5 - Institut für Mathematik

Prof. Dr. Jörn Steuding, Pascal Stumpf
Institut für Mathematik, Universität Würzburg
23/24/25. November 2016
Elementare Zahlentheorie — 5. Übung
Präsenzaufgabe
Berechne für die folgenden linearen diophantischen Gleichungen die ganzzahligen
Lösungen:
i)
ii)
iii)
10X − 6Y = 15,
10X − 5Y = 15,
11X − 51Y = 1.
Treten Lösungen auf, so dass x und y Primzahlen sind?
Lösungsskizze:
Zu i): Für ganze Zahlen x und y ist 10x−6y = 2(5x−3y) gerade und damit stets
6= 15, weshalb die erste Gleichung keine ganzzahligen Lösungen besitzt. Primzahlen
treten somit auch nicht auf!
Zu ii): Der größte gemeinsame Teiler von 5 und 10 ist ggT(5, 10) = 5, welches
15, also die rechte Seite der Gleichung teilt. Nach dem Satz von Bézout besitzt
die Gleichung ii) daher ganzzahlige Lösungen. Zur Bestimmung der ganzzahligen
Lösungen betrachten wir zunächst die Gleichung 10X − 5Y = 15 (oder alternativ
2X − Y = 3 nach Division durch 5) und raten die spezielle Lösung x = 1, y = −1
(oder bemühen alternativ den euklidischen Algorithmus). Die Lösungsgesamtheit
ergibt sich damit als
(x, y) = (1, −1) + (1, 2)m
für m ∈ Z.
Eine Primzahlpärchenlösung ist etwa (x, y) = (3, 3), eine andere (5, 7).
Zu iii): Der größte gemeinsame Teiler von 51 und 11 berechnet sich mit dem
euklidischen Algorithmus:
51
11
7
4
3
=
=
=
=
=
4 · 11 + 7,
1 · 7 + 4,
1 · 4 + 3,
1·3+1
3 · 1 + 0.
Damit ist ggT(51, 11) = 1, welches gleich der rechten Seite der Gleichung iii) ist,
womit diese also nach Bézout ganzzahlig lösbar ist. Wir finden eine spezielle Lösung
durch den euklidischen Algorithmus rückwärts:
1 =
=
=
=
4 − 3 = 1 · 4 − 1 · (7 − 4)
2 · 4 − 1 · 7 = 2(11 − 7) − 1 · 7
2 · 11 − 3 · 7 = 2 · 11 − 3(51 − 4 · 11)
14 · 11 − 3 · 51.
Also ist x = 14 und y = 3 eine spezielle Lösung. Für die Lösungsgesamtheit
bestimmen wir noch sämtliche Lösungen der homogenen Gleichung:
11X − 51Y = 0.
Diese sind gegeben durch
(x, y) = (51, 11)m
für m ∈ Z.
Somit ergibt sich durch Addition der speziellen Lösung die Lösungsgesamtheit als
(x, y) = (14, 3) + (51, 11)m
für m ∈ Z.
Soll x prim sein, so muss m ungerade sein, aber dann ist y gerade und somit nicht
prim (weil ungleich 2).