¨Ubungsaufgaben vom 25.10.2016

Vorlesung Diff. und Integralrechnung I
Wintersemester 2016/17
Übungsaufgaben vom 25.10.2016
Aufgabe 1: Es seien a, b ∈ R gegeben mit
|a − 3| ≤ 3 · 10−3 ,
|b + 2| ≤ 2 · 10−3 .
Schätzen Sie die folgenden Ausdrücke ab:
|a + b − 1|,
a 3
+ ,
b 2
2
|ab + 6|,
|a b + 18|
√ √
a − 3.
Aufgabe 2: a) Bestimmen Sie alle reellen Zahlen x 6= 1, für die gilt:
x x
x + 1 > x + 1.
b) Bestimmen Sie alle reellen Zahlen x, für die gilt
|x + 1| − |x + 3| < 1.
c) Es sei p > 0 eine gegebene reelle Zahl. Bestimmen Sie in Abhängigkeit von p alle reellen
Zahlen x 6= 0 mit
x 2p
−
< 2.
p
x
d) Es sei p eine gegebene reelle Zahl. Bestimmen Sie in Abhängigkeit von p alle reellen
Zahlen x mit
p x (3 − x) > 7p − 5.
e) Bestimmen Sie alle reellen Zahlen x mit
1
x2 − 4x + 3 > x + 1.
2
Hinweis: Es ist lehrreich, sich mit Hilfe eines Zeichenprogramms (z.B. dem freien Gnuplot)
eine Vorstellung vom Verlauf der Graphen der jeweiligen Funktionen zu verschaffen!
Aufgabe 3: Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion die folgende Ungleichung
n
n
Y
X
(1 + ai ) ≥ 1 +
ai
i=1
i=1
für beliebige reelle Zahlen a1 , . . . , an mit ai ≥ −1 und ai aj ≥ 0 für i, j = 1, . . . , n. Welchen
Ungleichungstyp erhält man im Spezialfall a1 = a2 = . . . = an ?
Aufgabe 4: Es seien x1 , . . . , x5 reelle Zahlen mit
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 10,
x21 + x22 + x23 + x24 + x25 = 25.
Beweisen Sie, daß dann 0 ≤ xi ≤ 4 für alle i = 1, . . . , 5 gilt. In welchen Fällen können
dabei Gleichheitszeichen auftreten?