(Reihen1)M2

Programmierung und Angewandte
Mathematik
C++ /Scilab Programmierung und Einführung in das Konzept der
objektorientierten Anwendungen zu wissenschaftlichen Rechnens
SS 2012
F
Fomuso
Ek
Ekellem
ll
Inhalt



Folgen
Reihen
Verfahren zur Konvergenz Bestimmung
Fomuso Ekellem
Programmierung und Angewandte Mathematik
2
Folgen

Definition:
Eine Folge ist eine Abbildung der natürlichen Zahlen in die reellen Zahlen. Man sagt
auch
h , eine
i geordnete
d
Liste
Li
von Zahlen.
Z hl
N  R
, a kann mit (a1 , a 2 , a 3 ,...) identifiziert werden
a:
n  a n
und wird mit (a n ) nN bezeichnet


Bemerkung:
Aufgabe dieses Abschnittes ist es die verschiedensten Eigenschaften von Folgen zu
beschreiben und für die wichtigsten hinreichende und notwendige Kriterien
anzugeben. Ziel ist es die einzelnen Eigenschaften an Beispielen erkennen und
mathematisch beschreiben.
Beispiele:
p
 a) an=1/2n n  0 , b) bn=n/2 n  0 ,
c) cn= n

Die Folge (an)=  1, 1 , 1 , 1 ,...  liefert kontinuierlich immer kleiner werdende Folgenglieder
Fomuso Ekellem

2
4 8

Programmierung und Angewandte Mathematik
3
Folgen

Beispiele:
Die Folge (bn)= 0,1,1,2,2,... liefert kontinuierlich immer nicht kleiner werdende Folgenglieder
 Die Folge (cn)= 1,2,3,4,... liefert kontinuierlich immer größer werdende Folgenglieder


Definition:
Eine Folge (an) heißt monoton fallend, wenn für alle n gilt: an+1  an
Eine Folge (an) heißt streng monoton fallend,
fallend wenn für alle n gilt:
gilt an+1  an
Eine Folge (an) heißt monoton steigend, wenn für alle n gilt: an+1  an
Eine Folge (an) heißt streng monoton steigend, wenn für alle n gilt: an+1  an

Zur Beschreibung vieler weiterer Eigenschaften wird der Begriff der Teilfolge
benötigt:
Definition:
S i (bn) eine
Sei
i streng monoton steigende
i
d Folge
F l von N in
i N.
N
Die Folge (a bn) ist eine Auswahl von Folgengliedern von (an) und wird als Teilfolge
von (an) bezeichnet

Fomuso Ekellem
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Folgen




Beispiel:
Die Folge (an)=1/n ist nicht nur monoton fallend sondern sogar streng monoton
f ll d Si
fallend.
Sie ffällt
ll allerdings
ll di
niemals
i
l iins negative.
i
Definition:
Eine Folge (an) heißt nach unten beschränkt, falls gilt: x  R mit an  x für alle n  N
Eine Folge (an) heißt nach oben beschränkt,
beschränkt falls gilt: x  R mit an  x für alle n  N
Eine Folge heißt beschränkt wenn sie nach unten und oben beschränkt ist
Beispiel:
Die Folge
g aus dem obigen
g Beispiel
p ist nicht nur nach unten beschränkt sondern
überhaupt beschränkt.
Beispiel:
Die Folge (an)=sin(n π 2) liefert hintereinander die Werte (1,0,-1,0,...)
Diese Werte wiederholen sich alle immer wieder. Diese Folge ist periodisch mit der
Periode 4.
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Folgen


Definition:
Eine Folge (an) heißt periodisch wenn gilt: k  N mit an k  an für alle n  N
D k heißt
Das
h iß P
Periode
i d von (a
( n)
Definition:
Eine Folge (an) heißt konvergent gegen die reelle Zahl a, wenn gilt:
  0  n   N mit an - a   für alle n  n 
Bezeichnung:lim a n  a
n 
Eine Folge heißt divergent, wenn sie nicht konvergiert

Beispiel:
an   1 konvergiert gegen 0.
n
Sei   0 beliebig aber fest vorgegeben
1
  für alle n  n( )
n
1

1
2 
Mit n( )     an - a  
 
n n() 2

Damit ist für jedes  ein n( ) gefunden und an  konvergier t gegen a  0
Gesucht ist ein n( ) mit an - a 
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Folgen


Beispiel:
Die Folge (an) = n konvergiert nicht, sie divergiert also. Angenommen doch, dann
gäbe
b es ein
i a mit
i an konvergiert
k
i
gegen a.
Es ist (an) aber unbeschränkt und damit wächst die Entfernung zu a ab einem gewissen
Index k streng monoton an und kann deswegen nicht beliebig klein sein.
Beispiele:
1 1 1 1 1
n 1
Die Folge (an) = - 1  n (-1, 2 , - 3 , 4 , - 5 , 6 ,...) konvergiert gegen 0
aber auf etwas sonderbare Weise. Ein Teil der Folge nähert sich von oben der 0 an, der andere Teil
allerdings von unten
 Die Folge (an) = - 1n  n  4 (3, 6, 2, 7, 1, 8,...) konvergiert nicht
 Beide Folgen haben aber die gleiche Eigenschaft dass ein Teil der Folge immer oberhalb der andere
immer unterhalb einer Grenze liegt.


Definition:
Eine Folge (an) heißt um a alternierend, wenn es Teilfolgen (bn) und (cn) gibt mit:
 n  N gilt : bn  a  cn
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Folgen

Beispiel:

1
n
Betrachten wir nun die Folge (an)= - 1  1 - 
 n
1 2 3 4 5 6 7
Die Folgenglieder lauten : 0, , - , , - , , - , ,...
2 3 4 5 6 7 8
Betrachten wir die beiden Teilfolgen
g
1 3 5 7
2 4 6
0, - , - , - ,... und , , , ,...
2 4 6 8
3 5 7
so konvergieren beide Teilfolgen! Die eine gegen - 1 die andere gegen 1.
Trotzdem ist diese Folge divergent, weil nicht konvergent.
Wäre sie konvergent, z.B. gegen 1 (bei - 1 ist die Argumentation analog), gilt :
((nach Definition)   0  n    N mit a n - a   für alle n  n  
  0 heißt aber auch erst recht für   1.
Egal wie groß nun n   gewählt wird, es gilt für ungerades n :
1
n
a n - 1  - 1 1 -  - 1 
 n
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1
1
 1
- 1 -  - 1  - 1  - 1  2 n
n
 n
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Folgen





Trotz der Divergenz dieser Folge möchte man die besonderen Eigenschaften dieser 2
„Grenzwerte“ auszeichnen
Definition:
Eine Folge (an) besitzt in a einen Häufungspunkt, wenn es eine Teilfolge von (an) gibt
die gegen a konvergiert.
Di Folge
Die
F l aus dem
d
letzten
l t t Beispiel
B i i l hat
h t damit
d it 2 Häufungspunkte.
Hä f
kt
Jede periodische Folge besitzt soviel Häufungspunkte wir ihre minimale Periode
lautet.
Damit ist folgendes gemeint: Eine periodische Folge der Periode k
k, besitzt aber auch
die Periode 2k oder 3k usw.. Die kleinste derartige Periode gibt die maximale Anzahl
der Häufungspunkte an.
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9
Folgen


Satz 1:
Jede konvergente Folge ist beschränkt.
Beweis:
a n  ist konvergent  n  0  n   N mit a n - a   für alle n  n  
 (  1)  k  N mit a n - a  1 für alle n  k
Damit sind die Anfangsfolgenglieder a 1 ,..., a k von endlicher Anzahl.
Für eine endliche Anzahl von Zahlen ist es möglich ein Minimum und ein Maximum anzugeben !
Sei also m1  Min(a1 ,...,
, , a k ) und m 2  Max(a1 ,...,
, , a k ) dann gilt :
m1 - 2  a n  m 2  2 und das für alle n
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Folgen


