AB Mathematik Draft

Ausbildungsbild: Mathematik 1
Allgemeine Fertigkeit: Elementare Rechentechniken beherrschen und anwenden können.
Allgemeine Fähigkeiten: Modelisieren können, analysieren können, in Zusammenhängen denken können, deduzieren können,
geleitete Beweise ausführen können, Größen einschätzen können, Skizzen anfertigen können, explorieren und entdecken
können, mathematische Sachverhalte beschreiben und erklären können, verallgemeinern und spezialisieren können, organisieren
können, mathematische Probleme lösen können.
Ausbildungsziel: Differential- und Integralrechnung beherrschen
Inhalt
Funktion
Kenntnisse
2
Definitionsbereich und Wertebereich einer Funktion.
Operationen ( + , − , ⋅, :, o ) und ihre Eigenschaften.
Vektorraumbegriff.
Darstellungsarten von Funktionen: in Worten, mittels Tabellen, durch Funktionsgleichungen,
durch Graphen.
Eigenschaften von Funktionen: Periodizität, Parität und die entsprechenden Symmetrien.
Die als bekannt geltenden Funktionen, sogenannte elementare Funktionen:
1
a
x a a, ax, ax + b, , x 2 , x3 , , x ,cos x ,sin x ,tan x, ex ,ln x .
x
x
Fertigkeiten
Funktionswerte berechnen können mit Stift und Papier aber auch am Rechner.
Funktionen graphisch darstellen können mit Stift und Papier aber auch am Rechner.
Eine vorgegebene Symmetrie oder Periodizität rechnerisch nachweisen können.
Nullstellen von Funktionen berechnen können.
Gleichungen und Ungleichungen ersten und zweiten Grades und entsprechende Systeme
rechnerisch lösen können und ihre Lösungen graphisch darstellen können.
Fähigkeiten
Funktionale Zusammenhänge in anwendungsbezogenen aber auch in mathematischen Situationen
erkennen und erklären können, insbesondere proportionale und nicht proportionale sowie
exponentielle und logarithmische Zusammenhänge erkennen und erklären können.
Graphen interpretieren können: Symmetrien, Asymptoten und Variationen erahnen und
anschaulich begründen können.
Tabellen interpretieren können: Proportionalität erkennen und erklären können.
Symmetrie und Periodizität graphisch interpretieren können.
Hinweise und Bemerkungen
Physik od. Elektrotechnik: Das Ohmsche Gesetz
Physik oder Mechanik: das Weg-Geschwindigkeitsgesetz
Physik : Radioaktivitätszerfall, Loi de Mariotte (Nathan 2de, ex. 46 p. 103), usw.
1
Das Ausbildungsbild entsteht in einer Übergangszeit: CAS (Computer Algebra System) wird in Zukunft häufiger eingesetzt
werden und dies wird Auswirkungen auf das Ausbildungsbild haben. Sowohl an den deutschen Fachhochschulen als auch am
IST werden Überlegungen gemacht wie man die neuen Technologien im Mathematikunterricht einsetzen kann und welche
Konsequenzen dies auf den Unterricht haben wird. Auch in den Schulbüchern findet man vermehrt den gezielten Einsatz von
Computersoftware. Neue Fragestellungen tauchen auf welche dies belegen. Der dadurch entstandene Trend kann man treffend
mit der Aussage „weniger rechnen, mehr denken“ umschreiben. Ohne entsprechende Vorbereitung in der Schule wird es für die
Studenten einen nur schwer zu überwindenden qualitativen Sprung geben.
2
Funktion, Grenzwert, Ableitung, Stammfunktion und Integral werden nicht explizit im Studienanforderungsprofil (SAP)
aufgeführt, sind aber selbstverständliche Inhalte des Differential- und Integralrechnen.
Obwohl Vielfachintegrale in den Studienanforderungsprofilen bei allen Studiengängen als wichtig bewertet werden, wurden sie
nicht ins Ausbildungsbild aufgenommen, weil das qualitative Verständnis und das Beherrschen vom Integralrechnen die
notwendigen und hinreichenden Voraussetzungen sind um Vielfachintegrale zu einem späteren Zeitpunkt zu erlernen.
