kann man begreifen!

Mathematik
kann man begreifen!
Sie beißt nicht ☺
Für alle, die sich nochmals an Mathe wagen.
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© 2015 - Marco Faass - Motikomm
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INHALTSVERZEICHNIS
Bevor Sie loslegen ................................................................................................................................... 7
Zahlen ...................................................................................................................................................... 8
Zahlenmengen ..................................................................................................................................... 8
Natürlich oder künstlich? ................................................................................................................ 9
Ganz und gar? .................................................................................................................................. 9
Rational oder emotional? .............................................................................................................. 10
Oder irrational? ............................................................................................................................. 10
Nicht mehr darstellbar Oder gar nicht mehr vorstellbar?............................................................. 11
Zahlensysteme................................................................................................................................... 14
Aufbau von Zahlensystemen ......................................................................................................... 14
Gleiches vergleichen.............................................................................................................................. 19
Bedingungen für Gleichheit............................................................................................................... 19
Gleichgewicht halten ......................................................................................................................... 20
(Un-) Gleichungen ............................................................................................................................. 21
Grundrechenarten ................................................................................................................................. 25
Addieren ............................................................................................................................................ 25
Subtrahieren ...................................................................................................................................... 26
Multiplizieren .................................................................................................................................... 26
Dividieren .......................................................................................................................................... 26
Rechenregeln für Grundrechenarten ................................................................................................ 28
Vorfahrtsregeln ............................................................................................................................. 28
Bruchrechnen ................................................................................................................................ 30
Mit Unbekanntem umgehen ................................................................................................................. 35
Variablen ........................................................................................................................................... 35
Umbauen ........................................................................................................................................... 35
Bundles .......................................................................................................................................... 37
5
Binomische Formeln ...................................................................................................................... 37
Brüche mit Variablen ..................................................................................................................... 41
Gleichungen mit Brüchen und Variablen ...................................................................................... 42
Taschenrechner ..................................................................................................................................... 43
Ein paar praktische Hinweise ............................................................................................................ 44
Wurzel ........................................................................................................................................... 44
Trigonometrie ................................................................................................................................ 44
Anwendungen in der wirklichen Welt ................................................................................................... 45
Einheiten und physikalische Grössen ................................................................................................ 45
Grosse und kleine Zahlen .................................................................................................................. 46
Prozente ........................................................................................................................................ 47
Umrechnungen .............................................................................................................................. 47
Winkel und Zeit ................................................................................................................................. 49
Der alte Grieche und andere Dreiecksgeschichten ........................................................................... 50
Der Satz des Pythagoras ................................................................................................................ 50
Trigonometrie ................................................................................................................................ 51
Flächen und Körper ........................................................................................................................... 54
Flächenberechnung ....................................................................................................................... 54
Körper ............................................................................................................................................ 56
Statistik .................................................................................................................................................. 57
Mittelwerte ....................................................................................................................................... 57
Listen und Kurven .............................................................................................................................. 58
Listen ............................................................................................................................................. 58
Standardabweichung......................................................................................................................... 59
Fähig oder nicht? ............................................................................................................................... 60
Gemischte Übungsaufgaben ................................................................................................................. 63
Zimmer streichen .............................................................................................................................. 63
Weihnachtsgeld ................................................................................................................................. 63
6
Fertigungs-/Montageauftrag ............................................................................................................. 64
Masseberechnung ............................................................................................................................. 64
Masse von Drähten ........................................................................................................................... 64
Arbeits-/Lieferzeitberechnung .......................................................................................................... 65
Vermischtes ....................................................................................................................................... 65
Lösungshinweise................................................................................................................................ 66
Zimmer streichen .......................................................................................................................... 66
Weihnachtsgeld ............................................................................................................................. 66
Fertigungs-/Montageauftrag ......................................................................................................... 66
Masseberechnung ......................................................................................................................... 67
Masse von Drähten ....................................................................................................................... 67
Arbeits-/Lieferzeitberechnung ...................................................................................................... 67
Ihre Weiterbildung ................................................................................................................................ 68
praktische Hinweise .......................................................................................................................... 68
Begeisterung...................................................................................................................................... 69
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BEVOR SIE LOSLEGEN
Vermutlich haben Sie dieses Skript in der Hand, weil Sie Sich für eine berufliche Weiterbildung
entschieden haben, die ein Minimum an mathematischen Kenntnissen verlangt. Dieses Minimum
wurde Ihnen entweder nie richtig vermittelt, weil Ihr damaliger Mathelehrer keine rechte Motivation
hatte, sich mit Halbwüchsigen herumzuschlagen, die nur im Unterricht saßen, weil sie es mussten;
oder Sie haben es in mehreren Jahren Berufstätigkeit einfach wieder vergessen, weil Sie es in dieser
Zeit nicht wirklich anwenden konnten.
Egal – in beiden Fällen kann ich Ihnen versichern, dass Mathematik an sich eine einfache und leichte
Sache ist – nur die Vermittlung ist leider oft ungeschickt und wenig daran orientiert, was man im
wirklichen Leben damit anfangen kann. Da Sie ja Ihre mathematischen Kenntnisse im Laufe Ihrer
Weiterbildung und danach in einer neuen beruflichen Funktion praktisch anwenden können, wird
sich allein der praktische Bezug sehr positiv auf das Neu- oder Wiedererlernen der in diesem Skript
behandelten mathematischen Grundlagen auswirken.
Ich bitte Sie daher um eines: seien Sie neugierig und gespannt, um wieviel einfacher sich vieles
gestalten wird, wenn Sie die Grundregeln der Mathematik (wieder) beherrschen – und geben Sie ihr
eine echte Chance. Falls Sie in Ihrem Leben schlechte Erfahrungen im Zusammenhang mit
Mathematik gemacht haben, lag es an den Lehrern, den mangelnden praktischen Anwendungsmöglichkeiten oder ähnlichem – nicht an der Mathematik an sich.
Wenn Sie Ihre Kenntnisse nur „entstauben“ müssen, können Sie Sich vermutlich sehr locker durch
dieses Skript durcharbeiten und vieles überspringen. Wenn der Staub dicker oder Ihre Kenntnisse
geringer sind (wenn Sie also von sich sagen würden, Sie haben keine Ahnung von Mathe), empfehle
ich Ihnen, das Skript intensiv zu lesen und alle Aufgaben selbständig zu bearbeiten.
Als Ergänzung sollten Sie Sich unbedingt ein Ihrer Weiterbildung
angepasstes Buch mit praktischen(!) Aufgaben besorgen, mit dem Sie
die hier beschriebenen Methoden an Aufgaben anwenden können, die
Ihrem (zukünftigen) Beruf entsprechen.
Für technische Berufe und Weiterbildungen v.a. im Bereich Metallverarbeitung empfehle ich das Rechenbuch Metall vom Europa Verlag.
Es enthält viele typische Aufgaben zum Thema Technik/ Metall (z.B. für
angehende Industriemeister, technische Fachwirte, u.ä.), zu deren
Lösung alle im Folgenden beschriebenen mathematischen Fertigkeiten
benötigt werden. Außerdem gibt es ein dazu passendes Lösungsbuch.
Allerdings empfehle ich Ihnen, sich anstatt des Lösungsbuches einen Freund zuzulegen, der sich mit
Mathematik gut genug auskennt, um Ihnen beim Lernen zu helfen und Ihre Lösungen zu prüfen.
Und wenn Sie keinen Freund finden, fragen Sie Ihren Dozenten. Die meisten sind besser als ihr Ruf
und freuen Sich über Kursteilnehmer, die Interesse am Inhalt des Kurses haben ☺
Und nun viel Spaß!
8
Mathematik beißt nicht - Zahlenmengen
ZAHLEN
Was sind eigentlich Zahlen?
Naja, wir kennen die 1,2,3,4, …, die man mit den Fingern zählen kann. Aber auch große Zahlen, 500g
378km, 2.500 Euro, … ups – das sind nicht nur Zahlen, das sind Zahlen mit Einheiten… aber das
kommt später.
Also: 1,2,3,4 – mit den Fingern zu zählen. Dann gibt’s noch die Null. Gilt sie als Zahl oder ist Null
einfach nur „nichts“? Und was ist mit Schulden? 2.000 Euro Monatseinkommen abzüglich 2.528,30
Euro Ausgaben sind -528,30 Euro. Das gibt es doch auch, oder?
Und überhaupt, Euro, Meter, Kilogramm … davon gibt’s nicht nur „Ganze“ sondern auch Teile – also
½ kg, 0,7 Meter, 2,38 Euro, eine ¾ Stunde. Komma- oder Bruchzahlen also.
Und das war’s jetzt. Zumindest waren das die Zahlen, die man sich so landläufig vorstellen kann. Dass
es zwischen allen möglichen(!) Komma- und Bruchzahlen noch Lücken geben soll, ist kaum
vorstellbar – und doch kann man √2, π, e weder als Bruch noch als Kommazahl schreiben. Das liegt
daran, dass diese Zahlen als Kommazahl geschrieben nie, nie, nie aufhören und sich dabei nicht
einmal wiederholen. Und das kann man sogar beweisen… aber nicht in diesem Skript ;-)
Tja, und wenn man noch weiter denkt, wird es wirklich schwierig: Was ist mit der Wurzel aus -1? Wo
könnte man √-1 auf dem Zahlenstrahl markieren? Richtig: nirgends. Das passt nicht auf den
Zahlenstrahl, das kann man auf keinem Meterstab ablesen. Und doch gibt’s das irgendwie…
ZAHLENMENGEN
Alle oben beschriebenen Zahlen werden in Gruppen oder Mengen eingeteilt. Man fängt mit der
kleinsten und einfachsten Menge an, die Zahlen, die man mit den Fingern zählen kann, und erweitert
diese Schritt für Schritt. Jede (Unter-) Menge ist also Teil aller übergeordneter Mengen. Das ist wie:
Alle Aras sind Papageien. Alle Papageien sind Vögel. Alle Vögel sind Tiere. Alle Tiere sind Lebewesen.
Oder: Alle Tannen sind Nadelbäume. Das sind Bäume. Das sind Pflanzen. Das sind Lebewesen.
Umgekehrt gibt es aber noch (viele) andere Lebewesen, noch (viele) andere Pflanzen, andere Tiere,
andere Vögel, Bäume, Papageien, Nadelbäume, …
Und wer gerade dieses Skript liest, kann lesen, kann deutsch, möchte (oder muss) Mathe verstehen,
ist ein Mensch. Aber ich bin mir bewusst, es gibt noch viele andere Menschen ;-) Viele, denen Mathe
egal ist, die nicht deutsch oder gar nicht lesen können – und viel zu viele, die nicht dieses Skript
lesen!
Aras
Papageien
Vögel
Tiere
Mathematik beißt nicht - Zahlenmengen
NATÜRLICH ODER KÜNSTLICH?
Für manche Aufgaben genügen uns unsere Finger – immer dann, wenn man etwas „an einer Hand
abzählen kann“ – dann lautet das Ergebnis eins oder zwei oder drei oder vier oder fünf – fertig.
Jeder Finger, eine Zahl – natürlich!
Eins, zwei, drei, … sind also natürliche Zahlen. Egal wieviele Hände man braucht, immer wenn man es
mit Fingern zählen kann, erhält man eine natürlich Zahl. Diese Menge nennt man die Natürlichen
Zahlen und beschreibt sie mit ℕ.
Notizen
GANZ UND GAR?
Und da es (meistens) nur ganze Finger gibt, sind alle Zahlen, die man mit und ohne Fingern zählen
kann, die ganzen Zahlen – also die oben genannten natürlichen Zahlen plus die Null und alle
„natürlichen Zahlen mit Minusvorzeichen“ – also unappetitlicher Weise außer den Fingern auch
„keine Finger“ und „fehlende Finger“. Das ist die Menge der Ganzen Zahlen ℤ.
Notizen
9
Mathematik beißt nicht - Zahlenmengen
10
RATIONAL ODER EMOTIONAL?
Eine (Essens-) Ration ist etwas Zugeteiltes und englisch „ratio“ ist ein Verhältnis, das angibt, wie sich
zwei Zahlen zueinander verhalten. Die rationalen Zahlen sind also alle Zahlen, die sich als Verhältnis
aus zwei ganzen Zahlen (be-) schreiben lassen. Also alle Brüche ( , ,
,
, … ). Zahlen, die man als
Bruch schreiben kann, inklusive der o.g. Ganzen Zahlen sind die Rationalen Zahlen ℚ1.
Notizen
ODER IRRATIONAL?
Und was man nicht als Bruch schreiben kann, ist logischer weise „nicht rational“ also irrational! Also
alle Zahlen, die man nicht(!) als Bruch (und auch nicht als Kommazahl) schreiben kann, die man aber
doch auf dem Zahlenstrahl findet, sind die Irrationalen Zahlen. Zusammen mit den Rationalen Zahlen
ergibt das dann die Menge der Reellen Zahlen ℝ.
Aber gibt es wirklich Zahlen, die man nicht als Bruch schreiben kann? – unvorstellbar…2
Notizen
1
Q wie Quotient, denn das R brauchen wir später noch.
Nehmen wir an, √2 ließe sich als echter Bruch schreiben: √2=p/q.
Durch Quadrieren erhält man 2= p/q ·p/q. Das Produkt auf der rechten Seite (aus zwei echten
Brüchen) ergibt logischer Weise wieder einen echten Bruch.
