Blatt 6 - Mathematisches Institut

Übungen zur Vorlesung
Analysis für Informatiker und Lehramt
Abgabetermin: Fr. 25.11.2016 bis 11:00 Uhr
Abgabeort: Postfach Radl in Zimmer A 514
Mathematisches Institut
Universität Leipzig
Agnes Radl
Blatt 6
Aufgabe 1
(a) Seien (xn ) und (yn ) Folgen reeller Zahlen, wobei (xn ) bestimmt divergent gegen ∞
und (yn ) beschränkt sei. Zeigen Sie:
lim (xn + yn ) = ∞.
n→∞
(b) Sei (xn ) ⊆ (0, ∞) eine Nullfolge. Zeigen Sie:
lim 1
n→∞ xn
= ∞.
Aufgabe 2
Sei xk ≥ 0 für jedes k ∈ N und sei
sn :=
n
X
xk ,
n ∈ N.
k=1
Zeigen Sie, dass die Reihe
ist.
P∞
k=1
xk genau dann konvergiert, wenn die Folge (sn ) beschränkt
Aufgabe 3
Welche der folgenden Reihen konvergieren? Begründen Sie Ihre Antworten. (Es ist nicht
verlangt, im Falle von Konvergenz den Grenzwert explizit auszurechnen.)
k
∞
∞
∞ ∞
X
X
X
X
√
1
1
1
√
√
(a) (i)
k (ii)
(−1)k+1 √ .
(iii)
(iv)
k
k
k
k=1
k=1
k=1
k=1
k
∞ X
k
(b)
2k + 1
k=1
∞
X
k!
(Hinweis: Bernoullische Ungleichung)
(c)
kk
k=1
Aufgabe 4
Welche der folgenden Reihen konvergieren? Geben Sie im Falle von Konvergenz den Grenzwert explizit an. Begründen Sie Ihre Antworten.
(Hinweis: Überlegen Sie zunächst, wie jeweils die Folge der n-ten Partialsummen aussieht.)
∞ X
√
√
(a)
k− k−1 ,
k=1
(b)
∞
X
k=2
2
.
k2 − 1
(Hinweis: Bestimmen Sie zunächst A, B ∈ R so, dass
2
k2 −1
=
A
k−1
+
B
k+1
gilt.)