Satz 2: (ohne Beweis)
Eine monotone Folge ist entweder unbeschränkt oder konvergent
Bemerkung:
Aus dem Beweis von Satz 1 ergibt sich, dass die Unbeschränktheit eine Eigenschaft
jeder Restfolge (ab einen Index) ist.
Jeder Folgenanfang,
Folgenanfang egal wie viele Glieder,
Glieder ist beschränkt!
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Folgen


Definition:
Eine Folge die gegen 0 konvergiert heißt Nullfolge.
Satz 3:
Eine Folge (an) konvergiert gegen a  (an-a) ist Nullfolge
 Eine beliebige Linearkombination endlich vieler Nullfolgen ist eine Nullfolge


S
Satz
4: (Rechenregeln
(R h
l ffür k
konvergente F
Folgen)
l
)
a) lim a n  a  lim a n  a
n 
n 
b) lim a n  a und lim b n  b  lim (a n  b n )  a  b
n 
n 
n 
c) lim a n  a und lim b n  b  lim (a n b n )  a lim (b n )  ab
n 
n 
n 
n 
d) lim a n  a und lim b n  b  0  lim (a n /b n )  a/b
n 
n 
n 
e) lim a n  a und lim b n  b und a n  b n für alle n  a  b
n 
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n 
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Folgen




Das Problem bei der Konvergenzdefinition ist, dass die Konvergenz einer Folge nur
gezeigt werden kann wenn der Grenzwert auch bekannt ist.
Satz 5: (Cauchy-Konvergenzkriterium)
(an) konvergiert    0  n   N mit an - am   für alle n, m  n 
Bemerkung:
B
k
Satz 5 erlaubt die Konvergenz einer Folge zu zeigen ohne den Grenzwert zu kennen.
Beispiel:
n²- 1
, gesucht der Grenzwert
n² 2n - 3
n²- 1
n²
1
n²
1
1
0





1

n²
²
2
2n
3
n²
²
2
2n
3
n²
² 2n
2 - 3 n²
² 2n
2 - 3 n²
²

2
2n
3
n²
²

2
2n
3



1
n²
n²
n²
 0
  n²

n
Gegeben die Folge
1
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0
0
13
Folgen

Beispiel:
en
, gesucht der Grenzwert
Gegeben die Folge (-1) n
4 5
Diese Folge konvergiert wegen dem alternierenden Faktor (-1)n wenn dann nur gegen 0
n
Versuchen wir also zu zeigen das der Rest eine Nullfolge ist
en
1
1
1

0


4n  5 4n  5 4n 5  4 n 5
 n    n
en
en 
e
e
e
 

0
0




Beispiel: (Fibonacci-Folge)
Die Fibonacci ist eine klassische rekursiv definierte Folge. Nach Festsetzung der
ersten beiden Folgeglieder zu 0 und 1 (a0=0 und a1=1) ergeben sich alle weiteren zur
Summe der jeweils beiden vorherigen Glieder, also
an  an-1  an-2 für alle n  2
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Folgen

Beispiel: (Fibonacci-Folge)
Die Zahlen die sich aus diesem Bildungsgesetz ergeben sind
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ...
Diese Folge ist ab n=2 streng monoton steigend und unbeschränkt, konvergiert also
nicht.
Betrachtet wir die Quotientenfolge der Fibonacci
Fibonacci-Zahlen,
Zahlen, also
a
bn  n 1 es ergeben sich die Zahlen (ab n  1) :
an
1 ; 2 ; 1,5
1 5 ; 1,
1 6 ; 1,6
1 6 ; ...
Dies ist eine Folge die, wenn sie konvergiert, abwechselnd von oben und unten sich
dem Grenzwert b annähert (alternierend).
Die inverse Q
Quotientenfolge
g cn=1/bn=an/an+1 konvergiert
g
wenn dann auch
alternierend gegen einen Grenzwert c=1/b.
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Folgen