Aus einer mathematisch strukturierten Sichtweise heraus betrachtet, gehört der Begriff der Stetigkeit einer Funktion zu den
Zielen der Differential– u. Integralrechnung. In der Tat sind in 2 Studiengängen 90% bzw. 100% der Dozenten der Meinung dass
Stetigkeit ein wichtiger Begriff ist. Aus den Übungsaufgaben und Klausuren geht aber hervor dass es ein entbehrlicher Begriff
ist. Dass es auch ohne geht zeigen die Franzosen in ihren Schulprogrammen.
1
Beispiel:
Niveau 12GE, Nathan, 2de, exercice 45 page 103
Dilatation d'une barre de fer
La longueur L d'une barre de fer varie avec la température θ; à chaque température θ, correspond une
longueur bien déterminée que l'on note L(θ). Une barre de fer a pour longueur 20 mètres lorsque la
température est 0° C. Les physiciens savent que sa longueur L (en mètres) à la température θ (en degrés
Celsius) est donnée par L (θ ) = aθ + 20 avec a = 20 ×1,2 × 10 −5
[ R] .
a. Quelle est la nature de la fonction L : θ a L(θ) ?
b. Quel est son sens de variation sur [- 50 ; 1 500] ?
c. Calculez la longueur de cette barre de fer lorsque la température est 50° C, puis 100° C, enfin 500° C.
En réalité, la relation [R] n'est pas valable lorsque la température dépasse 1 500° C, car alors le fer fond. Est-il
possible que cette barre s'allonge de 40 cm ?
Beispiel:
Niveau 11GE, aus mathematik lehren / Heft 96,
Auszug einer Abituraufgabe (Baden-Würtenberg,
„Pilotprojekt Mobiles Klassenzimmer“).
Geschwindigkeit eines Freiluftballons
Ein Freiluftballon startet zur Zeit t = 0 vom Boden.
Die Geschwindigkeit v in vertikaler Richtung sei
durch das Diagramm in Abbildung 1 gegeben (t: Zeit
in Minuten, v: Geschwindigkeit in m/s).
a Beschreiben Sie den Bewegungsablauf qualitativ.
Wann hat der Ballon seine größte Höhe erreicht?
b Bestimmen Sie anhand des Diagramms eine
Schätzung für die nach 10 Minuten erreichte Abb. 1 : Die Geschwindigkeit eines Freiluftballons
Höhe.
Inhalt
Folgen
Kenntnisse
3
Definition.
Darstellungsarten: Wortdarstellung, Funktionsvorschrift, Tabellarische Darstellung, mittels einer
Funktionsgleichung, rekursive Darstellung.
Fakultät.
Arithmetische Folge.
Geometrische Folge.
Fertigkeiten
Terme berechnen können.
Grenzwerte berechnen können.
Steigungsverlauf von Folgen bestimmen können.
Zahlenfolgen graphisch darstellen können mit Stift und Papier aber auch am Rechner.
Fähigkeiten
Erkennen von Folgen in anwendungsbezogenen und mathematischen Situationen.
Formeln entdecken und mittels vollständiger Induktion beweisen.
Grenzwerte erahnen können.
Hinweise und Bemerkungen
Informatik: Programmierung einer rekursiv definierten Folge und ihre graphische Darstellung.
3
Reihen und Folgen werden im Studienanforderungsprofil in nur einem Studiengang aufgelistet, vollständige Induktion wird in
drei Studiengängen als wichtig bewertet und taucht auch in vielen Übungsaufgaben auf. Folgen und vollständige Induktion
passen gut zusammen. Der Begriff der Reihe taucht im Zusammenhang mit den Riemannschen Summen auf.
2
Inhalt
Kenntnisse
Grenzwert
Intuitive „Definition“.
Rechts- u. Linksseitiger Grenzwert.
Rechenregeln.
Asymptotenbegriff.
Fertigkeiten
Grenzwerte bestimmen können.
Asymptoten rechnerisch bestimmen können.
Grenzwerte numerisch am Rechner erfassen können.
Fähigkeiten
Funktionsgraphen geometrisch interpretieren können.
