzungsprogramm.