Einige Wiederholungsaufgaben zur Analysis 1

Einige Wiederholungsaufgaben zur Analysis 1
Aufgabe 1 (Konvergenz von Folgen).
Begründen Sie, ob die jeweilige Zahlenfolge konvergiert und bestimmen Sie in diesem Fall
den Grenzwert. Entscheiden Sie im Falle der Divergenz, ob die Folge bestimmt divergiert.
(a) an =
n2 +2n+1
2n2 +3
(b) bn =
n3 +2n+1
2n2 +1000
(c) cn =
(n2 +2n+1)10
(n+3)20
(d) d1 = 1, dn+1 = 1 + (dn )2
(e) e1 = 2, en+1 = 1 − (en )3
(f) fn =
n2
.
2n
Aufgabe 2 (Folge mit Parameter).
Für welche t ∈ R konvergiert die Folge (an )n∈N mit
an =
n3 + 1 1 − tn2
+
?
n2 + 1
n+1
Aufgabe 3 (Konvergenz von Reihen).
(a) Untersuchen Sie die Reihen
absolute Konvergenz.
∞
X
(−1)n n2
n=1
3 + n5
∞ X
5 + n3 n
und
auf Konvergenz sowie
1 + 2n3
n=1
(b) Es sei α > 0. Für welche x ∈ R konvergiert die Potenzreihe
∞
X
n=1
xn
?
1 + nα
Aufgabe 4 (Stetige Funktionen).
(a) Untersuchen Sie die Funktion
f : [0, 1] → R ,
f (x) := ex + x
auf Monotonie und Injektivität. Was ist das Bild B von f ? Ist f stetig ?
(b) Zeigen Sie, dass die Umkehrfunktion f −1 : B → [0, 1] stetig ist.
(c) Ist f gleichmäßig stetig ?
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Aufgabe 5 (Konvergenz rekursiv definierter Folgen).
Die Funktion f : [0, ∞[ → [0, ∞[ sei definiert durch f (x) := x2 + x2 . Sei (un )n∈N0 eine Folge
von Zahlen un ≥ 0 derart, dass
un+1 = f (un ) für n ∈ N0 .
(a) Zeigen Sie: Ist x ∈ [0, 21 ], so ist f (x) ≤ x; ist x ∈ [ 12 , ∞[, so ist f (x) ≥ x. Schließen
Sie, dass die Folge (un )n∈N0 monoton ist.
(b) Bestimmen Sie alle Punkte x ∈ [0, ∞[, für die f (x) = x gilt.
(c) Zeigen Sie: Ist u0 ∈ [0, 21 [, so konvergiert die Folge (un )n∈N0 . Finden Sie den Grenzwert.
(d) Zeigen Sie, dass die Folge (un )n∈N0 divergiert, wenn u0 ∈ ] 12 , ∞[ ist.
Aufgabe 6 (Ableitungen).
Finden Sie die Ableitungen der folgenden Funktionen von R nach R:
f (x) := sin(x2 ) ;
h(x) :=
g(x) := x2 ex ;
cos(x)
;
1 + ex
j(x) := log(sin(x)) .
Aufgabe 7 (Kurvendiskussion).
Wir betrachten die Funktion
f (x) = xe−x .
f : [0, ∞[ → R ,
Bestimmen Sie alle Nullstellen, lokalen Extrema und globalen Extrema von f sowie
lim f (x)
x→∞
(falls existent). Finden Sie möglichst große Intervalle, auf denen f monoton wächst bzw.
monoton fällt. Skizzieren Sie grob den Graphen von f .
Aufgabe 8 (Regeln von de l’Hospital – oder auch nicht).
Berechnen Sie die Grenzwerte
lim
x→0+
sin(x)
,
x
e − e−x
lim
x→0+
ex − 1 − x
cos(x) − 1
und
lim
x→∞
ex − e−x
.
e2x − e−2x
Aufgabe 9 (Stetigkeit und Differenzierbarkeit).
Für λ ≥ 1 betrachten wir die Funktion
x
wenn x < 0;
fλ : R → R ,
fλ (x) :=
eλx − cos x wenn x ≥ 0.
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(a) Zeigen Sie, dass fλ stetig ist und streng monoton wächst.
(b) Für welche λ ≥ 1 is fλ−1 stetig ?
(c) Für welche λ ≥ 1 is fλ stetig differenzierbar ?
(d)* Für welche λ ≥ 1 is fλ−1 stetig differenzierbar ?
* Wenn Sie Teil (d) etwas anstrengend finden, ist das O.K.
Aufgabe 10 (Allgemeines Grundwissen).
Was sind Ihrer Einschätzung nach die 5 bis 10 wichtigsten Definitionen und Sätze im
Skript ?1 Sie sollten diese korrekt wiedergeben können.
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Oft haben letztere einen Namen.
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