Funktionswertetabellen interpretieren können.
Grenzwerte in konkreten Situationen erkennen.
Grenzwerte in mathematischen Situationen erkennen.
Über die Grenzen des Nutzen der intuitiven Definition nachdenken können: „Strebt eine streng
monoton steigende Funktion x a f ( x ) gegen unendlich, wenn x gegen unendlich strebt?“
Hinweise und Bemerkungen
Physik od. Mechanik: Geschwindigkeit (vitesse instantanée).
Physik : Débit instantané.
Elektrotechnik : Courant instantané.
Inhalt
Kenntnisse
Ableitung
Definitionen.
Differenzquotienten.
Lineare Annäherung.
Ableitungen der elementaren Funktionen.
Rechenregeln.
Mittelwertsatz.
Sätze im Zusammenhang mit eindeutigen Abbildungen und der Existenz ihrer Nullstellen.
Fertigkeiten
Ableitungen nicht elementarer Funktionen berechnen können.
Kurvendiskussion durchführen können mit Stift und Papier aber auch am Rechner.
Grenzwerte berechnen können mit Angabe des Lösungsweges.
Numerische Überprüfungen am Rechner vornehmen können.
Fähigkeiten
Ableitungen geometrisch interpretieren können: Steigung der Tangente, Anstieg des Graphen.
Variationstabelle einer Funktion deuten können.
Erkennen in mathematischen Situationen: zu Geraden parallele Tangenten, lim
x →1
x+3 − 2
.
x −1
Erkennen in konkreten Situationen: Optimierungsaufgaben lösen können.
Beweisen der Ableitungsformeln bzw. der Rechenregeln unter anderem mittels vollständiger
Induktion (z.B. die Ableitung von f n ).
Hinweise und Bemerkungen
Physik, Chemie, Elektrotechnik TP: Fehlerrechnung.
Informatik: Nullstellensuche nach Newton programmieren.
Inhalt
Kenntnisse
Differentialgleichung
Vokabular: Ordnung, Grad, allgemeine Lösung, spezielle Lösung, Anfangswertproblem.
Fertigkeiten
Einfache DGL lösen können: y ' = ay , y ''+ ω 2 y = 0 .
3
Fähigkeiten
Erkennen von einfachen DGL in mathematischen und konkreten Situationen.
Einfache DGL geometrisch als Kurvenschar interpretieren können.
Hinweise und Bemerkungen
Physik od. Elektrotechnik: Entladung einen Kondensators.
Physik oder Mechanik: Newtonsche Gesetz: mx
&&(t ) = 0 usw.
Inhalt
Kenntnisse
Stammfunktion
Definition.
Existenz.
Stammfunktionen der elementaren Funktionen.
Fertigkeiten
Stammfunktionen nicht elementarer Funktionen berechnen können.
Verifizieren dass eine Funktion eine Stammfunktion einer gegebenen Funktion ist.
Fähigkeiten
Stammfunktionen geometrisch interpretieren können: alle Stammfunktionen besitzen an allen
Stellen x0 die gleiche Steigung, da ihre Ableitungen gleich sind; die Graphen der
Stammfunktionen gehen durch Parallelverschiebung in y-Richtung ineinander über.
Hinweise und Bemerkungen
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Inhalt
Kenntnisse
Integral
Intuitive Definition: Integral als Grenzwert von Riemannschen Summen.
Hauptsatz:
∫
b
a
f (t ) dt = F (b ) − F ( a) .
Zusammenhang mit Flächeninhalt.
Eigenschaften und Integrationsregeln.
Fertigkeiten
Integrale berechnen können.
Flächeninhalte berechnen können.
Volumen einfacher Körper berechnen können.
Geometrischer Mittelpunkt einfacher Flächen berechnen können.
Numerische Überprüfungen am Rechner vornehmen können.
Fähigkeiten
Erkennen in mathematischen und konkreten Situationen.
Beweisen von Formeln mittels vollständiger Induktion.
Hinweise und Bemerkungen
Physik: Masse eines Stabes.
Physik: Schwerpunkt eines Stabes.
