Fix=0 ∑Fiy=0 ∑ ∑mi - Christoph
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Formelsammlung „Technische Mechanik“ Allgemeines Lösungsschema y 1. Koordinatensystem definieren α 2. Freischneiden 1. Linienflüchtigkeitsaxiom anwenden x Rechte-Hand-Regel beachten! 2. Lager durch Ersatzkräfte und -momente ersetzen 3. Komponentenzerlegung (Kräfte durch Kräftepaare parallel zu Koordinatenachsen darstellen) 4. Gleichgewichtsbedingungen aufstellen 5. nach den gesuchten Größen auflösen Kraft: F =m⋅a , G=m⋅g , g≈10 m s2 Drehmoment: M =F⋅l Gleichgewichtsbedingungen für statische Betrachtungen ∑ F ix =0 ∑ F iy =0 ∑ M i=0 B : Bezugspunkt B Lager Festeinspannung Loslager Festlager F F F F F F M Fx Fx Fy Fy Fy 3 Freiheitsgrade 2 Freiheitsgrade 1 Freiheitsgrad Schwerpunktberechnung m1⋅x 1 m 2⋅x 2 x s= m1 m 2 m ⋅y m 2⋅y 2 ys = 1 1 m1 m 2 rs = gemeinsamer Schwerpunkt S m1 y α ∑ m i⋅ri ∑ mi m2 x Existiert eine Symmetrielinie, so liegt der Schwerpunkt darauf! © 2005 Christoph Nolte -> http://christoph-nolte.de Benutzung auf eigene Gefahr! Insbesondere Fehlerfreiheit wird nicht gewährleistet! Seite 1/8 Formelsammlung „Technische Mechanik“ Reibung Seilreibung Haftreibung: F H =H⋅F N Gleitreibung: F G =G⋅F N Rollreibung: F R = R⋅F N viskose Reibung: F viscos = k v⋅v : Reibzahl Seil Zapfen α aero­ / hydrodynamische Reibung: F aero =c w⋅A⋅v 2 c w ­Werte: siehe Skript F1 F 1 =e F2 F2 Schraubgetriebe x= hs ⋅ 2 hs ⋅̇ 2 ẋ = ẍ= hs ⋅̈ 2 [v]=[ hs rad ⋅]= Länge einer Gewindesteigung ⋅ rad Sekunde 2 Umsetung von Kräften/Momenten P rot = P lin ⇔ M⋅= F⋅v => F= v= hs ⋅ 2 2 h ⋅M , M = s ⋅F hs 2 = 2 ⋅v hs F φ, M Umrechnung von Trägheiten x hs:Gewindesteigung 1 1 T rot=T lin ⇔ J 2 = m v 2 2 2 2cdot => hs J ers = 2 2 m , m ers = 2 ⋅J hs Winkel und Umfangskraft M =F u⋅r F u=F⋅ hs =F⋅tan 2 r tan = hs 2r F u : Umfangskraft : Steigungswinkel © 2005 Christoph Nolte -> http://christoph-nolte.de Benutzung auf eigene Gefahr! Insbesondere Fehlerfreiheit wird nicht gewährleistet! Seite 2/8 Formelsammlung „Technische Mechanik“ Riemengetriebe v ! =v 2 ⇒1⋅r 1= 2⋅r 2 ⇒ü= 1 r 2 = 2 r 1 ML r2 1 M ' L = ⋅M L ü M'L 1 J ' L = 2⋅J L ü r1 JL J'L Stahlbandantrieb Umrechnung lineare in rotierende Größen 2 Ersatzträgheitsmoment der Last: J ers =r ⋅m m Ersatzmoment der Last: M ers =r⋅F r M v Geschwindigkeit: = r F J Umrechnung rotierende in lineare Größen m ers = J r2 F ers = M r 2 mit Vorgelege: m ers = J 2 ü ⋅ü =J⋅ 2 r r Umrechnung Winkelgeschwindigkeit in Drehzahl s n= ⋅60 min 2 rad U =X U min © 2005 Christoph Nolte -> http://christoph-nolte.de Benutzung auf eigene Gefahr! Insbesondere Fehlerfreiheit wird nicht gewährleistet! Seite 3/8 Formelsammlung „Technische Mechanik“ Zug-, Druckbeanspruchung Spannung: Dehnung: s= = F A L L L=x :Länge F L =E⋅=E⋅ E : E­Modul ~ Steifigkeit A L F = L⋅k k : Federkonstante F F A L= ⇒ k= =E⋅ (für homogenen Zylinder, Quader etc) k L L Normalspannung: E Stahl =210cdot 10 9 = N 2 m E Alu =70cdot 10 9 N 2 m Stahl =7800 kg 3 m Alu=2900 kg 3 m Biegebeanspruchung b= Biegespannung: Mb WA Axiales Widerstandsmoment: W A= Axiales Flächenmoment 2. Ordnung: Biegesteifigkeit eines Balkens: IA (Maß für Querschnitt und Materialverteilung) z0 I A =∬ z2 d A (Maß für die Biegefestigkeit einer Geometrie) A E⋅I A = Mb z ' ' x z' ' x: Krümmung (z(x) : Biegelinie) Torsionsbeanspruchung Torsionsspannung: t = Mt p polares Widerstandsmoment: p= I p (Maß für Querschnitt und Materialverteilung) r0 r0 : Abstand der Randfasern vom Spannungsfreien Zentrum I p= D r = 32 2 Torsionswinkel einer Welle: Mt I p⋅G 4 M t⋅l I p⋅G 4 D ⋅G r ⋅G Torsionsfederkonstante (einer Welle): k tor = = = = l 32 l 2l N G Stahl =70cdot 10 2 m = l e Ip einer Welle (Stab): A 4 ed 4 I p=∬ r 2 d A (Maß für die Torsionsfähigkeit eines Querschnitts) D r reh f polares Flächenmoment 2. Ordnung φ 9 Mt Scherbeanspruchung © 2005 Christoph Nolte -> http://christoph-nolte.de Benutzung auf eigene Gefahr! Insbesondere Fehlerfreiheit wird nicht gewährleistet! Seite 4/8 Formelsammlung „Technische Mechanik“ G : Schubmodul : Tangentialspannung =G⋅ E 21 d = x G= F/2 F/2 L : Querkontraktionszahl ­> Tabelle Δd : Schiebung F F Knickbeanspruchung = Schlankheitsgrad: Lk Bauteil ist knickgefährdet, wenn λ ≥ IA A 25 Lk A Steifigkeit Steifigkeit wird als Feder nachgebildet k= Federsteifigkeit F x k y α k= bzw. M k y F x α Δx x Δφ M Rechte-Hand-Regel beachten! Serienschaltung von Federsteifigkeiten (auch Torsionsfedern) k1 k2 ... kn => k ers = kers 1 n Fall: 2 Federn 1 ∑k i= 1 i k ers = k1 k 2 k 1 k 2 Parallelschaltung von Federsteifigkeiten (auch Torsionsfedern) k1 k2 => ... kers n k ers =∑ k i i =1 Fall: 2 Federn k ers =k 1 k 2 kn Trumsteifigkeit bei Ketten/Riemen 1 m k=k '⋅ L Kinematik „Bahngröße = Winkelgröße mal Radius“ © 2005 Christoph Nolte -> http://christoph-nolte.de Benutzung auf eigene Gefahr! Insbesondere Fehlerfreiheit wird nicht gewährleistet! Seite 5/8 Formelsammlung „Technische Mechanik“ Position t = s t vt = ṡt = lim Geschwindigkeit t 0 s t s t in rad r ∫ ̈ dt Winkelgeschwindigkeit: =̇ t = Winkelbeschleunigung: = ̈= ̇ Beschleunigung a t = v̇ t = s̈t Schiefer Wurf Flugzeit: T =2 v0 ⋅sin (α: Abwurfwinkel, bezogen auf die Erde) g 2 Wurfweite: x t = 2 v0 g ⋅sin 2 2 Wurfhöhe: h v0 T = ⋅sin 2 2 2g Mechanische Energie, Leistung etc. Translation s Mechanische Arbeit Rotation F= const. W =∫ F x dx= F⋅s W = M⋅ 0 Mechanische Leistung Potentielle Energie in einem wegabhängigem Kraftfeld F =const. P=M⋅=M⋅⋅t P= Ẇ = F⋅v =F⋅a⋅t s z.B. Feder s 1 W pot =U = ⋅k tor⋅2 2 1 1 2 2 2 T =∫ P d = m⋅a ⋅t = m v t 2 2 0 1 W kin =T = J⋅2 2 t Kinetische Energie 2 t1 Beschleunigungsarbeit Drehfeder 1 2 U =∫ F x dx=∫ k⋅x dx= k⋅s 2 0 0 v t 1 W =∫ P d = F⋅a⋅t 21 2 0 t1 1 W =∫ P d = M ̈ t 21 2 0 Wird ein Körper bewegt, so muss an ihm die Kraft m⋅a wirken/gewirkt haben: P t=F⋅v t=m⋅a 2⋅t Potentielle Energie in einem Kraftfeld: U =W pot =F⋅x Energieerhaltungssatz: T U=const. Nie Rotationsenergie vergessen! Kinetik © 2005 Christoph Nolte -> http://christoph-nolte.de Benutzung auf eigene Gefahr! Insbesondere Fehlerfreiheit wird nicht gewährleistet! Seite 6/8 Formelsammlung „Technische Mechanik“ m⋅ẍ y α Statische Kräfte bilden zusammen mit der Trägheitskraft das dynamische Kräftegleichgewicht F m ẍ=a = x Prinzip von d'Allembert - dynamisches Kräftegleichgewicht F m ∑ F ix =m⋅ẍ i ∑ F iy = m⋅ÿ i ∑ M i = J⋅̈ i Starrkörperdynamik und Massenträgheitsmoment ∫ r 2 dm Massenträgheitsmoment: J = m Massenträgheitsmoment eines Zylinders: J= ⋅l⋅⋅D 4 , l : Länge , : spez. Dichte , D : Durchmesser 32 Satz von Steiner Wird ein Starrkörper um eine Achse rotiert, die nicht in dessen Schwerpunkt liegt, 2 J '=m⋅r J Massenträgheit noch eine Rotationsträgheit hinzu T kommt zur m, J rT J' Schwingungslehre © 2005 Christoph Nolte -> http://christoph-nolte.de Benutzung auf eigene Gefahr! Insbesondere Fehlerfreiheit wird nicht gewährleistet! Seite 7/8 Formelsammlung „Technische Mechanik“ Kraft eines Öldruckämpfers: F d =d⋅ ẋ 1− x˙ 2 ¿ x˙1 Dämpfung ist bei schwachen Steifigkeiten am wirksamsten Fd d Erzwungene Schwingungen Ein-Massen-System Eigenfrequenz: 0= Dämpfung: f= x˙2 2 Fd k k m m => P1,2 = ± j 0 F(t) d x(t) Anregungsamplitude: F 0 Anregungsfrequenz: Einheitenlose Dämpfung (Dämpfungsmaß): D = 0 : ungedämpft hier D= d d = = 0 2m 0 2 k⋅m D < 1 : schwach gedämpft D = 1 : aperiodischer Grenzfall erwünscht - D > 1 : stark gedämpft - erwünscht d ist oft schwer zu ermitteln, daher Umwandlung über Lehr'sches Dämpfungsmaß: Stahl: D = 0,1% Alu, Grauguss: D = 1% .. 3% PVC, Riemen: D = 10% .. 20% Frequenzverhältnis: = 0 d≈ 2⋅D⋅ k⋅m für Ein-Massen-Schwinger genau, für Mehr-Massen-Systeme genähert sollte < 1 sein, um Maschine im unterkritischen Bereich zu betreiben. 2-Massen-System m1 m 2 1 Eigenfrequenz: f 0= ⋅ k⋅ 2 m1 ms bzw: f 0= J W J S 1 ⋅ k tor 2 J W⋅J S k F(t) m1 m2 d für Bsp. Werkstück, Welle x1(t) x2(t) Eigenfrequenzabschätzung in Mehr-Massen-Systemen 1. Alle Massen und Federn entweder in linear bewegtes oder rotierendes System transformieren 2. Schwungmassen um die schwächste Federsteifigkeit herum gruppieren 3. Dämpfung kann bei starken Federsteifigkeiten vernachlässigt werden, wohingegen sie bei schwachen sehr viel ausmacht. © 2005 Christoph Nolte -> http://christoph-nolte.de Benutzung auf eigene Gefahr! Insbesondere Fehlerfreiheit wird nicht gewährleistet! Seite 8/8
