Die Folge an := (1 + p n)n (W. Hofmann WS 02/03) a) Wie im Buch

p n
Die Folge an := 1 +
n
(W. Hofmann WS 02/03)
a) Wie im Buch Beispiel (8.2.13) zeigt man für p > 0, n ∈ IN:
Die Folge (an+1 ) ist streng monoton wachsend:
an+1
> 1 bzw. an+1 < an ∀n ∈ IR.
an
(1)
b) Die Folge (an ) ist, zunächst für p = 1, nach oben beschränkt:

Bernoulli
1
1
p 2n rechnen
p n (1)
≤ 1+
≤
=
(an ) = 1 +

2n
1
n
n
2n
1 − 2n+1
1 − 2n+1

2
2
2n + 1
n
=
= 1+
≤ 22 = 4,
n+1
n+1
also an ≤ 4.
(2)
Für beliebige p > 0 zeigen wir: an ist beschränkt, genauer:
Für ` ∈ IN, ` ≥ p gilt an ≤ 4` ∀n ∈ IN.

n (1), n≤`n
`n
n ` (2)

p n p≤`
`
`
1
≤ 4` .
≤
1+
=
1+
an = 1 +
≤ 1+
n
n
`n
n
(3)
Damit gilt:
(an ) konvergiert für jedes p > 0.
Für p = 1 ist der Grenzwert die Eulersche Zahl e.
n

1
lim 1 +
= e = 2.718...
n→∞
n
(4)
(5)
z
, z, m ∈ IN gilt limn→∞ = ep .
m
Dazu benötigen wir die Aussage:
c) Wir zeigen: Für rationale p =
Ist (an ) eine konvergente Folge mit Grenzwert a, so konvergiert auch jede Teilfolge
von (an ) gegen den Grenzwert a.
Beweis: offensichtlich durch Hinschreiben der Grenzwertbedingung.
Mit den Teilfolgen nk = kz, jk = km, k ∈ IN der natürlichen Zahlen berechnen wir
nk

nk
n
kz

z/m k
1
1
p
= 1+
= 1+
= 1 + nk m
an k = 1 +
nk
nk
km
z
z
!

km mz
km m

km !p

j !p
1
1
1
1 k
=
.
=
1+
1+
=
= 1+
1+
km
km
km
jk
Hieraus folgt für k → ∞ unter Verwendung obiger Aussage und (5)

p n
lim 1 +
(6)
= ep .
n→∞
n
Unter Verwendung von (6) zeigt man, nun wieder wie im Buch Bemerkung (8.2.16),
dass die Grenzwertbeziehung (6) auch für negative, rationale p gilt.