Beispiel: (Fibonacci-Folge)
Interessant in diesem Zusammenhang ist die Darstellung der Quotientenfolgenglieder
bn als
l K
Kettenbruch
b h
b3 
3
1
1
2
1 1
b7 
21
1
13
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1 1
Die Berechnung
Di
B
h
des
d G
Grenzwertes iist gewiss
i nicht
i h trivial
i i l und
d weist
i Bezüge
B ü zur
Matrizenrechnung auf:
Betrachten wir die symmetrische Matrix
 a2 a1   1 1 
  

 gebildet aus den ersten 3 Folgengliedern
 a1 a0   1 0 
2
n
2
 a2 a1   1 1   1 1  1 1   2 1   a3 a2 
 a2 a1   an 1 an 


  
 und allgemein

  
  

  
  
g
a
a
a
a
1
0
1
0
1
0
1
1
a
a
a
a
 

 
  2 1
 1 0 
 1 0   n n-1 
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Folgen

Beispiel: (Fibonacci-Folge)
Es iist nun so das
E
d d
der G
Grenzwert der
d Quotientenfolge
Q i
f l sich
i h aus d
den Eigenwerten
Ei
d
der
Matrizenpotenzen (n gegen unendlich) ergibt
Die Grenzwerte b und c ergeben sich zu
b



 
1 5
1
2
21 5
21 5
1 5



und damit c  
2
b 1 5 1 5 1 5
-4
2




Mit Hilfe
Mi
Hilf di
dieser b
beiden
id G
Grenzwerte lä
lässt sich
i h jjedes
d F
Folgenglied
l
li d d
der Fibonacci-Folge
Fib
iF l
direkt ausrechnen
n
n
 5  1   5 -1 

 -





n
n
  5  1 n  5 -1 n 
2
2
1
b - (-c)
 
 

 
 -
an 





bc
5 1
5 -1
5  2   2  



2
2
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Folgen



(n) arithmetische Folge
( q n ) geometrische Folge
(1/n) harmonische Folge
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Reihen


Eine unendliche Reihe ist nichts anderes als eine Folge von Zahlen
Definition:
n
Sei (an) eine Folge. Die durch sn   ai definierte Zahlenfolge heißt unendliche Reihe.
i1
Die Folge (an) heißt Folge der Glieder der unendlichen Reihe.
Ist die Folge (sn) konvergent gegen s so schreibt man auch

lim sn   ai  s
n 

i1
Eine unendliche Reihe heißt divergent wenn sie nicht konvergiert.
Bemerkung und Beispiel:
n
Gegeben die unendliche Reihe sn   qi mit q  1
i 0
Für diese Art unendlicher Reihen (geometrische Reihen) sind die Summen, also die
Grenzwerte, bekannt und über Formeln berechenbar.
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19
Reihen

Bemerkung und Beispiel:
Es gelten die folgenden Formeln:
n

1 - qn 1
1
i
q 
qi 


1q
1q
i 0
i 0
1 - qn 1 1 - qm1 qm1 - qn 1
q  q  q 



1

q
1

q
1q
im 1
i 0
i 0
Für q=1 ist die Reihe divergent, für q=-1 auch aber hier besitzt die Reihe 2
Häufungspunkte (0 und 1). Für |q|>1 ist die Reihe ebenfalls divergent.
Bemerkung:
Um die Konvergenz einer Reihe festzustellen sind die ersten Glieder einer Reihe
völlig egal.
Eine Reihe konvergiert ab k gdw.
gdw sie auch ab 1 konvergiert
(unter der Bedingung dass die Reihenglieder für die entsprechenden Indizes auch
definiert sind)
n

i
Fomuso Ekellem
n
i
m
i
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Reihen


Für Reihen gibt es die unterschiedlichsten Konvergenzkriterien
Satz 6: (Cauchy)
Eine unendliche Reihe (sn) ist konvergent 
  0  n   N mit sn - sm 


n
a
i m 1
i
  für alle n, m  n 
Satz
S
t 7:
7
Ist die unendliche Reihe (sn) konvergent
 Die Folge der Reihenglieder (an) ist eine Nullfolge
Bemerkung:
Das ist wieder mal ein Beispiel für ein notwendiges Kriterium:
Ist nämlich die Folge der Reihenglieder keine Nullfolge kann die unendliche Reihe
nicht konvergieren!
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Reihen

