¨UBUNGEN ZUR VORLESUNG ANALYSIS 1 für Bachelor Physik

Sommersemester 2014
Prof. Dr. E. Novak/Dr. M. Ullrich
ÜBUNGEN ZUR VORLESUNG ANALYSIS 1 für Bachelor Physik
4. Serie
Abgabe der mit gekennzeichneten Aufgaben am Dienstag, den 6.5.2014, in der Vorlesung
(2 Punkte)
Aufgabe 1:
Sind die
Mengen
)
( folgenden
) nach oben(beschränkt:
n
n
X
X
1
1
:n∈N
(a)
sn =
:n∈N
(b)
sn =
k
k2
k=1
n
X
1
√ :n∈N
sn =
k
k=1
(
(c)
k=1
)
?
Hinweis: Benutzen Sie die Ergebnisse der ersten Serie.
Aufgabe 2: Lemma 6.4.2
(3 Punkte)
Es seien (an ), (bn ) Folgen positiver reeller Zahlen. Die Relation an ∼ bn bedeute limn→∞ an /bn = 1.
Zeigen Sie, daß folgende Aussagen äquivalent sind:
(i) an ∼ bn
(ii) bn ∼ an
an − bn
(iii)
→ 0.
an
Aufgabe 3: Konvergenz
(2+2 Punkte)
Es sei an ≥ 0. Beweisen Sie die folgenden Aussagen:
√
√
(a) Aus an −→ a folgt, dass an −→ a.
1
(b) Aus an −→ ∞ folgt, dass
−→ 0.
an
(c) Aus an −→ a folgt, dass {an }n∈N beschränkt ist.
(d) Aus an −→ a 6= 0 folgt, dass ein k0 ∈ N existiert mit |ak | > 0 für alle k ≥ k0 .
Aufgabe 4:
(2+2 Punkte)
Es sei an → a und bn → b. Man beweise:
(a)
(b)
|an | → |a| .
max{an , bn } → max{a, b}
und
min{an , bn } → min{a, b} .
Hinweis: Man zeige zunächst max{a, b} =
a + b + |a − b|
a + b − |a − b|
und min{a, b} =
.
2
2
Aufgabe 5: Intervallschachtelung
Eine Folge (In )n∈N von abgeschlossenen Intervallen mit In = [an , bn ], wobei an < bn heißt Intervallschachtelung, falls
(I1) Für alle n ∈ N gilt In+1 ⊂ In .
(I2) Es gilt lim |In | = lim (bn − an ) = 0.
n→∞
n→∞
Zeigen Sie:
Jede Intervallschachtelung (In )n∈N enthält eine wohlbestimmte reelle Zahl, das heißt es gibt nur eine Zahl
a ∈ R mit a ∈ In für alle n ∈ N. Weiterhin gilt an ↑ a und bn ↓ b.