Physik: Elektrische Arbeit, Arbeit einer Feder.
Physik: Das Hookesche Gesetz.
Informatik: Programmieren eines numerischen Integrationsverfahren.
4
Beispiel :
Niveau 13GE, Nathan, Term S, obliatoire, exercice 87 page 86
Uniquement avec le graphique
f est une fonction définie et dérivable sur [ −3;3] . Sa courbe
représentative est donnée par la figure ci-dessous.
1. Résolvez à l’aide du graphique l’équation f '( x) = 0 .
2.
3.
Quelle est la valeur de :
f (h )− 1
f ( x)
a.
lim
?
b.
lim
?
h →0
x
→
2
h
x−2
On pose : f ( x) = 1 + 2x + xϕ ( x) .
a.
Quelle est la limite de ϕ en 0 ?
b.
A l’aide du graphique, indiquez le signe de ϕ ( x) sur [ −3;3] − {0} selon les valeurs de x.
Beispiel :
Niveau 13GE, Nathan, Term S, obligatoire, exercice 95 page 161
Recherche d’une fonction. Etude d’une fonction. Primitive
La figure suivante donne, dans un repère orthonormal, la courbe
représentative Γ d’une fonction f définie sur [0;+∞ ] et dérivable sur
cet intervalle.
On précise de plus que :
• l’origine O du repère appartient à Γ ainsi que le point A d’abscisse 2 ;
• la droite d passant par O et par le point de coordonnées (1;5) est tangent en O à Γ ;
• la tangente en A à la courbe Γ est parallèle à l’axe des abscisses.
Partie A. Recherche de la fonction f
1. En utilisant les trois renseignements donnés ci-dessus, précisez f (0), f '(0), f '(2) .
2.
On cherche une fonction f définie sur [0;+∞ ] par : f ( x ) = ( a x + b ) ec x , où a, b, c sont trois réels.
Prouvez que f ( x) = 5 xe
3.
−
x
2
.
a. Etudiez les variations de f ainsi que sa limite en +∞ .
b. Calculez f (2); f (4); f (5); f (8) . Peut-on dire que f est une bonne approximation de la fonction
cherchée ?
Dans la suite du problème, on admettra que Γ est la courbe représentative de la fonction f définie sur [0;+∞[
par f ( x) = 5 xe
−
x
2
.
Partie B. Etude d’une primitive de f
F est la fonction définie sur l’intervalle [0;+∞[ par : F ( x) = 20 − 10( x + 2)e
−
x
2
.
On note F ' sa fonction dérivée et C sa courbe représentative dans un repère orthonormal.
1. Montrez que F (0) = 0 et que pour tout réel x de [0;+∞[ , F '( x ) = f ( x) .
2.
a. Etudiez la fonction F. Prouvez que C admet une asymptote ∆ .
b. Précisez la tangente à C au point d’abscisse zéro.
c. Tracez ∆ et C.
5
Ausbildungsziel: Lineare Algebra beherrschen
Inhalt
Kenntnisse
Vektoren
Intuitive Definition durch Charakterisierung.
Operationen mit Vektoren und ihre Eigenschaften.
Vektorraumbegriff.
Geometrisches Modell: Vektoren sind Translationen, Vektoraddition ist das
Hintereinanderausführen von Translationen, das k-fache eines Vektors ist eine Verschiebung um
das k-fache.
Koordinate im 2 und 3 dimensionalen Raum.
Vektordefinition einer Geraden.
Vektordefinition einer Ebene.
Skalarprodukt: geometrische, trigonometrische u. analytische Definition; Orthogonalität.
Vektorprodukt: geometrische u. analytische Definition; Flächeninhalt des entsprechenden
Parallelogramms.
Fertigkeiten
r r r
a ⋅a = a .
r r
a ⋅b
Winkel berechnen: cosϕ = r r .
a ⋅b
Längen berechnen:
Orthogonalität verifizieren können.
Geradengleichungen aufstellen können.
Ebenengleichungen aufstellen können.
Kolinearität verifizieren können.
Koplanearität verifizieren können.
Relative Position von Raumebenen bestimmen können.
