Analysis I - Freie Universität Berlin

Fachbereich Mathematik & Informatik
Freie Universität Berlin
Carsten Hartmann, Stefanie Winkelmann
6. Übung zur Vorlesung
Analysis I
Sommersemester 2013
Abgabe bis Donnerstag, 30. Mai 2013, 16 Uhr
1. Aufgabe (Folge der Mittelwerte, 4 Punkte)
Es sei (xn ) eine Folge reeller Zahlen und
n
an :=
1X
xk
n
k=1
die Folge der Mittelwerte.
a) Zeigen Sie, dass die Mittelwerte (an ) konvergieren, falls die (xn ) konvergieren. Wogegen nämlich?
b) Zeigen Sie, dass die Umkehrung nicht gilt, d.h. es gibt eine Folge (xn ), so dass (an ) konvergiert,
(xn ) jedoch nicht.
c) Folgt aus der Konvergenz der (an ), dass die Folge der (xn ) beschränkt ist?
2. Aufgabe (Häufungspunkte, 4 Punkte)
Für die gegebenen Folgen bestimme man alle Häufungspunkte sowie den Limes Superior und den Limes
Inferior. Wieviele konvergente Teilfolgen gibt es jeweils?
a) an = 23 , − 12 , 43 , − 13 , 54 , − 14 , 65 , − 15 , ...
b) bn = 21 , 13 , 23 , 14 , 24 , 34 , 15 , 25 , 35 , 45 , 16 , 26 , ...
3. Aufgabe (Konvergenz von Folgen, 4 Punkte)
Konstruieren Sie zwei Folgen (an ) und (bn ) mit limn→∞ an = ∞ und limn→∞ bn = 0, um jede der
folgenden Möglichkeiten zu realisieren:
a) limn→∞ (an · bn ) = ∞,
b) limn→∞ (an · bn ) = c für eine gegebene Konstante c ∈ R,
c) (an · bn ) ist beschränkt aber nicht konvergent.
4. Aufgabe (Cauchy-Folgen, 4 Punkte)
Sei (xn ) eine Folge in R mit
|xn − xn+1 | ≤ q n
∀n ∈ N,
wobei 0 ≤ q ≤ 1. Für welche q ist (xn ) eine Cauchy-Folge?
Hinweis: Sie dürfen verwenden, dass
n
X
k=0
für 0 < q < 1 gilt.
qk =
1 − q n+1
1−q