Beispiele

1
1
1
g
, denn es g
gilt 0  
 i² ist konvergent
i² 2
i
i1
für alle i  1


1
1  1
1
1
3
1
1
 0    1    1   i  1 - 1 -   i  - 

2 1- 1 2
i 0 2
i1 i²
i2 i²
i2 2
 i 0 2
i1
2
 (Satz
(
2 : monoton und
d beschränkt
b
h
k  Konvergenz
K
) Behauptung
B h


Ein beliebter Grenzfall ist die sogenannte harmonische Reihe

1
1
1
1
1
 i  1  2  3  4  5  ... Diese Reihe ist divergent
i1
Schränkt man diese Reihe auf Zahlen ein die z.B keine 9 enthalten, dann ergibt sich mit


Ai  n  N | n enthält keine 9 und 10i-1  n  10i A2 enthält alle derartigen Zahlen zwischen 10 und 99

A  n  N | n enthält keine 9   Ai A1  8 ; A2  72 ; A3  648 ; An  9n - 9n-1  8  9n-1
i1
Jetzt haben wir alles parat für
i


1 
1  Ai
8  9i-1  8  9i
1
9
0     
8
 80



  8


i-1
i
9
i1 Min Ai
i1 10
i 0 10
i 0  10 
nA n
i1 nAi n
110
 Konvergenz nach Satz 2 (beschränkt und streng monoton steigend)
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Reihen


Bislang haben wir uns bei Konvergenzaussagen über (sn) in den Beispielen immer auch
direkt auf diese Folge bezogen.
E gibt
Es
ib K
Kriterien
i i di
die A
Aussagen über
b Konvergenz
K
der
d Folge
F l (s
( n) aus Ei
Eigenschaften
h f
b
bzw.
Berechnungen über die Folge der Reihenglieder (an) gewinnen.
Definition:


i1
i1
Ist  ai konvergent dann heißt  ai absolut konvergent.

Bemerkung:
Absolute Konvergenz
g
ist eine Verschärfung
g der Konvergenz.
g
Das heißt aus absoluter
Konvergenz folgt Konvergenz aber nicht umgekehrt.
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Reihen

Satz 8:
(Wurzelkriterium)
Gilt
il ab
b einem
i
Index
d k k ak  q  1 d
dann konvergiert
k
i di
die Reihe
ih
 (Quotientenkriterium)
a
Gilt ab einem Index k n 1  q  1 dann konvergiert die Reihe

an


b l
 a absolut
i1
i

 a absolut
i1
i
Beispiele:
xk
 wobei x beliebig aber fest vorgegeben ist.
k  0 k!
ab
b dem
d
Index
d wo k  x wird
d bilden
b ld die
d Reihenglie
h
l der
d eine streng monoton fallende
f ll d Folge
F l

Für alle Indizes n  k gilt nun
an 1

an

e
i
x
x n 1
x
x
(k  1)!

  1  Konvergenz
g
nach Q
Quotientenkriterium
n
x
k 1 k
k!
n
ist für welche x konvergent? Es gilt e
n
x
e
1
x
1  x  0
i1
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Reihen

Satz 9: (Cauchy-Produkt)

n
i1
i1
Seien  a und  bi absolut konvergente Reihen. Setze cn   aibn-i

i
i1

Dann konvergiert die Reihe  ci absolut und es gilt:
i1


n


n 1
n 1
 cn   aibn-i   an   bn
n 1
Fomuso Ekellem
n 1 i1
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25
Verfahren zur Konvergenz Bestimmung
n-te Zahl Test:

Geometrische Reihe

P-Reihe Test

Nicht-Negative Zahl oder absolut

Alternierende
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
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Verfahren zur Konvergenz Bestimmung
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