Distanz eines Punktes zu einer Geraden bzw. einer Ebene berechnen können.
Flächen berechnen können.
Fähigkeiten
Vektoren graphisch und rechnerisch zerlegen können.
Vektoren in bestimmten Konfigurationen erkennen können.
Beweise mittels Vektoren durchführen können.
Hinweise und Bemerkungen
Physik: Arbeit.
Mechanik od. Physik: Drehmoment.
Beispiel:
Niveau 11GE, Baumert, Bos, Klieme, et al. 1999, TIMSS/III
Vektoren und Winkel
r r r r
r
r r
r r
Für zwei Vektoren a und b ( a, b ≠ 0) gilt: a + b = a − b .
r
r
Wie groß ist der Winkel zwischen a und b ?
6
Inhalt
Kenntnisse
4
Komplexe Zahlen
Gruppenbegriff, Körperbegriff.
Zahlenmengen: ¥ , ¢ , ¤ , ¡ , £ .
Grundsatz: Zahl der Nullstellen eines Polynoms.
Darstellungsformen: z = a + ib , z = reiθ , z = r (cosθ + i sinθ ) .
Polarkoordinatendarstellung.
Argument und Modul.
Graphische Darstellung in der Gaußschen Zahlenebene.
Rechenoperationen und ihre Eigenschaften.
Fertigkeiten
Algebraische Ausdrücke umformen können.
Kartesische Koordinaten in Polarkoordinaten umwandeln können und umgekehrt.
Linearisieren können.
Einfache Gleichungen mit reellen und komplexen Koeffizienten lösen können.
Geometrische Orte bestimmen können, welche durch Relationen zwischen komplexen Zahlen
definiert sind.
Fähigkeiten
Operationen geometrisch interpretieren können.
Komplexe Zahlen in der Geometrie anwenden können.
Die geeignete Darstellungsform finden können.
Hinweise und Bemerkungen
Elektrotechnik: Reihenschwingkreis (RLC) Z (ω ) = R + j(ω L −
Inhalt
Kenntnisse
Matrizen
Definition von 2x2 Matrizen.
Operationen und ihre Eigenschaften.
Gruppenbegriff, Körperbegriff, Vektorraumbegriff.
1
), ω ≥ 0 .
ωC
Fertigkeiten
Ausdrücke mit Matrizen berechnen können.
Einfache Gleichungssysteme in Matrixform umschreiben und lösen können.
Fähigkeiten
Formeln entdecken und mittels vollständiger Induktion beweisen.
Hinweise und Bemerkungen
Informatik: Skalierung eines Quadrates, Lösung eines Gleichungssystems, Programmierung der
Operationen.
Inhalt
Kenntnisse
Boolesche Algebra???
Fertigkeiten
Fähigkeiten
4
Obwohl komplexe Zahlen in den Studienanforderungsprofilen nicht als wichtig in allen Studiengängen bewertet wird, gehören
komplexe Zahlen zum Allgemeinwissen eines Schülers, der ein technisch-wissenschaftliches Studium aufnehmen möchte. Der
Schüler soll wissen dass es über die ihm bekannten realen Zahlen hinaus noch andere Zahlen gibt. (Horizonterweiterung.)
7
Hinweise und Bemerkungen
Elektrotechnik:
Informatik:
8
Ausbildungsziel: Geometrie und Trigonometrie beherrschen5
Allgemeine Fähigkeiten: sich in der Ebene und im Raum orientieren können, sich Objekte gedanklich vorstellen können, Objekte
geistig bewegen bzw. ihre Lage verändern können.
Inhalt
Kenntisse
Geometrie in der Ebene
Geraden und Winkel mit ihren Eigenschaften.
Parallelismus und Orthogonalität.
Dreieck, Parallelogramm, Kreis mit ihren Eigenschaften.
Höhen-, Winkel-, Seitenhalbierende, Mittelsenkrechte und ihre Eigenschaften.
Trigonometrische Relationen im rechtwinkligen Dreieck.
Satz des Pythagoras.
Satz des Thales.
Kongruenz und Ähnlichkeit.
Metrische Relationen im rechtwinkligen Dreieck.
