Blatt 7 - Uni Ulm

Dr. G. Baur
M. Gerlach
Sommersemester 13
Universität Ulm
Abgabe:
Bis 07.06.13, 8:15 Uhr
Briefkasten vor H3
32 Punkte
Übungen zur Analysis 1
Blatt 7
27. Bestimme, falls existent, den Grenzwert nachstehender Folgen (an )n∈N .
(a) an :=
n2 − 2n3 + 4
4n + 13n3 − 2
2n + (−2)n
3 · 2n
n
23 1 + i
(e) an := n
2
n
1
(g) an := 1 + √
n n
(c) an :=
(b) an :=
(8x2)
2n · n4 + 3 n · n
2 · 3n − n7 + 2
3n + (−3)n
n · 3n
1 n
(f) an := 1 + √
n
(d) an :=
(h) an :=
√
√
n+1− n
28. Es seien (an ) und (bn ) konvergente Folgen reeller Zahlen mit a := limn→∞ an und
b := limn→∞ bn . Beweise die folgenden Aussagen.
√
√
(a) Ist an ≥ 0 für alle n ∈ N, so gilt limn→∞ an = a.
(4)
(b) Es ist limn→∞ min{an , bn } = min{a, b}.
29. Finde jeweils ein Beispiel reeller Zahlenfolgen (an ), (bn ), (cn ) und (dn ), sodass
(4)
(a) an ∼ bn aber die Folge der Differenzen an − bn konvergiert nicht gegen 0.
(b) an ∼ bn und cn ∼ dn aber an + cn 6∼ bn + dn .
30. Es seien (an ), (bn ), (cn ) und (dn ) reelle Zahlenfolgen. Beweise die folgenden Aussagen.
(4)
(a) Falls limn→∞ an − bn = 0 und es ein c > 0 gibt, sodass bn ≥ c > 0 für alle n ∈ N, so
ist an ∼ bn .
(b) Falls an ∼ bn , cn ∼ dn und außerdem an , bn , cn , dn ≥ 0 für alle n ∈ N, so ist auch
an + cn ∼ bn + dn .
31. Zeige, dass nachstehende Folgen (an ) konvergieren.
2n
n k
X
X
1
1
(a) an :=
(b) an :=
k
2
k=n+1
k=0
Die Übungsblätter sowie aktuelle Informationen sind unter folgender Adresse verfügbar:
http://www.uni-ulm.de/mawi/mawi-stukom/baur/sose13/ana1ss13.html
(4)