Fünfter Zettel

ÜBUNGSZETTEL 5 - LINEARE ALGEBRA II
JENS FRANKE, FABIAN HEBESTREIT
Aufgabe 1 (4 Punkte). Zeigen Sie: Zu jedem Endomorphismus f
eines K-Vektorraums endlicher Dimension V mit zerfallendem charakteristischen Polynom existiert genau ein Paar Endomorphismen n und
d, mit folgenden Eigenschaften:
(1)
(2)
(3)
(4)
n ist nilpotent.
d ist diagonalisierbar.
nd = dn
f =d+n
Aufgabe 2 (4 Punkte). Man bestimme die reellen Lösungen des Differenzialgleichungssystems
4f +g
−2h = f 0
3f +14g −18h = g 0
2f +6g −7h = h0
für Funktionen f, g, h ∈ C ∞ (R, R).
Aufgabe 3 (5 Punkte). Finden sie die Jordansche Normalenform folgender Matrizen, jeweils über den Körpern Z/2, Z/3, R und C, sofern
möglich.
 


−3 −10 54
−13 12
8
1
3 −11 −27 25 16 
0
0
1
16 −15 −9
Man beweise auch die Unmöglichkeit dieses Unterfangens, wenn angemessen,
und bestimme ggf. die reelle Normalform gemäß Aufgabe 4.
Abgabetermin: 27.05. in der Vorlesung
1
2
JENS FRANKE, FABIAN HEBESTREIT
Definition. Für einen echt komplexe Zahl λ definieren wir den zugehörigen
reellen Jordanblock der Größe n als die folgende 2n × 2n-Matrix


Re(λ) Im(λ)
1
0
−Im(λ) Re(λ)

0
1




Re(λ) Im(λ) 1




−Im(λ) Re(λ) 0


...


0
1



Re(λ) Im(λ)
−Im(λ) Re(λ)
Weiterhin sagen wir, dass eine Matrix in reeller Jordan-Normalenform
vorliegt, wenn sie eine Blockdiagonalmatrix ist, deren Blöcke entweder
echte Jordanblöcke mit reellen Diagonaleinträgen oder reelle Jordanblöcke
sind.
Aufgabe 4 (7 Punkte). Zeigen Sie: Zu jedem Endomorphismus f
eines endlich dimensionalen, reellen Vektorraums V existiert eine Basis
B von V , derart dass die zu f und B gehörige Matrix in reeller JordanNormalenform ist.
Hinweis: Man kann z.B. die komplexe Jordan-Normalenform heranziehen und das Ergebnis daraus ableiten, oder man imitiert den Beweis der Normalenform für nilpotente Endomorphismen in algebraisch
abgeschlossenen Körpern noch einmal; in jedem Falle aber sollte man
die letzte Aufgabe von Zettel 4 vor Augen haben.
Bemerkung. Die zu λ und λ gehörigen Jordanblöcke sind ähnlich
(über den reellen Zahlen). Bis auf diese Unbestimmtheit (und die Reihenfolge der Blöcke) ist auch die reelle Jordan-Normalenform einer
Matrix eindeutig bestimmt.