Daraus folgt, dass entweder 2 keine ganze Zahl ist (Quatsch!), oder dass unsere Annahme am Anfang
falsch war (√2 ließe sich als Bruch schreiben) – q.e.d.
2
Mathematik beißt nicht - Zahlenmengen
NICHT MEHR DARSTELLBAR ODER GAR NICHT MEHR VORSTELLBAR?
Die irrationalen Zahlen sind nicht unvorstellbar, nur schwer darstellbar. Denn die irrationalen Zahlen
füllen auf dem Zahlenstrahl die Lücken zwischen den rationalen Zahlen.
Lücken? Ja, da gibt es tatsächlich Lücken! Doch kaum vorstellbar – nicht wahr?
Aber jetzt kommt’s: es gibt Zahlen, die man wirklich nicht mehr auf dem Zahlenstrahl ablesen kann.
Es gibt also keine Länge, die diesen Zahlen entspricht. Man könnte das auf keinem Meterstab ablesen
und auf keiner Waage wiegen.
Wie soll so eine Zahl aussehen? Na zum Beispiel die Wurzel aus -1 und überhaupt alle Wurzeln aus
negativen Zahlen.
Und weil das nun wirklich kaum mehr vorstellbar und vor allem nicht mehr darstellbar ist, heißen
diese Zahlen Imaginäre Zahlen. Zusammen mit allen anderen bilden sie die Menge der Komplexen
Zahlen ℂ.
Und wie könnte man die grafisch darstellen, wenn sie nicht auf den Zahlenstrahl passen?
Das überlasse ich Ihrer Fantasie ☺
Natürliche Zahlen
Ganze Zahlen
Rationale Zahlen
Reelle Zahlen
Komplexe Zahlen
Notizen
11
12
Mathematik beißt nicht - Zahlenmengen
15 Minuten
Notieren Sie je mehrere Beispiele
für die einzelnen Zahlenmengen.
Einzelarbeit
NATÜRLICH
GANZ
RATIONAL
REELL
KOMPLEX
Mathematik beißt nicht - Zahlenmengen
ZAHLENSTRAHL
Und hier ein Zahlenstrahl zum selbst beschriften …
13
Mathematik beißt nicht - Zahlensysteme
14
ZAHLENSYSTEME
Es gibt 10 Arten von Menschen.
Die, die Binärcode verstehen, und die, die ihn nicht verstehen.
Zu welcher Kategorie gehören Sie?
AUFBAU VON ZAHLENSYSTEMEN
Um Zahlen darzustellen, brauchen wir Symbole3. Ein Symbol für jede Zahl also. Wir kennen 1 für eins,
2 für zwei, usw. Wenn wir für jede Zahl ein eigenes Symbol schreiben wollten, bräuchten wir sehr
viele unterschiedliche Symbole, die sich kein Mensch merken
könnte. Wir haben uns daher auf zehn Symbole geeinigt und
uns einen Trick ausgedacht:
Wir zählen von null (0) bis neun (9) und für größere Zahlen
schreiben wir zwei Stellen – also zum Beispiel 12 für zwölf.
Dabei wird die zweite (linke) Zahl einfach x10 genommen:
12 = 1 ∙ 10 + 2
43 = 4 ∙ 10 + 3
71 = 7 ∙ 10 + 1
27 = 2 ∙ 10 + 7
62 = 6 ∙ 10 + 2
98 = 9 ∙ 10 + 8
Und wenn auch die zwei Stellen nicht mehr ausreichen (mehr als 99), wenden wir den gleichen Trick
noch einmal an: wir nehmen noch eine zusätzliche, dritte Stelle und bewerten diese mit 10∙10.
Danach eine vierte, die 10∙10∙10 wert ist, usw:
271 = 2 ∙ 10∙10 + 7 ∙ 10 + 1
463 = 4 ∙ 10∙10 + 6 ∙ 10 + 3
758 = 7 ∙ 10∙10 + 5 ∙ 10 + 8
975 = 9 ∙ 10∙10 + 7 ∙ 10 + 5
3475 = 3 ∙ 10∙10∙10 + 4 ∙ 10∙10 + 7 ∙ 10 + 5
34271 = 3 ∙ 10∙10∙10∙10 + 4 ∙ 10∙10∙10 + 2 ∙ 10∙10 + 7 ∙ 10 + 1
Stellen Sie Sich nun vor, auf dem Planeten Bina haben die Bewohner an jeder Hand nur einen Finger.
Sie können dort also nur auf „zwei“ zählen (nicht auf zehn wie wir). Ein Binärer zählt nun seine
Bonbons. Er beginnt mit „eins“, erster Finger, klar. Dann zwei, beide Finger, auch klar. Jetzt hat er
aber keine Finger mehr und macht es wie wir, wenn wir bei zehn angekommen sind: er bittet seinen
Freund, sich die „zwei“ zu merken (dieser hebt einen Finger). Gleichzeitig „löscht“ er die Finger und
zählt weiter – also eine gemerkte „zwei“ (ein Finger beim Freund) und sein eigener Finger (für die
drei). Dann die gemerkte zwei (Freund) zwei eigene Finger; dann braucht auch der Freund wieder
einen Freund, der sich die zweimal zwei merken kann (Erster Finger des zweiten Freundes) – alle
anderen Finger werden gelöscht …
3
Genau das ist ja Mathematik: Eine „Schriftsprache“ mit der man das Zählen, Vergleichen, Berechnen, etc.
eindeutig und möglichst einfach (be-) „schreiben“ kann.
Mathematik beißt nicht - Zahlensysteme
Das sieht dann in etwa so aus:
Dritter Freund
Zweiter Freund
Erster Freund
Binärer
Anzahl Bonbons
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Lesen bitte erst weiter, wenn Sie das Binärsystem wirklich
begriffen haben. Falls es noch nicht klar geworden ist, nehmen
Sie Sich bitte drei Freunde und zählen Sie etwas mit ihnen –
natürlich nur mit den Daumen!
15
16
Mathematik beißt nicht - Zahlensysteme
Nach dem gleichen Prinzip arbeitet jedes mechanische Zählwerk, z.B. der Tachometer im (alten)
Auto oder im (U(h)r-) alten Radiowecker. Immer
wenn hinten die verfügbaren Ziffern „aufgebraucht“ sind, springt an der Stelle links daneben
die Ziffer um eins nach oben und die hintere wird wieder zu null. Und das pflanzt sich immer weiter
nach links fort. Dabei haben die weiter links liegenden Stellen immer den 10-fachen Wert der benachbarten Stelle … im Zehner-System. Im 2er-System auf Bina nur jeweils den doppelten Wert usw.
Wenn man sich nun mit etwas Fantasie die Bewohner unterschiedlicher Planeten vorstellt, die zwei,
(drei), acht, zehn und sechzehn Finger haben, sehen deren Zahlen so aus:
x 10 x 10 x 10
x 10 x 10
x 10
x1
x 8 x 8 x 8 = x 512
x 8 x8 = x 64
x8
x1
x1
x 16
x 16 x 16
x 163 = x 4096
x1
x2
x 23
x 24
x 25
0
1
10
11
100
101
110
111
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
10000
10001
10010
10011
10100
10101
10110
10111
11000
11001
11010
11011
11100
11101
11110
11111
100000
100001
100010
100011
100100
100101
100110
100111
101000
0
1
2
10
11
12
20
21
22
100
101
102
110
111
112
120
121
122
200
201
202
210
211
212
220
221
222
1000
1001
1002
1010
1011
1012
1020
1021
1022
1100
1101
1102
1110
1111
Bei den
Hexoten
Bei uns:
Bei den
Oktaren:
Bei den
Trimären:
Bei den
Binären:
Mathematik beißt nicht - Zahlensysteme
0
1
2
3
4
5
6
7
10
11
12
13
14
15
16
17
20
21
22
23
24
25
26
27
30
31
32
33
34
35
36
37
40
41
42
43
44
45
46
47
50
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
1A
1B
1C
1D
1E
1F
20
21
22
23
24
25
26
27
28
17
18
Mathematik beißt nicht - Zahlensysteme
25 Minuten
Wandeln Sie Binär- in Hex- in Dezimalzahlen um
und um- und umgekehrt.
Einzelarbeit
Z10
Z2
Z16
7
08
14
100
733
735
2013
CC
10101010
11101001
00000100 00101110
5209
00100111 00010000
11101000 01000111
1D047
Mathematik beißt nicht - Bedingungen für Gleichheit
GLEICHES VERGLEICHEN
BEDINGUNGEN FÜR GLEICHHEIT
Die Mathematik – also die (Schrift-) „Sprache“ für Zahlen, Zählen, Vergleichen, (Be-) Rechnen, etc.hat für ist das gleiche wie ein einfaches Symbol, das Gleichheitszeichen =.
2 + 2 = 4 bedeutet also: zwei + zwei ist das gleiche wie vier.
Allgemein ist das, was links vom Gleichheitszeichen steht, das gleiche wie das, was rechts davon
steht. Wie bei einer Balken- oder Apotheker-Waage. Wenn die linke und rechte Seite (Schaale) gleich
sind (gleich schwer, gleich groß, gleich viel, gleich wert), ist die Waage im Gleichgewicht. Die
Mathematik schreibt das eben mit =.
Zwei Äpfel sind also gleich (viel, schwer, teuer) wie zwei Äpfel:
+ = +
Und genauso gilt:
3 + 7 = 10
5 ∙ 8 = 40
70 = 100 – 3 ∙ 10
2 ∙ 7 = 10 + 4
27/3 = 3 ∙ 3
12 = 2 ∙ 6
2 + 3 + 4 + 5 + 6 -20 = 0
sin²x + cos²x = 1
(√5)² = 5
19
20
Mathematik beißt nicht - Gleichgewicht halten
GLEICHGEWICHT HALTEN
Genau wie bei der Balkenwaage (oder bei der Wippe auf dem Spielplatz) bleibt das Gleichgewicht
dann erhalten,
•
•
wenn man links und rechts
o gleich viel dazu legt,
o gleich viel weg nimmt,
o jeweils verdoppelt,
o jeweils halbiert,
o …
wenn man die beiden Seiten vertauscht.
Wenn also gilt:
=2
, dann ist auch in allen folgenden Fällen das Gleichgewicht erfüllt:
beide Seiten halbiert
=
beide Seiten verdoppelt
auf beiden Seiten
2 =4
dazu
+
=2
Seiten vertauscht
2
+
Nochmal verdoppelt
2∙(2
Nochmal verfünffacht
10∙(2
=
+
+
+
)=2∙( +
+
)=10∙( +
)
)
Man darf also mit jeder Gleichung folgendes tun:
•
beide Seiten mit derselben Zahl multiplizieren (mal nehmen)
•
beide Seiten durch dieselbe Zahl dividieren (teilen)
•
auf beiden Seiten dasselbe addieren (dazu zählen)
•
auf beiden Seiten dasselbe subtrahieren (abziehen)
•
beide Seiten vertauschen
•
auf beiden Seiten die Wurzel ziehen
•
beide Seiten quadrieren (hoch drei nehmen, …)
und das Gleichgewicht bleibt dabei erhalten. Die Gleichung gilt hinterher noch genauso wie vorher!
Und damit man später auch noch weiß, was man jeweils gemacht hat, schreibt man das rechts neben
die Gleichung hinter einen senkrechten Strich. Und das sieht dann zum Beispiel so aus:
Mathematik beißt nicht - (Un-) Gleichungen
Es gilt: 2
+6=8
+ 3. Wieviel ist ein
?
Ich fang also an, die Gleichung aufzuschreiben und sie solange zu „verändern“, bis sie mir sagt, was
ich wissen will:
2
+6=8
2
-2
6=6
+3
+6=8
|- 2
+3-2
+3
6–3=6
|-3
+3 – 3
3=6
|vertauschen
6
|:6
=3
=
= 0,5
Oder so:
Es gilt: 39 + 3 ² = 5 ² + 7. Wieviel ist ein ?
Ich schreibe wieder die Gleichung auf und verändere sie solange, bis das
39 + 3 ² = 5 ² + 7
links allein steht:
|-3 ²
39 + 3 ² - 3 ² = 5 ² - 3 ² + 7
39 = 2 ² + 7
|-7
32 = 2 ²
|vertauschen
2 ² = 32
|:2
² = 16
|√
=4
(UN-) GLEICHUNGEN
Und genau die gleichen Überlegungen und Regeln gelten natürlich auch, wenn eine Seite der Waage
oder Wippe schwerer ist als die andere. Wenn ich auf beiden Seiten dasselbe tue, bleibt natürlich
auch ein Ungleichgewicht erhalten!
21
22
Mathematik beißt nicht - (Un-) Gleichungen
20 Minuten
Verändern Sie folgende Gleichungen,
und finden Sie dadurch den Wert
der Unbekannten heraus.
Einzelarbeit
5 + 9 = 30 + 2
Wieviel ist ein ?
=
5 ² - 20 = 0
Wieviel ist ein
=
162 = 63 + 9a
Wieviel ist ein a?
a=
2 + = 2,25
Wieviel ist ein y?
y=
X² + 2X – 49 = 2X
Wieviel ist ein X?
X=
10,14 = 2,2f + 2
Wieviel ist ein f?
f=
2 X² + X – 7 = X² + x + 2
Wieviel ist ein X?
X=
?
Stellen Sie Sich vor, Sie sind auf dem Wochenmarkt. An unterschiedlichen Obstständen handeln Sie
mit den Obstverkäufern um/ mit Äpfeln. Welchen Wert (in Euro) hat jeweils ein Apfel?