Verallgemeinerter Satz des Pythagoras.
Transformationen und ihre Eigenschaften: Parallelverschiebung (Translation), Rotation,
Projektion, Punktsymmetrie, Achsensymmetrie, Streckung.
Fertigkeiten
Berechnungen von Winkel und Längen mittels der trigonometrischen und metrischen Relationen.
Anwenden des Pythagorassatzes und Thalessatzes in gegebenen Situationen.
Transformationen ausführen können.
Konstruieren von gegebenen Figuren mit Stift und Papier aber auch am Rechner.
Fähigkeiten
Grundkonfigurationen in konkreten Situationen erkennen.
Entdecken und Beweisen von geometrischen Eigenschaften.
Explorieren durch handgefertigte Skizzen aber auch durch Visualisieren am Rechner.
Symmetrien erahnen.
Hinweise und Bemerkungen
Beispiel :
Niveau 10GE, Nathan, Nouveau Transmath, 3e , exercice 44 page 147
Apprendre à démontrer, penser à des tracés supplémentaires
Enoncé : ABC est un triangle équilatéral
de 3 cm de côté. M, N, P sont les points
des côtés [ AB ] , [ AC ] , [ BC ] tels que :
AM = BN = CP = 1 cm.
A
1
⋅ AH ⋅ BC
2
où [ AH ] est une hauteur de ce triangle. On peut penser à
L’aire du triangle ABC est égale, par exemple, à :
faire apparaître cette hauteur sur la figure.
a.
Faire cette figure et tracer [ AH ] .
b.
Démontrer à l’aide de la réciproque du
théorème de Thalès que : ( MN ) // ( AH ) .
M
P
N
B
C
Démontrer que l’aire du triangle MNP est
égale au tiers de l’aire du triangle ABC.
c.
En déduire la nature du triangle BMN. Calculer
alors la valeur exacte de MN.
d.
De la même façon, calculer NP et PM.
e.
En déduire que MNP est une réduction de
ABC à une échelle à préciser.
f.
Expliquer alors pourquoi l’aire de MNP est
égale au tiers de ABC.
5
Anschaulicher Einstieg ins Beweisen. Voraussetzung in vielen mathematischen und außer-mathematischen Gebieten. Die
Geometrie eignet sich zur Förderung der drei in der Einführung genannten allgemeinen Fähigkeiten.
9
Beispiel:
Niveau 11GE, Principles and Standards for School Mathematics, National
Council of Teachers of Mathematics
A geometric problem requiring deduction and proof
In this figure, AB // DE and DF ⊥ CE .
Determine the perimeter of ABC and the perimeter of CDE . Explain
completely how you found your answers and how you know they are correct.
V
A
13
B
15
F
E
C
V
48
52
D
Inhalt
Kenntnisse
Geometrie im Raum
Geraden und Ebenen.
Parallelismus und Orthogonalität.
Prismen, Zylinder, Pyramiden, Kegel, Kugeln, Rotationskörper.
Fertigkeiten
Schnittmengen von Ebenen und Geraden in einfachen Fällen bestimmen können.
Einfache Körper perspektivisch in der Ebene darstellen.
Fähigkeiten
Sich Konfigurationen vorstellen können.
Parallelismus und Orthogonalität erahnen und begründen.
Hinweise und Bemerkungen
Ausbildungsziel: Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnen6
Inhalt
Kenntnisse
Statistik
Fertigkeiten
Fähigkeiten
Hinweise und Bemerkungen
Inhalt
Kenntnisse
Kombinatorik
Fertigkeiten
6
Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnen sind laut SAP nicht unverzichtbar. Es scheint aber selbstverständlich, dass ein
Abiturient während seiner Schulzeit wenigstens eine intuitive Vorstellung von diesem Ziel erlangt hat. Die 7., 8. oder 9. Klasse
würde sich gut dazu eignen (spielerischer Einstieg, realitätsbezogen).
10
Fähigkeiten
Hinweise und Bemerkungen
Inhalt
Kenntnisse
Wahrscheinlichkeit
Fertigkeiten
Fähigkeiten
Hinweise und Bemerkungen
Beispiel:
11