Analysis 1 - Uni Salzburg

14.04.2015
Prof. Dr. Verena Bögelein
Analysis 1
5. Übungsblatt
Aufgabe 19
Untersuchen Sie folgende Folgen in
R
auf ihre Konvergenz in
R
und bestimmen Sie gege-
benenfalls deren Grenzwert:
(a)
(b)
3·(−1)n
2n+3
2n
n∈N
n! n∈N .
Beachten Sie dabei, dass zu einer vollständigen und korrekten Grenzwertbetrachtung stets
für jedes
ε > 0
die Angabe einer Zahl
absolute Dierenz zwischen
n-tem
N (ε) ∈ N
gehört, sodass für alle
n ≥ N(ε)
die
Folgenglied und vermutetem Grenzwert geringer als
ε
ist!
Ng := {n ∈ N : n6 > n! und ∃k ∈ N sodass n = 2k} und
∃k ∈ N sodass n = 2k − 1}. Geben Sie alle Häufungspunkte
Wir denieren nun die Mengen
Nu := {n ∈ N : n6 > n! und
der Folge (an )n∈N , gegeben durch

3

−3
an :=

(−1)n +
falls
falls
1
n
falls
n ∈ Ng ,
n ∈ Nu ,
n ∈ N \ {Ng ∪ Nu }
an. (Hierbei genügt es, lediglich alle Häufungspunkte anzugeben, d. h. eine Begründung,
warum es keine weiteren als die von Ihnen angegebenen Häufungspunkte gibt, ist an dieser
Stelle ausnahmsweise nicht verlangt.)
Aufgabe 20
p ∈ N und i ∈ C, sodass i2 = −1. Untersuchen Sie, ob die nachstehenden
C bzw. R konvergieren und bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert:
ni+1
(a)
in C
2in n+1
Seien
Folgen in
n∈N
(b)
√
n
np
n∈N
in
R.
Aufgabe 21
(a) Zeigen Sie, dass die fast konstante Folge
und
m∈N
(a0 , a1 , ..., am , a, a, a, ...) mit a, a0 , ..., am ∈ R
konvergiert und bestimmen Sie den Grenzwert.
(b) Beweisen Sie
limn→∞ zn = 0
für die Folge
(zn )n∈N
mit
zn :=
√
n+1−
√
n
für alle
n ∈ N.
q ∈ R die Konvergenz der Folge (xn )n∈N0
x0 := 1 und xn+1 := xn + q n+1 (n ∈ N). Ziehen Sie auch uneigentliche Konvergenz
(c) Diskutieren Sie für alle Werte des Parameters
mit
in Erwägung!
(d) Konvergiert die Folge
(yn )n∈N0
mit
y0 := 0
und
yn+1 := yn + (n + 1)−1 (n ∈ N)?
Aufgabe 22
Eine Folge
(an )n∈N
von reellen Zahlen heiÿt Unendlichfolge (in Zeichen
an → ∞),
wenn
c ∈ R alle bis auf endlich viele Folgenglieder gröÿer
c sind, wenn also zu jedem c eine Zahl N (c) ∈ N existiert so, dass an > c für alle
n ≥ N (c). Entsprechend heiÿt (an )n∈N Nullfolge (notiert mit an → 0), wenn für jedes
gegebene (kleine) ε > 0 alle bis auf endlich viele an dem Betrage nach kleiner als ε sind,
e (ε) ∈ N gibt mit |an | < ε für alle n ≥ N
e (ε). Beweisen Sie die
wenn es also eine Zahl N
für jede gegebene (groÿe) Schranke
als
folgenden Aussagen:
(a) Sind alle
(b) Ist
an > 0,
so gilt:
(an )n∈N
(bn )n∈N Nullfolge, d ∈ R≥0
(an )n∈N Nullfolge.
Unendlichfolge
und
|an | ≤ dbn
⇔ a−1
n
für alle
n∈N
n
Nullfolge.
bis auf endlich viele, so ist
auch
(c) Ist
(bn )n∈N Unendlichfolge, γ ∈ R>0
(an )n∈N Unendlichfolge.
und
an ≥ γbn
für alle
n
bis auf endlich viele, so
ist auch
Aufgabe 23
Wie in der Vorlesung sei
e(x) := limn→∞ 1 +
x n
für alle
n
x ∈ R und wir kürzen e := e(1)
ab.
(a) Zeigen Sie, dass
e(x)e(−x) = 1 für alle x ∈ R gilt. (Verwenden Sie dabei ausschlieÿlich,
ex ey = ex+y ,
was aus der Vorlesung bekannt ist. Insbesondere dürfen Sie die Formel
die Sie aus der Schule für die Exponentialfunktion kennen, nicht benützen!)
(b) Beweisen Sie via vollständiger Induktion
e
n n
e
≤ n! ≤ en
n n
für alle
e
(c) Folgern Sie aus (b), dass für das asymptotische Wachstum gilt
√
n
n! ∼
n ∈ N.
n
e.