Sie geben
Sie bekommen dafür
1,10€
2
0,70€
1
+ 0,20€
1,90€
3
+ 0,50€
1,50€ + 1
4
+ 0,30€
4,00€ + 3
10
+ 1,00€
0,90€ + 1
+1
4
Wert eines Apfels
Mathematik beißt nicht - (Un-) Gleichungen
Notizen
23
24
Mathematik beißt nicht - (Un-) Gleichungen
Notizen
Mathematik beißt nicht - Addieren
GRUNDRECHENARTEN
ADDIEREN
Beim Zusammenzählen von Zahlen ist die Reihenfolge, in der ich die Einzelwerte addiere, egal:
2 + 3 + 4 ist das gleiche wie 3 + 2 + 4 = 4 + 3 + 2.
Das kann ich hin und wieder ausnutzen, um schneller oder übersichtlicher rechnen zu können:
Muss ich zum Beispiel
wenn ich stattdessen
Da sehe ich sofort, das ist
98 + 17 + 2 + 3
ausrechnen, tue ich mir leichter,
98 + 2 + 17 + 3
rechne.
100 + 20 = 120.
Noch ein Beispiel: 187 + 216 + 975 + 4 + 13 + 25 … na?
975 + 25 + 187 + 13 + 216 + 4 ist schneller gerechnet, oder? (1000 + 200 + 220 = 1420)
Und wie könnte man 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 vereinfachen?
Wie wär’s mit 1+10 + 2+9 + 3+8 + 4+7 + 5+6 ? Macht 11 + 11 + 11 + 11 + 11 = 5 ∙ 11 = 55.
Und jetzt noch 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + …. + 98 + 99 + 100.
Jetzt können Sie zeigen, dass Sie es begriffen haben!
Notizen
25
26
Mathematik beißt nicht - Subtrahieren
SUBTRAHIEREN
Wenn ich hingegen eine Zahl von einer anderen abziehe, macht es wohl einen Unterschied, welche
Zahl ich wovon abziehe (das Gehalt von der Miete oder umgekehrt).
5 – 2 ist eben nicht dasselbe wie 2 – 5!
Man muss sich beim Subtrahieren vorstellen, dass das Minus-Zeichen fest zur Zahl dazugehört, denn
diese Zahl wird abgezogen, egal wohin man sie schreibt. Damit lassen sich dann auch Rechnungen
mit Minuszeichen umstellen:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 -6 -9 ist das gleiche wie 1 + 2 + 3 -6 + 4 + 5 -9 = 6 -6 + 9 -9 = 0.
MULTIPLIZIEREN
Genau dasselbe wie beim Addieren gilt auch beim Multiplizieren. 5 ∙ 3 ist das gleiche wie 3 ∙ 5. Auch
das hilft mir nicht nur beim Umformen von Gleichungen sondern durchaus auch beim Kopfrechnen:
2 ∙ 7 ∙ 5 ist das gleiche wie 2 ∙ 5 ∙ 7 = 10 ∙ 7 = 70.
5 ∙ 0,5 ∙ 2 ∙ 4 ∙ 5 = 2 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 5 ∙ 0,5 = 10 ∙ 0,5 ∙ 20 = 10 ∙ 10 = 100
DIVIDIEREN
Das Dividieren verdient die größte Aufmerksamkeit. Denn hier ist das mit der
Reihenfolge so eine Sache. Die Schreibweise mit dem Doppelpunkt „10 : 2 = 5“
oder dem Schrägstrich „10 / 2 = 5“ führt sehr häufig zu Verwirrungen und
Fehlberechnungen. Denn beim Dividieren ist nicht nur die Frage, wer wodurch
geteilt wird; es ist auch zu klären „was alles“ geteilt werden soll. Deshalb ist vor
allem beim Eingeben von Divisionen in den Taschenrechner größte Sorgfalt
geboten!
Nehmen wir ein Beispiel: Sie haben 10 Bonbons und einen Erdbeerkuchen. Sie
sollen das mit ihren neun Kameraden teilen. Gilt das nun nur für die Bonbons
oder nur für den Kuchen, für beides oder auch für die 10 Euro in Ihrer Hosentasche?
Und da Mathematik ja den Anspruch erhebt, Berechnungen eindeutig und einfach darstellen zu
können, hat sich für das Dividieren der Bruchstrich durchgesetzt. Und der Bruchstrich ist eigentlich
ganz einfach:
oder mathematischer:
Also
und 10 Euro im Gegensatz zu
.
Mathematik beißt nicht - Dividieren
10 Minuten
Berechnen Sie folgende Brüche.
Einzelarbeit
=
∙ ∙
=
∙
=
=
6+
3∙
=
∙
∙
+6=
∙ +
∙
=
=
∙
2∙
∙
=
=
=
=
=
∙ =
27
28
RECHENREGELN FÜR GRUNDRECHENARTEN
VORFAHRTSREGELN
So wie wir uns im Straßenverkehr an Ampeln, Schilder, Polizisten
und Rechts vor Links halten, müssen wir uns auch beim Rechnen
an die Vorfahrtsregeln halten, um auf ein eindeutiges und
richtiges Ergebnis zu kommen.
Je nach Taschenrechner und Eingabemodus erhalten Sie bei
3 + 7 ∙ 10 / 5 – 2 / 6 ∙ 8 unterschiedliche Ergebnisse.
Korrekt ist in diesem Fall 14,33333. Und zwar deshalb, weil man
hier (nur) die einfachsten Regeln anwenden muss, und zwar
•
•
Punktrechnung vor Strichrechnung
Von links nach rechts
Dabei gilt es nur noch zu beachten, dass „/“ eigentlich „:“ heißt und eine Punktrechnung ist. Damit
ergibt sich: 3 + 7 ∙ 10 / 5 – 2 / 6 ∙ 8 (also zuerst die „Punkte“ berechnen, und die von links nach
rechts) =
3 + 14 – 2,66667 = 14,33333 (und dann die Striche, also plus und minus).
Das ist wie die Rechts-vor-Links-Regel an einer unbeschilderten Kreuzung.
Und wie auf der Straße die Zusatzzeichen, Ampeln und Polizisten gibt es beim Rechnen auch noch
folgende Regeln und Zeichen:
•
•
Klammern vor allem anderen (Polizist)
Hochzahlen vor allem außer Klammern
Die Reihenfolge, in der man rechnet, ist also: Klammern, Hochzahlen, Punkt, Strich … KlaHoPS.
Und wenn Sie Sich beim Schreiben von Berechnungen nicht sicher sind, benutzen Sie Klammern!
Notizen
Mathematik beißt nicht - Rechenregeln für Grundrechenarten
10 Minuten
Berechnen Sie folgende Ausdrücke
unter Beachtung der „Vorfahrtsregeln“.
Einzelarbeit
2 ∙ (3 + 7) – ∙ 7 =
∙
3+4∙5+
2∙
2+(
∙
∙7–8=
+ 3 ∙ (5 ∙ 2 – 2) =
– 1)² - 5 =
!2 # $34 ' 2 ∗ )7 # 3 ) ' 1,³ # 1.² ' 6 1
7 ∙ )5 # 2
) ' 3 ∙ !5 ' $4 ' 2, # )5 ' 2 ) # 1. 1
2+3∙5–7∙2+6–2∙8–8/4=
29
30
Mathematik beißt nicht - Rechenregeln für Grundrechenarten
BRUCHRECHNEN
Wie schon beschrieben, gilt bei einem Bruchstrich:
Das Wichtige an dieser Aussage ist zweimal das „ALLES“!
Denn ist eben nicht dasselbe wie , auch wenn es so aussieht, als könne man die „zwei“
einfach wegstreichen! Was oben auf dem Bruch steht (der Zähler) und was unter dem Bruch steht
(der Nenner) ist jeweils zunächst getrennt und als Ganzes zu betrachten. Die Reihenfolge beim
Rechnen ist also die:
•
•
Zuerst Zähler und Nenner getrennt berechnen
und anschließend Zähler durch Nenner teilen
ERWEITERN UND KÜRZEN
Glücklicherweise gibt es für Brüche auch Möglichkeiten, sie zu vereinfachen. Denn ein Bruch (also ein
Verhältnis) folgt ähnlichen Gesetzmäßigkeiten wie ein Gleichgewicht.
Wenn das Verhältnis von Zähler zu Nenner sagen wir fünf zu vier beträgt (also 5:4 oder ), dann
bleibt dieses Verhältnis gleich, wenn ich Zähler und Nenner jeweils verdopple, halbiere, viertle,
verfünffache, usw.
Das haben Sie bei Kochrezepten schon oft angewandt: die im Kochbuch oder Internet angegebenen
Mengen gelten für zwei Personen. Sie erwarten aber 9 Freunde zu Besuch, brauchen also Essen für
zehn Personen. Sie nehmen daher von jeder einzelnen Zutat die fünffache Menge. Das Verhältnis der
Zutaten zueinander bleibt dabei gleich – der Kuchen, Salat, Auflauf oder was immer schmeckt daher
auch in der großen Menge genau gleich wie mit den Angaben für zwei Personen.
Es ist also
das gleiche wie
=
=
= usw. Jedes Mal verhält sich Zähler zu Nenner wie 5 : 4.
Das funktioniert genauso natürlich umgekehrt:
ist das gleiche wie
=
=
= usw. Jedes Mal verhält sich Zähler zu Nenner wie 9 : 1.
Wenn man Zähler und Nenner jeweils mit der gleichen
Zahl multipliziert (also verdoppelt, verdreifacht, etc.)
nennt man das Erweitern.
Wenn man Zähler und Nenner jeweils durch die
gleiche Zahl teilt (also halbiert, drittelt, viertel, etc.)
nennt man das Kürzen.
Mathematik beißt nicht - Rechenregeln für Grundrechenarten
BRÜCHE ADDIEREN
Wir kennen das von der Konditorei oder vom
Kuchenbuffet: die Torten sind in 12 Stücke
aufgeteilt, die runden Kuchen in 14; ganz
kompliziert Gebilde haben vielleicht nur 10
Stücke und Blechkuchen mindestens 16.
Wenn jetzt jemand zwei Tortenstücke und ein
Stück Blechkuchen isst, hat der dann mehr
oder weniger gegessen als einer mit einem Stück Kuchen und zwei Torten? Und einer mit vier
Stückchen Blechkuchen?
Der Kalorienbewusste Esser sieht sofort, dass man hier nicht einfach die Kuchenstücke zusammen
zählen darf. Es kommt selbstverständlich darauf an, den wievielten Teil eines ganzen Kuchens dieses
Stück darstellt.
Mathematisch haben unsere drei Beispielesser so viele Kuchen auf dem Teller:
Erster Gast
Zweiter Gast
Dritter Gast
1
2
+
12 16
1
2
+
14 12
4
16
Eine spontane Aussage ohne Taschenrechner können wir vermutlich nur beim dritten Gast machen,
denn er hat 4 mal einen Sechzehntel Kuchen gegessen, was –wie wir jetzt wissen- das gleiche ist wie
ein viertel Kuchen. Das Zusammenzählen der anderen Gäste ist komplizierter – denn wir ahnen (oder
wissen) schon, dass sich nur Teile gleicher Größe (Nenner) einfach so zusammen zählen lassen. Ein
Viertel und noch zwei Viertel sind drei Viertel. Zwei Achtel und fünf Achtel sind sieben Achtel – klar.
Wenn wir also Brüche zusammen zählen wollen, müssen wir sie zuerst so umformen, dass sie alle
den gleichen Nenner haben – und wie wir das hinkriegen, haben wir unter „Erweitern und Kürzen“
schon gelernt. In unserem Beispiel geht das so:
Erster Gast
Zweiter Gast
Dritter Gast
1
2
4
6
10
5
30
+
= + =
=
=
12 16
48 48 48
24 144
1
2
6 14 20
5
45
+
=
+
=
=
=
14 12 84 84 84 16 144
4
1
36
= =
16
4
144
Insgesamt haben die drei also
=
= etwas mehr als einen ¾ Kuchen verputzt.
Wie und wohin die Brüche jeweils erweitert oder gekürzt werden müssen, damit sie alle denselben
Nenner haben, erfordert ein bisschen Geschick. Meistens klappt es mit ein wenig Probieren. Was
immer funktioniert ist das Produkt aller einzelnen Nenner zu verwenden. Beim ersten Gast wäre das
12 ∙ 16 = 192, beim zweiten 14 ∙ 12 = 168. Wenn man durch Probieren einen kleineren Nenner findet,
auf den sich alle Brüche erweitern lassen, werden die Zahlen insgesamt nicht so groß, die Rechnung
wird einfacher und man kann leichter im Kopf rechnen oder zumindest nachher wieder kürzen.
31
32
Mathematik beißt nicht - Rechenregeln für Grundrechenarten
10 Minuten
Aber versuchen Sie es doch einfach selbst.
Addieren Sie folgende Brüche,
so dass am Ende jeweils ein einziger Bruch steht.
Einzelarbeit
+
+
+
=
=
=
+
=
+
+
+ +
+ +
=
=
=
+ + +
+ +
=
+ +
=
Mathematik beißt nicht - Rechenregeln für Grundrechenarten
33
KEHRBRÜCHE
Ob ich einen Kuchen durch (an) acht (Leute ver-) teile oder mir vom Kuchen ein Achtel nehme,
kommt auf’s gleiche heraus. Genauso ob ich eine Flasche Wein (1l) durch vier teile oder mir ein
Viertel davon nehmen usw.
Es ist also x:4 (oder x/4) das gleiche wie x ∙ . Und das gilt ganz allgemein: ob ich durch etwas teile
oder mit einem „Etwas-tel“ multipliziere, ergibt dasselbe Ergebnis. Dabei nennt man „ein Viertel“
den Kehrbruch von „Vier“, „ein Achtel“ den Kehrbruch von „Acht“ und umgekehrt. Natürlich gilt das
auch für „echte“ Brüche: zwei Drittel (
gesprochen
ist
5
der
und das ist das gleiche wie
Kehrbruch
6 7
von
85 ·
5
Übrigens ist der Kehrbruch von
) ist der Kehrbruch von drei Halbe (
=
5
und
damit
ist
6 7
). Und ganz allgemein
85
9
:
= ;<=>?@ABC ·
.
und das ist das gleiche wie 3. Denn 3 Bonbons durch eins
geteilt (also 3 Bonbons an eine Person verteilt) ergibt 3 Bonbons, also 3.
Es ist also
6 7
85
E
F
5
= ;<=>?@ABC · 3.
Gleiches gilt übrigens auch für Einheiten! Aber das kommt später nochmal.
Notizen
Wer sich jetzt mit Brüchen nicht sicher fühlt, sollte sich unbedingt ein
Übungsbuch zulegen oder sich von einem Freund ein paar Seiten voll
Aufgaben erstellen (und hinterher kontrollieren) lassen!
Mit Brüchen Hantieren ist Basiswerkzeug, das man immer benötigt!
34
Mathematik beißt nicht - Rechenregeln für Grundrechenarten
Notizen
Mathematik beißt nicht - Variablen
MIT UNBEKANNTEM UMGEHEN
VARIABLEN
Weiter vorne haben wir schon einmal den Wert eines Apfels bestimmt, aber auch den Wert eines
oder einer . Immer wenn wir von „etwas“ nicht wissen, wie groß/ schwer/ teuer es ist, schreiben
wir für „etwas“ einen Platzhalter. Einen , oder einen oder eine . Und weil wir hier nicht im
Kunstunterricht sind, vereinfachen wir die Symbole und benutzen einfach solche, die wir schon gut
kennen: die Buchstaben.
Ich schreibe für den Preis eines Apfels oder die Länge an einem Dreieck einfach „a“, für die bis jetzt
noch unbekannte Geschwindigkeit eines Fahrzeugs „v“, für die Masse einer Last, die am Kran hängt
„m“, usw.
Wenn ich also zum Beispiel für 5 Äpfel 3 Euro bezahle, kenne ich den Preis eines Apfels (noch) nicht
und nenne ihn zunächst einfach „a“. Da ich weiß, dass 5∙ = 3€ gilt, wende ich die o.g. Regeln zum
Umformen von Gleichungen an und erhalte:
5∙a = 3€
a=
€ = 0,60 €
| :5
= 0,60 €
Ein Apfel kostet also 60 Cent.
UMBAUEN
Ich darf also in einer Rechnung oder einer Gleichung mit den noch unbekannten Preisen, Längen,
Massen, etc. genauso rechnen und umgehen wie mit den bekannten. Ob da eine „5“ steht oder ein
„x“ ist für das Anwenden der Rechen- und Umformregeln egal.
Es wird Ihnen also passieren, dass Sie eine Gleichung auch mal durch „x“ teilen oder mit „s²“
multiplizieren müssen, um zu einem brauchbaren Ergebnis zu kommen… na und?!
Solange Sie auf dem Papier schreiben, behandeln Sie die Variablen einfach wie normale Zahlen –
letztlich sind es normale Zahlen, nur wissen wir noch nicht, welche ;-)
Der einzige Unterschied zwischen Variablen (=Platzhalter für eine Zahl) und der Zahl selbst ist, dass
Sie (noch) nicht mit dem Taschenrechner agieren können. Den können Sie erst benutzen, wenn alle
Zahlen einer Rechnung bekannt sind – leider.
Variablen sind also normale Zahlen,
deren Wert wir halt im Moment nicht kennen.
Und wir behandeln sie deshalb auch genau wie eine normale Zahl!
35
Mathematik beißt nicht - Umbauen
36
15 Minuten
Formen Sie folgende Gleichungen so um,
dass man die jeweilige Variable berechnen kann.
Einzelarbeit
G
4x =
3·
7a + 13 = 8 – 2a
=7
H
H
H
H
+3=1+
7· +
= 2∙x – 20
H
+ = 11 – x
G²
= -
3t – 4 =
G²
I
Mathematik beißt nicht - Umbauen
BUNDLES
Betrachten wir ein Bundle als eine Art Karton, in dem mehrere andere Dinge zusammen gepackt sind.
In unserem gedachten Geschenk-Bundle sind 5 blaue und 3 gestreifte Kugeln enthalten:
=
=
+
Wenn ich also drei Geschenk-Bundles kaufe, habe ich:
3∙
=3∙
=3∙
+3∙
= 15∙
+ 9∙
Wenn ich die blauen Kugeln mit „a“ und die gestreiften mit „b“ bezeichne, kann ich das so schreiben:
3∙(5a+3b) = 3∙5a + 3∙3b = 15a + 9b.
Gleiches gilt natürlich auch für 7 Bundles:
7∙(5a+3b) = 7∙5a + 7∙3b = 35a + 21b.
Und es gilt natürlich umgekehrt: aus 20 blauen und 12 gestreiften Kugeln kann ich 4 Bundles packen:
=
= 20a + 12b = 4∙
+4∙
= 4∙
= 4∙(5a+3b).
Und natürlich gibt es auch Bundles mit mehr als zwei unterschiedlichen Kugeln:
7∙(5a+3b+2c) = 7∙5a + 7∙3b + 7∙2c = 35a + 21b + 14c.
Und das Vorgehen ist ebenfalls dasselbe, wenn man „n“ Bundles hat (weil man noch nicht weiß,
wieviele es eigentlich sind):
n∙(5a+3b+2c) = n∙5a + n∙3b + n∙2c = 5∙n∙a + 3∙n∙b + 2∙n∙c.
(zur Erinnerung: 5∙3 ist das gleiche wie 3∙5, also ist n∙5∙a = 5∙n∙a)
BINOMISCHE FORMELN
Wenn ich nun für meine Familie (5 Pers.) und die eines Freundes (4 Pers.) für jeden ein oranges
Päckchen kaufe, habe ich insgesamt so viele Kugeln: (5 + 4) ∙ (5a + 3b) = für jeden von „uns“ 5 blaue
und 3 gestreifte (5∙ 5a + 5 ∙ 3b) und für jeden aus der Freundesfamilie auch (4 ∙ 5a + 4 ∙ 3b).
Es gilt also: (5 + 4) ∙ (5a + 3b) = 5 ∙ (5a + 3b) + 4 ∙ (5a + 3b) = 5∙5a + 5∙3b + 4∙5a + 4∙3b.
Ganz allgemein gilt: (a + b) ∙ (x + y) = ax + ay + bx + by.
Spezialfälle davon nennt man die Binomischen Formeln. Sie lauten:
(a + b) ∙ (a + b) = a² + 2ab + b²
(a – b) ∙ (a – b) = a² - 2ab + b²
(a + b) ∙ (a – b) = a² - b²
37
38
Mathematik beißt nicht - Umbauen
15 Minuten
Multiplizieren Sie alle Klammern aus
(Bundles auspacken)
und fassen Sie anschließend zusammen
(neue Bundles einpacken)
Einzelarbeit
)3 # 5) ∙ 3 ' 5
2 ∙ 5 # 3 ' 8 M 4 # 2 ' )3 ∙ 4 ' 2)
0,8 # 2,1 ' 11,2 ∙ )3,3 ' 6) ' )3 # 4 ∙ 5) # 4,2 ∙ 8 M 3 ∙ 2 # 1
6B ' 13B
6B ' 13B # 7 ∙ )B ' 4)
2B ∙ )3B # 5L) ' 7BL
6B ' 2 ∙ )13 # B)
J∙3#2'J
13 ∙ )4 ' J) ' 7J ∙ 3 # 2
)B # L) ∙ )B ' L) ' B
0,8J # 1,2K ' 13,8 ∙ )3,2J ' 1,5K) ' )3 # J) # 4,2 ∙ K ' 3
Mathematik beißt nicht - Umbauen
Notizen
39
40
Mathematik beißt nicht - Umbauen
Notizen
Mathematik beißt nicht - Umbauen
BRÜCHE MIT VARIABLEN
Eigentlich gibt es jetzt nichts Neues mehr. Da sich viele aber damit schwer tun, die bisherigen Regeln
miteinander zu kombinieren (also z.B. Gleichungen mit Brüchen umformen, Brüche mit Variablen
erweitern, usw.), wollen wir genau das hier noch gemeinsam angehen:
Um zwei Brüche zu addieren, müssen wir … was tun?
… richtig: sie so erweitern oder kürzen, bis sie denselben Nenner haben. Natürlich gilt das auch,
wenn im Nenner keine (bekannte) Zahl sondern eine Variable (also eine noch nicht bekannte Zahl)
steht. Wenn also 2 Drittel und 3 Drittel zusammen 5 Drittel ergeben, so sind 2 a-tel und 3 a-tel
zusammen für jeden nachvollziehbar 5 a-tel:
5
+
=
5
+ =
5
5
5
. Und genauso funktioniert es z.B. mit
(Sie erinnern sich: a ist nichts anderes als eine Zahl, die wir halt noch nicht
5
kennen; und a+1 ist auch eine Zahl, eins mehr als a, nichts weiter).
Ok, jetzt erweitern wir mit Variablen. Wie addiert man also
5
+ +
5
?
Um Brüche zu addieren,
muss man sie so kürzen oder erweitern,
dass sie alle denselben Nenner haben.
Was im oberen Fall bedeutet, dass wir alle drei Brüche auf den Nenner „3a“ bringen:
5
+
·5
·5
+
·
5·
=
5
+
5
5
·
+
Nächstes Beispiel: wir addieren
5
5
+
5
=
5
5²
·
=
·5
+
5
5
5
=
5
5
.
. Wie kann hier der gemeinsame Nenner aussehen?
Wie weiter oben schon erwähnt, gibt es dafür immer mehrere Möglichkeiten. In diesem Fall könnte
es sein: 18a4 (alle drei miteinander multipliziert), 6a², 6a oder 3a. Um vor allem letzteres zu sehen,
braucht man wie schon gesagt ein Auge dafür, was man wiederum durch Übung bekommt –
versprochen!
Lassen Sie uns gemeinsam mit 3a rechnen – und vielleicht versuchen Sie es mit den anderen Nennern
alleine!?
5
+
=
5
5
5²
+
= .
5
5
=
5
+
5· :5
5O ·
:5
+
:
5:
=
5
+
·
5·
+
: ·5
=
5
+
P
5
+
5
=
P
5
=
41
42
Mathematik beißt nicht - Umbauen
GLEICHUNGEN MIT BRÜCHEN UND VARIABLEN
Wenn Sie Sich mit diesem Skript (vermutlich) auf eine technische Weiterbildung vorbereiten, wird es
demnächst Ihre Aufgabe sein, (Schnitt-) Kräfte, Geschwindigkeiten, Längen, etc. aus vorhandenen
Angaben zu berechnen. Die gesuchten (zunächst unbekannten) Werte werden als Variablen in
Formeln auftauchen, die Sie aus einem Tabellenbuch oder einer Formelsammlung entnehmen
können. Um sie auszurechnen, müssen Sie also die Formeln (Gleichungen) wie oben schon gelernt
solange umformen, bis Sie den Wert der (bislang) Unbekannten ablesen oder mit Hilfe eines
Taschenrechners berechnen können.
Es könnte also sein, dass Sie die Beschleunigung „a“ eines Körpers (z.B. Ihres Autos) mit der Masse
1500 kg berechnen sollen, wenn er mit der Kraft 7500 N beschleunigt wird. Die passende Formel
finden Sie in jeder Formelsammlung: Kraft = Masse ∙ Beschleunigung. Mit den beiden bekannten
Werten ergibt sich daraus: 7500 N = 1500 kg ∙ a. Um die Beschleunigung a zu berechnen müssen Sie
also… ja was?
7500 = 1500 ∙ a
| vertauschen
1500 ∙ a = 7500
| :1500
a=
=5
Um die passende Drehzahl n für die Drehbearbeitung eines Werkstücks zu berechnen, kennen Sie
Die Hauptnutzungszeit tH = 30 sek.
Die zu bearbeitende Länge L = 100 mm
Die Zahl der Schnitte i = 2
Und den Vorschub f = 0,5 mm
•
•
•
•
Die zugehörige Formel lautet: tH =
30 =
·
,
·
· ,
. Also los:
|∙n
S· ,
30 ∙ n =
n=
Q·R
S·T
·
=
|:30
=
= 13,3333
Weitere Beispiele dieser Art finden Sie z.B. im Rechenbuch Metall aus dem Europa Verlag.
Mathematik beißt nicht - Umbauen
TASCHENRECHNER
Der Unterschied zwischen verschiedenen Taschenrechnern
ist in der Praxis deutlich größer als man zunächst annimmt.
