Nonstandardanalysis - Friedrich-Schiller

Nonstandardanalysis
zum möglichen Nutzen
im Unterricht
und zur Historie
Bernd Zimmermann
Friedrich - Schiller- Universität Jena
 Zum möglichen Nutzen im Unterricht
 zur heutigen Situation
 zur Historie
Zum möglichen Nutzen
im Unterricht
Ausgangspunkt:
An LEIBNIZ angelehnte Schreibweise
f ( x  x)  f ( x)
f ' ( x)  lim
x
x 0
f ( x  dx)  f ( x) dy


dx
dx
1. : lineare Approximation
f ( x  dx)  f ' ( x)  dx  f ( x)
2. Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
(Idee!)
dF
 f ( x)  dF  f ( x)  dx
dx
3. : Kettenregel:
Gegeben f mit f(x)=g(h(x)), g und h differenzierbar
in x,
dz
dy
g´( y ) 
h´( x) 
d. h.
dy und
dx
Was ist mit f´?
Rückwärtsarbeiten (angenommen, f ist diff.bar)
ergibt:
dz dy dz


 f ´( x)  g´( y )  h´( x)
„Man sieht“ dy dx dx
durch „Kürzen“ von dy. So also mögliche Regel
gewonnen.
Zu beweisen bleibt: f ist differenzierbar!
4. : Substitutionsregel
Beispiel:

