Wichtige Konvergenzkriterien für Reihen

2.2.1 Konvergenzkriterien
Konvergenzkriterien für eine Reihe
a)
Trivial - Kriterium:
an ist eine Nullfolge, d.h.
∞
n=1 an :
lim an = 0 .
n→∞
b)
Majoranten - Kriterium:
Gilt | an | ≤ bn für alle n und ist ∞
n=1 bn konvergent,
so ist auch ∞
n=1 an konvergent.
c)
Quotientenkriterium:
∞
n=1 an ist konvergent, wenn gilt:
lim | aan+1 | < 1.
n→∞
n
d)
Wurzelkriterium:
∞
n=1 an ist konvergent, wenn gilt:
lim |
e)
n→∞
𝑛
|an| | < 1.
Leibnizkriterium:
Wenn an eine monoton fallende Nullfolge ist, konvergiert
𝑛
die alternierende Reihe ∞
𝑛=1 −1 𝑎𝑛 .
Man nennt a) auch das Trivialkriterium:
Wenn eine Reihe Σak konvergiert, dann bildet die Folge ak eine
Nullfolge.
Mit diesem Kriterium können wir nur die Divergenz, aber im
Allgemeinen nicht die Konvergenz einer Reihe nachweisen.
Denn das Kriterium ist nur notwendig, nicht hinreichend.
Die Voraussetzung, dass die Reihe konvergent ist, ist wichtig.
Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht.
Dazu betrachte man das Gegenbeispiel der harmonischen
Reihe.
Die Reihe ∞
𝑘=1 1/𝑘 ist divergent,
obwohl die Folge 1/k eine Nullfolge ist.
Absolute Konvergenz
Eine Reihe ∞
𝑛=1 𝑎𝑛 ist absolut konvergent, wenn
konvergent ist.
∞
𝑛=1 |𝑎𝑛|
Absolute Konvergenz ist ein strengeres Kriterium als
Konvergenz.
Quotienten- und Wurzelkriterium zeigen absolute Konvergenz,
das Leibniz-Kriterium nicht.
Um eine Potenzreihe auf Konvergenz zu untersuchen, kann das
Wurzelkriterium verwendet werden.
Zuerst wird der folgende Grenzwert berechnet:
Wenn a = ∞ ist, ist die Reihe divergent. Wenn a hingegen eine
endliche reelle Zahl ist, gilt:
Gemäß des Wurzelkriteriums konvergiert die Reihe für
r = 1/a wird der Konvergenzradius der Potenzreihe genannt
.
Eine Potenzreihe konvergiert für |x| < a
und
divergiert für |x| > a.
Wichtige Konvergenzkriterien für Folgen sind:
Monotoniekriterium: Eine monotone Folge reeller Zahlen
konvergiert genau dann, wenn sie beschränkt ist.
Cauchy-Kriterium: Eine Folge reeller oder komplexer Zahlen
konvergiert genau dann, wenn sie eine Cauchy-Folge ist.
Wichtige Konvergenzkriterien für Reihen sind:
Direkte Kriterien, die aus Eigenschaften der
Partialsummenfolge der Reihe auf Konvergenz schließen,
Vergleichskriterien 1. Art, die den Absolutbetrag bzw. die
Norm der Reihenglieder mit einer bekannten Reihe
vergleichen und
Vergleichskriterien 2. Art, die die Quotienten der
Absolutbeträge aufeinanderfolgender Glieder mit den
entsprechenden Quotienten einer bekannten Reihe
vergleichen.
Quelle für die Übersichten auf diese rund der folgenden Seite: wikipedia