Schließlich mag man nicht glauben, dass zwei Taschenrechner unterschiedlicher Hersteller beim Eingeben ein
und derselben Berechnung unterschiedliche Ergebnisse
anzeigen.
Natürlich liegt es nicht am „Rechner“ selbst – es liegt an
der Eingabe. Man kann eben nicht in jedem Rechner jede
Formel „einfach so“ eintippen, wie sie auf dem Papier
steht. Und aus diesem Grund empfehle ich Ihnen dringend, dass Sie Sich gleich zu Beginn Ihrer
Weiterbildung für einen Taschenrechner entscheiden, der alle Anforderungen erfüllt, und dass Sie
Sich diesen Taschenrechner zum Freund machen. Es lohnt sich auf jeden Fall, dafür nochmals Geld
auszugeben, schließlich kosten die kleinen Kerlchen nicht mehr die Welt sondern maximal 20,- Euro.
Folgende Kriterien sollte Ihr (neuer) Taschenrechner m.E. erfüllen:
Er sollte über alle notwendigen („wissenschaftlichen“) Funktionen verfügen, die Sie brauchen.
Das sind außer den trigonometrischen Funktionen (sin, cos, …) v.a. statistische Funktionen.
Mittelwert, Sigma, Median, usw. muss er auf jeden Fall beherrschen.
Er darf nicht programmierbar sein, keine Kurven malen können und sich nicht mit anderen
Geräten oder dem Internet verbinden (sonst ist er nicht für die Prüfung zugelassen!).
Er sollte eine editierbare Eingabe und mindestens zwei Textzeilen haben.
Es ist sehr sinnvoll, wenn Sie den gleichen Typ haben wie (alle) Ihre Mitschüler.
Und es ist sinnvoll, den Taschenrechner zu haben, der im Übungsbuch gezeigt (und erklärt) wird.
Ob er ausschließlich mit Batterien arbeitet oder ein Solarfeld hat, ob er vom einen Hersteller ist
oder vom anderen, ob er 493 oder 528 Funktionen hat, … das ist in Ihrer Praxis wirklich egal.
Und wenn Sie ihn haben, fangen Sie an, damit zu arbeiten. Lassen Sie Ihr Handy in der Tasche und
benutzen Sie diesen Taschenrechner für alle(!) Berechnungen – von jetzt bis zur Prüfung.
Beginnen Sie mit einfachen Eingaben:
√
·
+
usw. Vergleichen Sie das Ergebnis mit Ihrem
Nachbarn. Und machen Sie Sich dann mit den statistischen Funktionen vertraut. Dabei hilft Ihnen die
Bedienungsanleitung – ja wirklich! … die sollte man nicht gleich entsorgen, weil man sich ja zutraut
mit einem „einfachen Taschenrechner“ umgehen zu können! Es werden später Fragen kommen wie:
Wo ist eigentlich das π?
Wie gebe ich eine Wurzel oder eine Hochzahl ein?
Wie gebe ich einen Bruch ein? (Wie) kann ich mir das Ergebnis als Bruch anzeigen lassen?
Was heißt 2,8E-3?4
Wie berechne ich die Standardabweichung oder einen Mittelwert?
4
Diese Frage wird übrigens ein paar Seiten weiter beantwortet ;-)
43
44
Mathematik beißt nicht - Ein paar praktische Hinweise
EIN PAAR PRAKTISCHE HINWEISE
WURZEL
Bei der Eingabe einer Wurzel öffnet der Taschenrechner des einen Herstellers automatisch eine
Klammer. Nach Eingabe von √ 5 zeigt dieser √(5_
In diesem Fall muss man die Klammer (aus deren Inhalt dann die Wurzel gezogen wird)
mit ) manuell wieder schließen.
Der Taschenrechner des anderen Herstellers öffnet keine Klammer sondern zieht den Obercccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccd bis Sie die Wurzel mit ► beenden.
strich des √−Zeıchenssolangemıt,
Machen Sie Sich mit dieser Eingabemethode vertraut, um später unnötige Fehler zu vermeiden.
TRIGONOMETRIE
Berechnen Sie doch bitte mal den Sinus von 30. Was erhalten Sie? -0,988 oder 0,5?
Dass es hier zwei (und tatsächlich sogar mehr) Möglichkeiten gibt, liegt daran, dass es für die Angabe
eines Winkels unterschiedliche Möglichkeiten gibt. Und welche Möglichkeit Sie wählen, müssen Sie
am Taschenrechner zunächst einstellen. Sie werden Winkel in Ihrer Weiterbildung und im Beruf
immer in „Grad“ angeben, also meinten Sie bei obiger Rechnung genau genommen den Sinus von 30
Grad (oder 30°). Damit Ihr Taschenrechner das weiß, müssen Sie ihn auf „DEG“ einstellen (englisch
für degree = Grad). Und auch, wenn Sie das selbst „nie“ umstellen, schadet es nicht, diese Einstellung
vor einer Prüfung zu kontrollieren.
Jetzt nochmal: der Sinus von 30° ergibt… genau: 0,5.
Und umgekehrt geht es auch: Wenn Sie wissen, dass der Sinus eines Winkels 0,5 ergibt, können Sie
mit der Umkehrfunktion des Sinus den Winkel ausrechnen:
Sin α = 0,5
| sin-1
α = sin-1 (0,5)
Diese Funktion finden Sie auf derselben Taste wie den Sinus selbst; mit 2nd oder ALPHA oder Shift o.ä.
Gleiches gilt natürlich für Cosinus und Tangens:
Mathematik beißt nicht - Einheiten und physikalische Grössen
ANWENDUNGEN IN DER WIRKLICHEN WELT
Nun ist ja wie ganz zu Anfang erwähnt die Mathematik kein Selbstzweck. Ganz im Gegenteil, es
handelt sich um eine Art Sprache, in der man reale Aufgaben möglichst einfach (be-) schreiben und
anschließend lösen kann.
Um ein einfaches Beispiel zu nennen:
Sie kaufen beim Bäcker 3 Brötchen à 0,60 €, zwei Brezeln à 0,70 €, einen Cappuccino to go für 2,20 €
und geben der Verkäuferin einen 10-Euro-Schein. Wieviel bekommen Sie raus?
In „Mathematik-Sprache“ geschrieben sieht das so aus:
Rausgeld = 10,00 – 3∙0,60 - 2∙0,70 – 2,20 = 10,00 – 1,80 – 1,40 – 2,20 = 4,60.
Sie bekommen also (hoffentlich) 4,60 € heraus.
Ihr Kollege war bei einem anderen Bäcker, hat auch 3 Brötchen à 0,60 €, zwei Brezeln à 0,70 € und
einen Cappuccino to go gekauft. Er hat ebenfalls mit einem 10-Euro-Schein bezahlt aber 4,80 €
zurück bekommen. Wieviel hat dort der Cappuccino gekostet?
10,00 – 3∙0,60 - 2∙0,70 – x = 4,80 (dabei ist „x“ der Preis des Cappuccino)
6,80 – x = 4,80
|+x
6,80 –x + x = 4,80 + x
6,80 = 4,80 + x
|- 4,80
6,80 – 4,80 = x
| vertauschen
x = 6,80 – 4,80 = 2,00
Der Cappuccino kostet also beim anderen Bäcker nur 2,00 Euro.
EINHEITEN UND PHYSIKALISCHE GRÖSSEN
Wie anfangs schon erwähnt, bezahlen und messen wir nicht mit „nackten“ Zahlen sondern in Euro,
Meter, Gramm, usw. Das nennen wir Einheiten. Sie beschreiben, wovon wir 10 oder 3,5 oder 13278
haben. Unsere obige „Bäcker-Rechnung“ muss also lauten:
Rausgeld = 10,00 € - 3∙0,60 € - 2∙0,70 € – 2,20 € = 4,60 €.
Jetzt entspricht das Ergebnis der Realität, Sie bekommen 4,60 Euro Rausgeld und nicht vier komma
sechs (ohne Einheit).
Die Einheiten werden in einer Rechnung oder Gleichung genauso behandelt wie eine Variable.
Brüche und Gleichungen können also wie oben bei den Variablen beschrieben auch mit m, €, kg, etc.
umgeformt werden. Um zum Beispiel eine Durchschnittsgeschwindigkeit zu berechnen teilen Sie
einfach die gefahrene Strecke (100 km) durch die verstrichene Zeit (2 Stunden):
e
v= =
I
·fg
·h
= 50
fg
h
45
46
Mathematik beißt nicht - Grosse und kleine Zahlen
GROSSE UND KLEINE ZAHLEN
Wie dick ist eigentlich ein Blatt Papier? 0,0001 Meter vielleicht? Wie weit ist es von Stuttgart nach
Berlin? Ca. 600000 Meter? Und wieviel wiegt ein Elefant? Ca. 4000000 Gramm? Ziemlich unpraktisch,
diese Einheiten, wenn man so viele Nullen schreiben muss.
Richtig, und deshalb hat man diese Vorsilben erfunden. Tausend Gramm nennt man Kilo-Gramm,
tausend Meter entsprechend Kilo-Meter. Statt einem tausendstel Meter sagen wir Milli-Meter, und
es gibt noch viele weitere Abkürzungen, um Nullen zu sparen (vor oder nach dem Komma):
1000 = kilo (k)
Tausendstel = milli (m)
1000∙1000 = 1 Million = mega (m)
Millionstel = micro (µ)
1000∙1000∙1000 = 1 Milliarde = giga (g)
Milliardstel = nano (n)
Die linken Vorsilben kennen Sie vermutlich aus der Computer-Welt (Kilobyte, Megabyte, Gigabyte),
die rechten eher z.B. von Wellenlängen (Mikrowelle (da Wellenlänge im Mikrometer-Bereich),
Nanometer = Wellenlängenbereich des sichtbaren Lichtes) oder von der Maß- oder Oberflächengenauigkeit von Metallteilen (Mikrometer µm oder Nanometer nm).
Und auch diese Vorsilben, die ja eigentlich für Zahlen stehen, werden genauso behandelt wie
Variablen, mit dem Unterschied, dass man den Wert der Vorsilbe sogar kennt und sie durch die von
ihr beschriebenen Zahl ersetzen kann, wenn es passt:
Wenn der Klebestreifen oder die Folie auf einer Rolle 3,5 km lang und 19 mm breit ist. Wieviel Fläche
könnte man dann damit belegen? Die Fläche berechnet sich wie die eines jeden Rechtecks (wenn es
auch zugegebener Maßen ein etwas unförmiges Rechteck ist) aus Breite mal Länge:
FlächeKlebestreifen = 3,5 km ∙ 19 mm
Ich darf nun die Vorsilben behandeln wie Variablen oder Zahlen also auch umstellen – gleiches gilt
für die Einheiten (m):
FlächeKlebestreifen = 3,5 km∙19 mm = 3,5 m∙19 m∙k∙m(illi) = 3,5∙19∙m∙m∙0,001∙1000 = 3,5∙19 m² = 66,5 m²
Anders ausgedrück: ich hätte gleich zu Beginn der Rechnung das Kilo mit dem Milli verrechnen
können (1000∙0,001=1) und wäre es los gewesen (∙1):
FlächeKlebestreifen = 3,5 km ∙ 19 mm = 3,5∙19 m² = 66,5 m²
Für noch größere und noch kleinere Zahlen hat sich die Schreibweise in Zehnerpotenzen
eingebürgert: 70.000.000.000.000 = 7∙10∙10∙10∙10……∙10 = 7∙1013
Ihr Taschenrechner macht daraus 7E13.
Zu beachten ist, dass bei quadrierten Einheiten (oder hoch drei)
die Vorsilbe mitquadriert (potenziert) wird:
1 km² ist also 1∙(1000m)² = 1000000 m²
und 1m³ sind 1∙(100 dm)³ = 1000000 dm³ = 1000000 l.
Mathematik beißt nicht - Grosse und kleine Zahlen
PROZENTE
Außer den o.g. Vorsilben, die als Abkürzung für große oder kleine Zahlen geschrieben werden, gibt
auch noch eine Nachsilbe – und zwar nur diese eine: Prozent. Wer Latein kann oder die
entsprechende Währung im Land hat, tut sich mit der Erklärung leicht: pro cent heißt „durch 100“.
50 pro Cent ist also das gleiche wie 50 : 100 = 0,5.
50 % von 200 € ist also das gleiche wie 50 :100∙200 € oder
·
€
= 100 €.
UMRECHNUNGEN
Einige bekannte und geläufige Einheiten werden aus anderen Einheiten (den Grundeinheiten)
berechnet:
N(ewton) =
fj·g
e²
bar = 0,1∙
k
gg²
W(att) =
k·g
e
W(att) = V(olt) ∙ A(mpère)
Auch hier bedeutet “=”ist das gleiche wie, das heißt ich kann in einer Rechnung oder Gleichung das
eine (linke Seite: N, bar, …) durch das andere ersetzen (rechte Seite:
fj·g
,
e²
k
0,1∙ gg², …).
In Ihrer technischen Formelsammlung finden Sie einige solcher Einheiten-Umrechnungen. Machen
Sie Sich bitte damit vertraut und markieren Sie die Seite in der Formelsammlung.
Lassen Sie uns noch einmal das Beispiel mit dem Auto nehmen, das beschleunigt wird:
Ein Auto wird mit der Kraft F = 7,5 kN angetrieben und erfährt dadurch eine Beschleunigung von
g
a = 5 e . Wie groß ist die Masse des Autos in kg?