x  1  x 2  dx  ?
2
1

x
u=

2
du
x
1

x

dx 
 du
2 
 dx
x
1 x
2
1

x
x  1  x 2  dx  x  u  dx  x  u 
 du
x


3
 1  x2 


u
 c
u 2  du 
c  
=
3
3

3
Heutzutage natürlich schneller und bequemer zu
lösen z. B. mit MATHCAD:
x. 1
2
x
per Mausklick zu einer Stammfunktion
3
1.
3
1
2
2
x
die Probe ergibt wieder: x. 1
2
x
Zur heutigen Situation
 LAUGWITZ 1958
 ROBINSON 1966
 SCHNITZSPAN 1974
 KEISLER 1976: „Elementary Calculus“
dy
dx
NONSTANDARDANALYSIS
Axiomensystem für hyperreelle Zahlen
(nach Wattenberg in MU 4/83 S. 16 - 22)
1. Jede reelle Zahl ist auch hyperreell (R  H).
2. Es gibt hyperreelle Zahlen , 0, so daß für
jede positive reelle Zahl a gilt:
-a <  < a
Eine
solche
hyperreelle
Zahl
heißt
Infinitesimalzahl. Null ist die einzige reelle
Infinitesimalzahl.
3.H ist ein angeordneter Körper, wobei für reelle
Zahlen die Addition in R und in H jeweils das
gleiche Ergebnis hat.
4.Def.: x, y H heißen unendlich benachbart, in
Zeichen
x  y :
x - y ist eine Infinitesimalzahl.
x  y gilt auch für x = y, da 0 eine
Infinitesimalzahl ist.
5.Def.: Eine hyperreelle Zahl x heißt endlich, wenn
es eine reelle Zahl a gibt, so daß
-a < x < a
6.Wurzelaxiom: Für jede positive hyperreelle Zahl
a und jede positive ganze Zahl n gibt es eine
positive hyperreelle Zahl b mit bn = a; wir
schreiben
bna
.
7.Standardanteilaxiom:
Für
jede
endliche
hyperreelle Zahl x gibt es genau eine reelle Zahl
a
mit
x  a; a heißt der Standardanteil von x, wir
schreiben a = st(x).
8.Funktionsaxiom: Jede reelle Funktion von einer
oder mehrerer Variablen hat ein Gegenstück f* in
der hyperreellen Welt.
9.Übertragungsaxiom: Jede Eigenschaft, welche
im
reellen
Zahlsystem
in
der
üblichen
mathematischen Sprache formuliert werden kann,
gilt auch im hyperreellen System.
mögliches Modell: Äquivalenzklassenbildung mit
reellen Folgen mit Hilfe von Ultrafiltern, (Existenz
über Zorn´sches Lemma);
Realisierung im MU/LK:
siehe
Wunderling/Berlin:
„Standardanteil
DERIVE“
in
einer
„Der
hyperrellen
Hischer
(Hrsg.)
Begriff
Zahl“
und
„Wieviel
Termumformungen
braucht
Franzbecker Hildesheim 1992
der
Mensch?“,
Zur Historie
der
Indivisiblen/Indivisibilien
 DEMOKRIT
 ARCHIMEDES
 LIU HUI, TSU KENG -CHIH
 CAVALIERI
 LEIBNIZ
Demokrit
( ca. 460 - 371 v. Chr.)
bei PLUTARCH findet man folgendes Zitat:
„Wenn ein Kegel parallel zur Grundfläche mit
einer Ebene geschnitten wird, wie soll man sich die
entstehenden Schnittflächen vorstellen, gleich oder
ungleich? Sind sie ungleich, dann werden sie den
Kegel
ungleichmäßig
machen,
da
er
viele
treppenartige Einschnitte und Vorsprünge erhält;
sind sie dagegen gleich, so werden (auch) die
Schnitte gleich sein und der Kegel wird die
Erscheinung eines Zylinders darbieten, insofern er
aus gleichen, nicht aus ungleichen Kreisen
bestehen wird, was doch sehr ungereimt ist.“
CHRYSIPP zu DEMOKRIT:
„Die Flächen sind weder gleich noch ungleich. Die
Körper sind deswegen ungleich, weil die Flächen
weder gleich noch ungleich sind.“
vergl. ca. 2000 Jahre später L’HÔSPITAL:
„...Grant that two quantities, whose difference is an
infinitely small quantity, may be taken (or used)
indifferently for each other: or (which is the same
thing) that a quantity, which is increased or decreased only by an infinitely small quantity, may
be considered as remaining the same“.
JOHANN BERNOULLI:
„Eine Größe, die vermindert oder vermehrt wird
um eine unendlich kleinere Größe, wird weder
vermindert noch vermehrt.
(vergl.
Quantentheorie
und
Nonstandardelektrodynamik)
Quantenlogik;
Archimedes
(ca. 460 - 370 v. Chr.)
Kreismessung
Jeder Kreis ist einem rechtwinkligen
Dreieck inhaltsgleich, insofern der
Radius gleich der einen der den
rechten
Winkel
einschließenden
Seiten, der Umfang aber gleich der
Basis ist.
r
r
U
Archimedes
Methodenschrift
um 250 v. Chr. verfasst, über 2000 Jahre verschollen,
1908 von Heiberg wiederentdeckt
Archimedes Fortsetzung:P
d
Q
d
t
r
R
d
einerseits („siehe“ Euklid bzw. Hippocrates v. C.):
d2:(r2+R2)=(2d)2:((2r)2+(2R)2)=KZ:(KKe+KKu)
andererseits:
d2:(r2+R2)= d2:t2= d2:(d*r)=d : r
d (const): r(veränd.)=KZ:(KKe+KKu) (Indivisiblen)
!
d (const): (d/2)=VZ:(VKe+VKu) (Volumina)
2(VKe+VKu)=VZ und VZ=3 VKe 
VKe=2 VKu
Liu Hui, (um 250 n. Chr.)
Tsu Keng -chih (Ende 5. Jahrh.)
CAVALIER-Prinzip von LIU HUI implizit genutzt:
VKugel:VDurchdringungskörper zweier senkrechter Zylinder=():4
von TSU KENG-CHI hat dieses explizit benannt:
„Wenn Volumina aus aufeinandergelegten
Schichten bestehen
und entsprechende Flächen gleich sind,
dann können die Volumina nicht ungleich sein.“
und damit Volumen des Durchdringungskörpers zu
2/3 des umbeschriebenen Würfels bestimmt.
Cavalieri
(1598-1648)
„Prinzip“:
„Zwischen zwei ebenen Figuren besteht dasselbe
Verhältnis wie zwischen allen Strecken dieser
beiden Figuren, die gemäß irgendeiner Regel
bestimmt sind; und es besteht das gleiche
Verhältnis zwischen zwei räumlichen Figuren wie
zwischen allen Ebenen dieser beiden Figuren, die
gemäß irgendeiner Regel bestimmt sind. ....
Solcher Art ist das bedeutende Prinzip, worauf ich
meine neue Geometrie begründet habe.“
Leibniz
(1648-1718)
Brief an Bernard Nieuwentijdt:
“Whether infinite extensions (quantities) successively greater and greater, of infinitely small ones
successively less and less, are legitimate considerations, is a matter that I own to be possibly open to
question; but for him who would discuss these
matters, it is not necessary to fall back upon metaphysical controversies, ... It will be sufficient if,
when we speak of infinitely great ..., or of infinitely small quantities ..., it is understood that we mean
quantities that are indefinitely great or indefinitely
small, i. e., as great as you please , or as small as
you please ... When any small error is assigned, it
can be shown that it should be less, it follows that
the error is absolutely nothing... it will be sufficient
simply to make use of them as a tool that has advantages for the purpose of the calculation, just as
the algebraists retain imaginary roots with great
profit. For they contain a handy means of reckoning, as can manifestly be verified in every case in a
rigorous manner by the method [of exhaustion] already stated.”