Die Formel ist wieder dieselbe5: F = m∙a, also
7,5 kN = m ∙ 5
g
|∙s
e
| : 5m
7,5 kN∙s = m ∙ 5 m
, fk·e
·g
m=
m=
=m
, fk·e
·g
| vertauschen
=
·fj·g·e
g·e
, ·
·g
·k·e
=
·k·e
g
| N durch
fj·g
e
ersetzen
| Bruch mit s und m kürzen
m = 1500 kg
5
Bitte suchen Sie diese Formel in Ihrer Formelsammlung und markieren Sie sie. Sie werden sie öfter brauchen!
47
48
Mathematik beißt nicht - Grosse und kleine Zahlen
Oder in einem Kolben mit Ø20 mm² herrscht ein Druck von 6 bar.
Wie groß ist die Kraft, die am Kolben wirkt?
Kraft F = Druck mal Fläche = p · A
l²
)
gg ²
Die Fläche eines Kreises (Kolben) ist A = π· . In unserem Fall also π·
= π·100 mm².
Damit ist die Kraft, die durch den Druck auf die Kolbenfläche wirkt:
F = p · A = 6·bar· π·100 mm²= 1885 bar·mm²
k
Da bar das gleiche ist wie 0,1· gg², darf ich das eine durch das andere ersetzen und erhalte:
F = 1885 bar · mm² = 1885·0,1·
k
·mm²
gg²
gg²
= 1885·0,1·N· gg² = 188,5 N.
Und zu guter Letzt:
Ein Kran hebt eine Last mit der Masse m=1000 kg in t=30 Sekunden um h=10 m an. Welche Leistung
erbringt der Kran:
P=
P=
g·j·h
I
g
(g ist die Erdbeschleunigung = 9,81 e² )
fj·P,
eO ·
g·
g
e
·P,
=
Jetzt müssen wir wissen, dass
P = 3270 ·
fj·g²
e³
= 3270 ·
·
·fj·g·g
·e²·e
fj·g
e²
fj·g g
e²
·
e
=
·P,
das gleiche ist wie N, und
= 3270 ·
k·g
e
·
fj·g²
·
e³
k·g
das
e
= 3270 ·
fj·g²
e³
gleiche ist wie Watt:
= 3270 W
Die Rechen- und Umformregeln, die in Gleichungen
und Brüchen gelten, gelten genau gleich für
• Variablen
(Zahlen, deren Wert man noch nicht kennt)
• Vorsilben
( „Variablen“ für Zahlen, die man kennt)
• Einheiten
(„Variablen“, die nie zu Zahlen werden)
Mathematik beißt nicht - Winkel und Zeit
WINKEL UND ZEIT
Winkel und Zeit verdienen es deshalb, separat erwähnt zu werden, weil Winkelgrad und sämtliche
Zeitangaben die einzigen Einheiten sind, die nicht mit 10, 100 oder 1000 umgerechnet werden.
Natürlich wissen wir, dass ein ganzer Tag das gleiche ist wie 24 Stunden, eine Stunde das gleiche wie
60 Minuten und eine Minute das gleiche wie 60 Sekunden. Wenn wir aber 2783 Sekunden in
Minuten oder Stunden umrechnen müssen, vergessen wir das hin und wieder: Dabei ist es eigentlich
einfach:
2783 Sekunden = 2760 Sekunden + 23 Sekunden = 46∙60∙Sekunden + 23 Sekunden.
Und da –wie oben erwähnt- 60 Sekunden das gleiche ist wie 1 Minute, darf ich das eine durch das
andere ersetzen:
2783 Sekunden = 46∙(60 Sekunden) + 23 Sekunden = 46∙(1 Minute) und 23 Sekunden.
Soweit so gut, und wieviel Minuten sind das als Kommazahl?
30 Sekunden sind 0,5 Minuten, 45 Sekunden sind 0,75 Minuten usw.,
23 Sekunden sind also 23/60 Minuten = 0,3833 Minuten.
2783 Sekunden sind also 46,3833 Minuten.
Und wie kommt man auf die 46? Ganz einfach: 2783/60 = 46,…
2783 sind also 46 ganze Minuten (und ein paar restliche Sekunden).
46 Minuten sind 46∙60 = 2760 Sekunden, bleiben also 23 Sekunden „übrig“.
Und rückwärts? 2,7775 Stunden – wieviele Sekunden sind das?
Ganz einfach: 1h = 60 Minuten, 1 Minute = 60 Sekunden. Das hintere in das vordere eingesetzt,
ergibt: 1h = 60 ∙ 60 Sekunden = 3600 Sekunden. 1h = 3600 Sekunden kann ich wieder einsetzen:
2,7775 Stunden = 2,7775∙3600 Sekunden = 9999 Sekunden.
x Sekunden sind x/60 Minuten oder x/3600 Stunden.
n Stunden sind n∙60 Minuten oder n∙3600 Sekunden.
Und exakt dasselbe gilt für
Winkelgrade, Winkelminuten und Winkelsekunden.
49
50
Mathematik beißt nicht - Der alte Grieche und andere Dreiecksgeschichten
DER ALTE GRIECHE UND ANDERE DREIECKSGESCHICHTEN
Wenn Sie an geometrischen Formen Längen und Winkel berechnen müssen, helfen Ihnen (fast)
immer die Gesetze des rechtwinkligen Dreiecks. Ich hatte einen Mitschüler, der eine komplizierte
Abitur-Aufgabe in dreidimensionaler Geometrie nur mit Hilfe von rechtwinkligen Dreiecken gelöst
hat. Und es war alles korrekt … hat nur länger gedauert als bei den anderen ;-)
Ein rechtwinkliges Dreieck ist ein Dreieck, das an einer Ecke einen rechten Winkel hat, also 90°; zwei
der Seiten stehen also senkrecht aufeinander. Diese zwei Seiten nennt man Katheten. Die dritte Seite
ist die gegenüber dem rechten Winkel. Sie ist naturgemäß die längste Seite am rechtwinkligen
Dreieck. Diese Seite nennt man Hypotenuse.
Die beiden (nicht rechten) Winkel werden jeweils von einer Kathete und der Hypotenuse gebildet.
Bezogen auf den Winkel, den man gerade betrachtet, ist die am Winkel anliegende Kathete die
Ankathete und die gegenüber liegende die Gegenkathete.
DER SATZ DES PYTHAGORAS
Das erste Gesetz, das einem vermutlich einfällt, wenn man an rechtwinklige Dreiecke denkt, ist der Satz des Pythagoras. Und vermutlich
kennt ihn auch jeder. Was er jedoch bedeutet, ist vielleicht nicht
jedem ganz klar. Der Satz lautet: Die Fläche der beiden Quadrate
über den Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks entspricht der
Fläche des Quadrats über der Hypotenuse.
Das bedeutet, dass die Fläche der beiden roten Quadrate zusammen genommen genau so groß ist wie die
Fläche des blauen Quadrats. Und dass das in jedem
Dreieck mit rechtem Winkel gilt!
Nun hilft uns das Addieren von Flächen in den meisten unserer
Aufgaben nicht wirklich weiter. Aber natürlich kann man den
Satz des Pythagoras auch für die Längen selbst anwenden –
und dafür ist er eigentlich auch gedacht. Der Satz heißt nämlich
in „Mathematik“: a² + b² = c².
Und zwischenzeitlich wissen wir ja, dass wir damit jede der drei
Längen berechnen können, wenn wir die anderen beiden kennen. Man braucht die Gleichung nur so
umzuformen, dass die gewünschte (unbekannte) Länge links steht und alles andere rechts, und
anschließend die Wurzel zu ziehen – fertig.
Mathematik beißt nicht - Der alte Grieche und andere Dreiecksgeschichten
TRIGONOMETRIE
Wenn man mit Längen allein nicht weiter kommt und den einen oder anderen Winkel kennt oder
benötigt, braucht man die Trigonometrie. Und auch die ist eigentlich ganz einfach:
In allen (unterschiedlich großen) Dreiecken, deren Winkel gleich sind, haben immer zwei Seiten
dasselbe Verhältnis zueinander. Und den drei möglichen Verhältnissen hat man Namen gegeben.
Bezogen auf den Winkel α gilt:
-
b zu a =
m
=
nojoSfGIhoIo
= Tangens = tan α
-
b zu c =
m
=
nojoSfGIhoIo
= Sinus
-
a zu c =
G
=
G
q
q
pSfGIhoIo
rstuIoSveo
pSfGIhoIo
rstuIoSveo
= sin α
= Cosinus = cos α
c
Siehe Rechenbuch Metall 1.4.2 / Seite 33 ff.
b
α
a
Bezogen auf den Winkel β gilt:
G
=
nojoSfGIhoIo
= Tangens = tan β
a zu c =
G
=
nojoSfGIhoIo
= Sinus
b zu c =
m
=
-
a zu b =
-
-
m
q
q
pSfGIhoIo
rstuIoSveo
pSfGIhoIo
rstuIoSveo
= sin β
= Cosinus = cos β
β
c
Siehe Rechenbuch Metall 1.4.2 / Seite 33 ff.
b
a
51
52
Mathematik beißt nicht - Der alte Grieche und andere Dreiecksgeschichten
15 Minuten
Berechnen Sie mit Hilfe von Pythagoras und den
trigonometrischen Funktionen die fehlenden Längen.
Einzelarbeit
d
8
c
5
a
3
b
7
40°
25°
Mathematik beißt nicht - Der alte Grieche und andere Dreiecksgeschichten
Notizen
53
Mathematik beißt nicht - Flächen und Körper
FLÄCHEN UND KÖRPER
FLÄCHENBERECHNUNG
Zur Berechnung einer (beliebigen) Fläche gibt es prinzipiell zwei Möglichkeiten:
•
•
Man misst die Fläche durch Zählen z.B. von Quadraten auf dem Millimeterpapier
Oder man zerlegt die vorliegende Fläche in Teilflächen, deren Flächeninhalt man kennt bzw.
für den man eine Formel hat – wie Quadrate, Rechtecke, Dreiecke, (Halb-/ Viertel-) Kreise, …
Betrachten wir folgendes Beispiel. Hätten Sie die inneren Linien nicht, sähe die Fläche nahezu
undefiniert aus. Mit etwas Fantasie oder der Kenntnis über die Entstehung dieser Fläche (also z.B.
15
=
=
20
54
=
8
=
6
mit einer Nachfrage beim Konstrukteur!) findet man die inneren blauen Linien. Daraus folgt dann,
dass sich die Fläche aus folgenden bekannten Formen zusammensetzt:
•
•
•
•
Ein Parallelogramm mit den Seitenlängen 15 und 6
Ein Trapez mit den „Breiten“ 8 und 15 – und der Höhe 6∙cos 30°
Ein gleichseitiges Dreieck mit Seitenlänge 6
Ein regelmäßiges Sechseck mit Seitenlänge 6
Die einzelnen Flächen können Sie mit Hilfe Ihrer Formelsammlung berechnen und zusammen zählen.
Mathematik beißt nicht - Flächen und Körper
BEKANNTE FLÄCHEN
Einige „bekannte“ Formen lassen sich mit ein und derselben Formel berechnen:
•
•
•
•
•
Dreieck
Rechteck
Quadrat
Trapez
Parallelogramm
Bei Ihnen allen gilt
Die restlichen Flächen, die Ihnen begegnen werden, sind der Kreis und Teile davon:
•
•
•
Halbkreis, Viertelkreis, „Kuchenstück“
Kreisring (= Großer Kreis minus kleiner Kreis)
Kreisabschnitt
Bitte schlagen Sie die Formeln für Flächen am Kreis in Ihrer Formelsammlung nach.
Notizen
55
56
Mathematik beißt nicht - Flächen und Körper
KÖRPER
Die Berechnung von Volumen entspricht dem Vorgehen bei der Berechnung von Flächen. Man kann
ein Volumen entweder „zählen“ (also z.B. mit Wasser füllen, das man anschließend in eine Hohlform
mit Maßteilung gießt – eine Messbecher zum Beispiel) oder man zerlegt es in kleinere Teilvolumen,
deren Inhalt bekannt ist, also Quader, Zylinder, Kugeln, etc.
Die Formeln zur Volumenberechnung dieser Körper finden Sie in Ihrer Formelsammlung.
Außer der Kugel und Teilen davon (s. Formelsammlung) gibt es zwei Arten von Körpern, die Ihnen
vermutlich öfter begegnen werden:
PRISMEN UND PYRAMIDEN
Prismen sind Körper, die entlang einer Achse immer den gleichen Querschnitt haben. Sie entstehen
indem man eine (ebene) Fläche gleichmäßig in die dritte Dimension „extrudiert“, also alle
Strangpressprofile inkl. Stangen, Stäbe (also auch Quader und Zylinder).
Ihr Volumen berechnet sich nachvollziehbar aus Grundfläche mal Höhe, wobei für die Grundfläche
die o.g .Regel gelten.
Pyramiden entstehen ähnlich wie Prismen aus einer (ebenen) Fläche, die ebenfalls gleichmäßig in die
dritte Dimension „extrudiert“ dabei aber stetig (linear) kleiner wird. Von einer Pyramide reden wir,
wenn sie oben in einem einzigen Punkt (der Spitze) zusammen läuft – ansonsten nennen wir das
einen Pyramidenstumpf.
Das Volumen berechnet sich aus 1/3 mal Grundseite mal Höhe.
15 Minuten
Rechenbuch Metall
S. 56, Aufgaben 2 und 7
Einzelarbeit
Mathematik beißt nicht - Mittelwerte
STATISTIK
Statistik ist die Lehre von Methoden zum Umgang mit quantitativen Informationen. Sie ist eine Möglichkeit, eine systematische Verbindung zwischen Erfahrung und Theorie herzustellen. Unter Statistik
versteht man die Zusammenfassung bestimmter Methoden, um empirische Daten zu analysieren.
Aha…
Einfacher formuliert, ist Statistik eine Werkzeugkiste. Und man
braucht sie immer dann, wenn man eine unübersichtlich große
Menge an gesammelten Daten vor sich hat (in unserem Fall Messoder Prozessdaten). Und mit den Werkzeugen der Statistik kann man
•
•
•
•
diese Daten sortieren und übersichtlich darstellen,
aus den vielen Daten repräsentative und aussagekräftige Einzelwerte herausdestillieren,
Aussagen über den Prozess und dessen Stabilität machen
o Also kann man ihn unbeaufsichtigt weiter laufen lassen
o Oder muss man jedes Teil nachmessen
o Oder wird er demnächst aus dem Ruder laufen
o …
Aussagen über die Fähigkeit einer Maschine oder eines Messmittels machen
o Ist es sinnvoll mit diesem Messmittel dieses Maß zu messen
o Oder ist die Ungenauigkeit des Messmittels größer als meine Toleranz
o Hängt die Ungenauigkeit von bekannten Faktoren ab oder ist sie zufällig
All das und viel mehr kann man mit statistischen Funktionen ausrechnen und darstellen. Aber wie
schon im Bild angedeutet, wollen wir uns auf einige wenige Werkzeuge beschränken.
MITTELWERTE
Es mag Sie erstaunen, aber es gibt doch tatsächlich mehrere Arten von Mittelwerten. Dazu stellen wir
uns zunächst die Frage: „Wozu ist ein Mittelwert gut? Wofür kann ich ihn verwenden?“.
Und so viele Antworten es dafür gibt, so viele Methoden gibt es, Mittelwerte zu berechnen:
Welcher meiner ermittelten (gemessenen) Werte liegt eigentlich
in der Mitte aller Werte – bei welchem der Messwerte gibt es also
gleich viele größere wie kleinere Messwerte ?
x.
Das ist der Medianwert w
Das ist der Modalwert D.
Welcher der vorliegenden Werte kommt am häufigsten vor?
Wo liegt eigentlich die theoretische Mitte
aller vorliegenden (gemessenen) Werte?
Das ist der
arithmetische Mittelwert yz.
Siehe Rechenbuch Metall Kapitel 3.2.1 / 3.2.2
57
58
Mathematik beißt nicht - Listen und Kurven
15 Minuten
Und diese drei Mittelwerte können Sie alle
mit Ihrem Taschenrechner berechnen.
Bitte tun Sie das jetzt gleich einmal.
Nehmen Sie als „gemessene“ Werte
das Alter aller Kursteilnehmer.
Einzelarbeit
LISTEN UND KURVEN
Ein erstes einfaches Mittel, um eine lange Reihe von (unsortierten) Messwerten übersichtlicher darzustellen, ist es natürlich, sie zu sortieren, in Gruppen einzuteilen oder sie in irgendeiner Form grafisch darzustellen.
LISTEN
Natürlich gibt es die „Urliste“, also die, mit der die Werte eingesammelt wurden. Der Zettel mit den
aufgeschriebenen Messwerten, die Tabelle mit allen Messwerten, die das Messgerät ausgedruckt
hat, usw.
Nun kann man die Messwerte sortieren (um z.B. den Medianwert zu ermitteln). Man kann sie beim
Sortieren aber auch gleich in Klassen einordnen. Nehmen wir zum Beispiel nochmal das Alter aller
Kursteilnehmer:
Klasse
Werte
Unter 20 Jahre:
20 bis 30 Jahre:
30 bis 40 Jahre:
Über 40 Jahre:
18, 19, 19
20, 22, 23, 25, 25, 28, 29
30, 32, 35, 39
42, 44
Anzahl Werte
pro Klasse
3
7
4
2
Relative
Häufigkeit
3 von 16 = 3/16 = 18,75 %
7 von 16 = 7/16 = 43,75 %
4 von 16 = 4/16 = 25 %
2 von 16 = 2/16 = 12,5 %
Wenn man sich diese Tabelle 90° gedreht vorstellt, sehen die Werte aus wie die Balken eines
Histogramms, die einem anzeigen, wieviel Werte in der jeweiligen Klasse vorkommen.
Und der Anteil einer Klasse an der Gesamtzahl der Werte ist die relative Häufigkeit.
Mathematik beißt nicht - Standardabweichung
STANDARDABWEICHUNG
Wenn man die relative Häufigkeit der Klassen als Kurve
in ein Diagramm einträgt, erhält man je nach Art des
Merkmals, das man untersucht hat, unterschiedliche
Kurven.
•
eine „Rechteckverteilung“, wenn nämlich in jeder Klasse (so gut wie) gleich viele Werte drin
stehen.
Zum Beispiel die Zahl der Schüler pro Klasse
oder Jahrgang einer Schule
•
Eine „komische“ Verteilung. Zum Beispiel die
Zahl der Bundesbürger pro Alter (Jahr)
•
Oder eine „Normalverteilung“, die deshalb so
heißt, weil alle zufällig verteilten Merkmale eine
solche Verteilung aufweisen – und wenn etwas
„zufällig“ verteilt ist, verhält es sich ohne
äußeren Einfluss – also normal.
J̅
Wie im rechten Graph dargestellt können natürlich
diese Normalverteilungen –auch Gauß’sche Glockenkurve genannt (und früher auf dem 10-Mark-Schein
σ σ
abgebildet)- unterschiedlich breit sein. Abhängig davon,
um wieviel das untersuchte Merkmal hin und her
schwankt: wenn ich die Länge eines Menschen mit dem Meterstab messe, schwankt das Ergebnis
vermutlich um einige Zentimeter. Wenn ich die Dicke einer Metallplatte mit dem Messschieber
messe, wird das Ergebnis nur um wenige 1/100-tel mm schwanken – und wenn ich ordentlich
arbeite, wird die Schwankung der Ergebnisse zufällig sein, es wird sich also um zwei Normalverteilungen handeln, die deutlich unterschiedlich breit sind.
Um nun die „Qualität“ einer solchen Kurve zu beschreiben, um also auszudrücken, wie stark die
Werte nach links und rechts schwanken (rote Kurve) bzw. wie dicht sie beieinander liegen (grüne
Kurve), hat sich die Standardabweichung σ (Sigma) etabliert. Im Bereich von ± σ um den Mittelwert J̅
herum liegen 68,27 % aller Werte.
Das bedeutet, je kleiner σ ist,
desto enger liegen die Werte
beieinander und die Kurve ist
schmal und spitz. Bei größeren
σ ist die Kurve flach und breit,
die Werte schwanken stark um
den Mittelwert.
59
60
Mathematik beißt nicht - Fähig oder nicht?
FÄHIG ODER NICHT?
Um eine Aussage darüber machen zu können, ob ein Prozess oder ein Messmittel für die ihm zugedachte Aufgabe geeignet –also fähig- ist, benutzt man die Standardabweichung und den arithmetischen Mittelwert. Wenn ein Prozess z.B. Zylinder drehen soll, die den Durchmesser 10,00 mm
haben, dann ist der Prozess umso besser,
•
je näher der Mittelwert aller produzierten Zylinder bei 10,00 mm liegt
•
und je weniger die Durchmesser der Zylinder schwanken.
Den zweiten Punkt beschreibt man dadurch, dass die Standardabweichung der produzierten
Durchmesser kleiner sein muss als ein von der Firma (oder dem Kunden) festgelegter Grenzwert –
und dieser Grenzwert ist sinnvoller Weise abhängig von der zulässigen Fertigungstoleranz.
Eine gängige Bedingung ist σ ≤ 0,1 · Toleranz.
Wenn nun der Mittelwert der produzierten Durchmesser nicht in der Mitte der Toleranz liegt (also
bei 10,00 mm), muss σ noch kleiner sein, damit der Prozess als zuverlässig (und fähig) gilt. Man hat
| – Toleranzmitte) .
sich hier auf folgende Bedingung geeinigt: σ ≤ 0,1 · Toleranz – 0,2 · (w
Wenn Sie Ihre Werkzeugkiste noch ein bisschen auffüllen wollen, arbeiten Sie bitte mit dem Rechenbuch Metall unter 3.2 und dem Tabellenbuch Metall.
20 Minuten
Führen Sie eine Messreihe durch (20 Messungen)
und bestimmen Sie davon den arithmetischen
Mittelwert, den Medianwert, den Modalwert
und die Standardabweichung.
Einzelarbeit
Einigen Sie Sich auf einen zulässige Toleranz
und machen Sie eine Aussage über
die Fähigkeit Ihrer Messungen.
Mathematik beißt nicht - Fähig oder nicht?
Notizen
61
62
Mathematik beißt nicht - Fähig oder nicht?
2 Wochen
Führen Sie in Ihrem Betrieb
eine Messgerätefähigkeit durch.
Einzelarbeit
•
Wählen Sie in Ihrem Betrieb ein Messgerät Ihrer Wahl aus; einen Messschieber, eine Bügelmessschraube, einen Höhenmesser, eine Waage, einen Lasersensor, eine Mehrstellenmessgerät oder was immer Sie wollen.
•
Wählen Sie ein „gutes“, sauberes Werkstück und führen Sie mit diesem Werkstück entsprechend viele Wiederholmessungen durch.
•
Wiederholen Sie den Vorgang mit dem Kalibrierstück.
•
Geben Sie die Messergebnisse in eine Excel-Tabelle ein.
•
Berechnen Sie mit dem Taschenrechner (Pflicht) und z.B. Excel (Kür)
die Fähigkeitsindizes cg und cgk.
•
Machen Sie eine Aussage zur Messgerätefähigkeit des ausgewählten Messgerätes.
•
Diskutieren Sie mit dem zuständigen Meister über Ihre Auswertung.
Mathematik beißt nicht - Zimmer streichen
GEMISCHTE ÜBUNGSAUFGABEN
ZIMMER STREICHEN
Sie wollen ein Zimmer streichen mit 4x5m Grundfläche und 2,50m Höhe.
(keine Türen und Fenster)
•
1l Farbe reicht für 5m².
•
1l Farbe kostet 5€,
10l kosten 40€,
25l kosten 80€.
•
Eine Person benötigt 6h für das ganze Zimmer.
Wieviel Farbe wird benötigt?
Was kostet die benötigte Farbe?
Wie lange braucht man zu zweit/dritt?
Auf dunklem Untergrund benötigt man 50% mehr Auftrag,
wieviel Farbe wird jetzt benötigt, was kostet das und wie
lange braucht man allein/ zu zweit/ zu dritt?
WEIHNACHTSGELD
Die Firma stellt folgende Mehreinnahmen
des Jahres zur gleichmäßigen Verteilung
zur Verfügung:
20 Projekte hatten
€2.800,- Gewinn statt €2.200,Für 10 neue Arbeitsplätze gab es Rabatte.
Schreibtisch: 80€; PC: 50€; Stuhl: 20€.
Prämie als bester Zulieferer des Jahres:
5.000€
Einsparungen im Benzinverbrauch:
30 Fahrzeuge 6l/100km statt 6,5l/100km bei durchschnittlich 25000km/Jahr und 1,50€/l.
Alle Mitarbeiter waren im Schnitt 1% schneller als geplant, bei einem Jahresvolumen von 3 Mio €.
Diese Summe wird an folgende MA verteilt:
4 Konstrukteure, 5 Fertiger, 3 MA Verwaltung, 3 Montage-Teams à 4 Mann (abzügl. je 1 Praktikant),
Vertrieb In- u. Ausland, je 2 Innen- u. 1 Außendienstler
Wieviel Weihnachtsgeld bekommt jeder MA?
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Mathematik beißt nicht - Fertigungs-/Montageauftrag
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FERTIGUNGS-/MONTAGEAUFTRAG
Sie sollen 3 Vorrichtung à 7 Teile bauen. Die Montage benötigt 2,5h / Vorrichtung.
Sie haben dafür 2 MA á 7h/Tag.
Kosten: 15€/kg
25€/h/MA
40€/h/Maschine
Wie ist die Lieferzeit? Wie hoch sind die Herstellkosten?
Teil Nr.
Gewicht
Bearbeitungsdauer
1
0,5kg
1h
2
300g
0,5h
3
1,8kg
¾h
4
1,2kg
1 ½h
5
750g
30 Min.
6
850g
1h 15 Min.
7
1,6kg
½h
MASSEBERECHNUNG
25 Platten haben eine Masse von 2,8kg.
Welche Masse haben 2, 6 oder 52 Platten? Welche Masse hat eine Platte?
Anzahl Platten
Masse
1
2
6
25
2,8 kg
52
MASSE VON DRÄHTEN
Berechnen Sie die Masse folgender Metalldrähte:
Draht-Ø im mm
Werkstoff
Länge in mm
2,5
Stahl
2390
0,8
Kupfer
12222
1,6
CuZn
702
6,3
Stahl
2633
Mathematik beißt nicht - Arbeits-/Lieferzeitberechnung
ARBEITS-/LIEFERZEITBERECHNUNG
4 Mitarbeiter benötigen für 5 Vorrichtungen zusammen 30h.
Wie lange brauchen 2 Mitarbeiter für 2 Vorrichtungen, etc.?
Anzahl Mitarb.
Anzahl Vorr.
1
1
2
1
2
2
4
1
1
5
4
5
4
7
8
20
25
300
Dauer
30h
VERMISCHTES
Aus einer Presse sollen aus 4mm dickem Stahlblech mit einer Scherfestigkeit von 360 N/mm²
Scheiben mit einem Durchmesser von 320mm ausgeschnitten werden.
Wie groß ist die erforderliche Pressenkraft?
Eine Gummidichtung wird durch einen Deckel, der mit 6 Schrauben M12 befestigt ist,
zusammengepresst.
Um welche Länge wird der Gummidichtring bei 1,5 Umdrehungen der Schrauben
zusammengedrückt?
Ein 800 m langer Kupferdraht hat einen elektrischen Widerstand von 5,6 Ω.
Welchen Durchmesser hat der (runde) Draht?
Vier Monteure benötigen für die Montage einer Werkzeugmaschine 9 Tage.
Wie lange dauert die Arbeit, wenn ein Monteur ausfällt?
Die Ausbildungsvergütung wird von €320,- auf €336,25 erhöht.
Wieviel Prozent Steigerung entspricht das?
Der Durchmesser eines Kolbens beträgt 72mm.
Welchen Durchmesser muss die Kolbenstange erhalten, wenn die wirksame Kolbenringfläche
3267mm² sein soll?
65
66
Mathematik beißt nicht - Lösungshinweise
LÖSUNGSHINWEISE
ZIMMER STREICHEN
Fläche = 2 ∙(4m ∙2,5m)+2 ∙(5m ∙2,5m)+4m ∙5m=65m²
Benötigte Farbe =
g²
}²
~
= 13l
Kosten: 40€ + 15€ = 55€
Zu zweit: t = 6h/2 = 3h - zu dritt: t = 6h/3 = 2h
Auf dunklem Untergrund benötigt man 50%
50% mehr = 150% benötigt -> mal 1,5
13l ∙ 1,5 = 19,5l
80€
6h ∙1,5=9h ; 9h/2 = 3h ∙1,5=4,5h ; 9h/3=2h ∙1,5=3h
WEIHNACHTSGELD
20 ∙ (2.800 - 2.200)= 20 ∙ 600 = 12.000 €
10 ∙ (80+50+20)=800+500+200 = 1.500 €
5.000 €
6,5€
6,0€
€
0,5€
€
30 ∙ •
−
ƒ ∙ 25000•‚ ∙ 1,5 = 30 ∙
∙ 25000•‚ ∙ 1,5 =
100•‚ 100•‚
€
100•‚
€
=
∙ , ∙
∙ , ∙„∙…†∙€
∙…†∙„
= 5.625 €
1/100 ∙ 3.000.000 = 30.000 €
12.000€ + 1.500€ + 5.000€ + 5.625€ + 30.000€ = 54.125€
Diese Summe wird an folgende MA verteilt:
4+5+3 = 12
3 ∙(4-1) = 3; 3∙3 = 9
2 ∙(2+1) = 2∙3 = 6
54.125€ / 27MA = ca.2000,- pro MA
FERTIGUNGS-/MONTAGEAUFTRAG
3 ∙ (2,5h + 6h) = 3 ∙ 8,5h = 25,5h
25,5h / (2 ∙ 7h) = 1,82 Tage
2 Tage
25,5h ∙ 25€/h + 21kg ∙ 15€/kg + 3 ∙ 6h ∙ 40€/h = 637,5€ +315€+720€ = 1672,50€
12+9+6=27
Mathematik beißt nicht - Lösungshinweise
MASSEBERECHNUNG
Siehe Rechenbuch Metall, Seite 39 - Beispielaufgabe
Anzahl Platten
Masse
1
112g
2
224g
6
672g
25
2,8kg
52
5,824kg
MASSE VON DRÄHTEN
Berechnen Sie das Volumen des Drahtes – mit dessen Durchmesser und seiner Länge.
Es handelt sich um einen Zylinder!
Die Masse ist gleich dem Volumen mal der Dichte des Materials. Die Materialdichte entnehmen Sie
dem Tabellenbuch.
ARBEITS-/LIEFERZEITBERECHNUNG
Siehe Rechenbuch Metall, Seite 39 – 1.5 Schlussrechnung
Anzahl Mitarb.
Anzahl Vorr.
Dauer
1
1
24h
2
1
12h
2
2
24h
4
1
6h
1
5
120h
4
5
30h
4
7
42h
8
20
60h
25
300
288h
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68
Mathematik beißt nicht - praktische Hinweise
IHRE WEITERBILDUNG
PRAKTISCHE HINWEISE
Nun haben Sie also Ihren Werkzeugkoffer mit den wichtigsten mathematischen Grundwerkzeugen
gefüllt bzw. diese wieder entstaubt oder entrostet. Wenn Sie den Koffer jetzt wieder zu machen und
bis zur Abschlussprüfung unters Bett stellen, werden Sie erleben, dass das Werkzeug dann wieder
genauso verstaubt und eingerostet ist, wie es zu Beginn der Veranstaltung war.
Also benutzen Sie alles, was Sie jetzt wieder oder neu entdeckt haben. Und ja, am Anfang ist es
schwer und anstrengend – und lassen Sie Sich gesagt sein: es lohnt sich! Denn wenn Ihnen bei Ihrer
Abschlussprüfung nur eines fehlen wird, dass ist es Zeit. Und das einzige Mittel, das Sie haben, um
die Zeit der Prüfung optimal zu nutzen, ist es, mit den Ihnen zur Verfügung stehenden Werkzeugen
umgehen zu können. Wenn Sie zu Beginn einer Aufgabe zielsicher nach dem richtigen Werkzeug
greifen und dieses schnell und effektiv anwenden können, sage ich Ihnen hier und jetzt, haben Sie
schon die halbe Miete – wenn nicht mehr!
Und die Werkzeuge von denen wir bei der Weiterbildung als Meister, technischer Fachwirt etc.
reden, sind
•
•
•
•
Mathematische Grundkenntnisse (wie in diesem Skript beschrieben)
Ihr Taschenrechner – und dass Sie mit ihm umgehen können
Ihre Formelsammlungen – und dass Sie Sich darin auskennen
Das Tabellenbuch und sämtliche bei den Prüfungen zugelassenen Bücher
Machen Sie Sich also diese Werkzeuge zum Freund, gehen Sie täglich damit um, schmökern Sie in
den Büchern und Formelsammlungen, bekleben Sie sie mit post-it’s, spielen Sie mit Ihrem Taschenrechner – und machen Sie so viele Übungsaufgaben wie möglich – und zwar ohne Lösungsbuch!
Und wenn Sie meinen, Sie haben alles begriffen und sind topp vorbereitet, dann kommt der
ultimative Test:
•
Erklären Sie die prüfungsrelevanten Themen Ihrem Freund oder Ihrer Freundin (oder Ihrem
Mann/ Ihrer Frau)…
… die haben keine Ahnung von dem, was Sie hier tun?
Super, genau darum geht es. Wenn Sie in der Lage sind, einem fachfremden, der sich (im „besten“
Fall überhaupt nicht dafür interessiert) Ihr Thema so zu erklären, dass Sie selbst das Gefühl haben,
er/ sie hat es verstanden – dann haben SIE es verstanden. DANN sind Sie bereit für die Prüfung!
Mathematik beißt nicht - Begeisterung
BEGEISTERUNG
Ich erinnere mich noch gut an unsere Mathematik-Vorlesung. Damals gab es noch diese OverheadProjektoren mit Folie auf Rollen. Der Professor (ein typischer „Matheprof“) schrieb mit der einen Hand
und drehte die Walze mit der anderen Hand. Ohne Pause. Ohne Begeisterung. Höhere Mathematik!
Und wir waren uns alle sicher und darüber einig: das braucht nun wirklich kein Mensch je im Leben!
Ein Semester später hörten wir „Strömungslehre“. Sehr interessant, denn da hat man praktischen
Bezug, man kann Strömungen sehen, Strömungsverläufe zum Beispiel mit Tinte im Wasser sichtbar
machen. Das ist ästhetisch, wir waren begeistert und voll bei der Sache!
Bis zu der Stelle, an der wir den Satz von Gauß gebraucht hätten… wir waren uns wieder alle einig,
dass wir davon noch nie gehört hatten.
Sie ahnen es natürlich – ein halbes Jahr vorher hat es uns nicht interessiert! Hätten wir gewusst, wozu
man diese Mathematik später verwenden kann, wäre nicht nur unsere Begeisterung geweckt worden,
es hätte sich auch anschaulich erklären lassen und wir hätten es leicht gelernt.
Um aus unserem „alten Trott“ heraus zu kommen, um dazu zu lernen, müssen wir zunächst
„umdenken“. Und der Hirnforscher Dr. Hüther sagt uns, was wir Menschen zum „Umdenken“
brauchen: Wir brauchen Begeisterung!
Begeisterung – so Dr. Hüther - setzt im Gehirn eine Art „Dünger“ frei, der nötig ist, um neue Verknüpfungen zu bilden, also zu lernen und das Denken zu verändern.
Das gilt in allen Lebens- und Lernbereichen: Die attraktive Chinesin bringt den älteren Schwaben leicht
dazu, chinesisch zu lernen. Für die eigenen Kinder wirft man in seinem Leben Dinge über den Haufen,
die vorher in keinem Fall zur Diskussion standen. Für das Hobby, das uns begeistert, gehen wir
nochmals in den Unterricht, lernen auf Prüfungen und bringen derart viel Zeit auf, wie wir es für
unsere Arbeit zum Beispiel niemals für möglich hielten.
Diese Begeisterung brachten wir alle als Kind mit auf die Welt. Wir begeisterten uns für jeden Sche…
und alles, was uns begegnete, und lernten in unseren ersten Jahren sehr leicht und unglaublich viel.
Mit den weiteren (Schul-) Jahren haben wir diese Begeisterung verloren.
Warum eigentlich?
Begeisterung bedeutet, dass uns etwas im Herzen ergreift, dass es uns nahe geht. Dazu muss die Tür
unseres Herzens offen sein und wir müssen Nähe zulassen. Und genau das haben wir über die Jahre
abgelegt. Denn unsere Eltern und Lehrer konnten sich nicht mit uns begeistern und haben uns das
deutlich gesagt. Sie nannten uns „Träumer“ und haben uns stattdessen erklärt, was im Leben
(angeblich) wirklich wichtig ist. Wir mussten Dinge lernen, die uns nicht interessiert haben. Vermutlich
deshalb, weil sich unsere Lehrer selbst nicht (mehr) dafür begeistern konnten – so wie mein
Matheprof.
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Mathematik beißt nicht - Begeisterung
Und auf Grund ständiger Ermahnungen oder gar Demütigungen haben wir gelernt, unsere
Begeisterung für uns zu behalten, unsere Herzenstür im Alltag zu schließen, auf Distanz zu gehen und
nur noch das zu lernen, was man uns sagt – natürlich mit mäßigem Erfolg.
Gäbe es in unserem Leben mehr „Strömungslehre“, die unser Interesse findet und für die wir uns
begeistern können, würden wir den Gauß‘schen Integralsatz mit Leichtigkeit verstehen und ihn sogar
auswendig wissen.
Und genau dazu möchte ich Sie ermutigen. Konzentrieren Sie Sich im Leben nicht auf die Mittel –
sondern auf die Ergebnisse! Begeistern Sie Sich für die neue Stelle, die Sie nach der Weiterbildung
antreten werden – und das Lernen wird zum Kinderspiel. Schwärmen Sie für die neue Firma, bei der
Sie sich beworben haben – und es ist Ihnen eine Freude, mehr und mehr Übungsaufgaben zu
bearbeiten. Erfreuen Sie Sich im Voraus schon an dem Büro mit Aussicht, das zu Ihrem neuen Job
gehört – Sie werden mit Leidenschaft den Unterricht besuchen und mit Leichtigkeit jede Menge Neues
lernen.
Beginnen Sie im Kleinen. Genießen Sie die Sonne, beobachten Sie die Tiere und freuen Sie Sich
(wieder) an den Blumen. Lassen Sie Sich die Musik zu Herzen gehen und fühlen Sie die wohltuende
Atmosphäre unter Freunden. Dann werden Sie automatisch anfangen „umzudenken“. Und
irgendwann werden Sie feststellen, dass Sie perfekt auf die Abschlussprüfung vorbereitet sind, und
dass Sie Sich wie ein kleines Kind auf das freuen, was danach kommt.
Viel
Erfolg!
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Für alle, die sich noch einmal in ihrem Leben mit
Mathematik beschäftigen wollen oder müssen, weil sie
sich zum Beispiel für eine berufliche Weiterbildung entschieden haben.
Ihnen sei gesagt, dass Mathematik nicht schwierig ist, es
wurde Ihnen bislang nur ohne Begeisterung vermittelt.
Und wenn Sie die Weiterbildung machen, weil Sie ein
Ziel damit verfolgen, dann konzentrieren Sie Sich
während der ganzen Zeit der Weiterbildung auf das Ziel
und nicht auf das Lernen – das Ziel wird Sie begeistern –
die Begeisterung „düngt“ Ihr Gehirn – das Neue, die
Übungen, die Termine… das alles werden Sie mögen –
und es wird Sie beruflich und persönlich weiter bringen.