Prof. Dr. B. Kawohl WS 2010/2011 Dr. S. Krömer Dr. E. Parini

Prof. Dr. B. Kawohl
Dr. S. Krömer
Dr. E. Parini
WS 2010/2011
Mathematik für Wirtschaftsinformatiker
6. Übung
Bitte schreiben Sie auf Ihre Lösung Ihren Namen und Ihre Gruppennummer und werfen
Sie sie spätestens am Donnerstag, 25.11.2010, um 18.00 Uhr in den oberen rechten Kasten
für Übungsblätter im Keller des MI.
Aufgabe 1:
Formal definiert man Konvergenz gegen Unendlich wie folgt:
Ist (an ) eine Folge in R, so sagt man, dass limn→∞ an = +∞, oder an → +∞, falls
∀M > 0 ∃N ∈ N ∀n ≥ N : an ≥ M.
(In Worten: Für jedes (beliebig große) M existiert eine (von M anhängige) natürliche
Zahl N , so dass an ≥ M für alle n ≥ N .) Ferner schreibt man limn→∞ an = −∞, falls
limn→∞ (−an ) = +∞. Mit dieser Ergänzung des Konvergenzbegriffs für Folgen gibt die
Definition des Ausdruck limx→a f (x) = A aus der Vorlesung für eine Funktion f : R → R
nun auch Sinn, wenn a und A neben reellen Zahlen auch die Werte −∞ und +∞ annehmen
dürfen.
a) Zeigen Sie anhand der Definition:
Ist (an ) eine Folge in R mit an → +∞, so gilt
1
an
→ 0.
b) Bestimmen Sie den Limes von
25x5 + 11x2 + 2010x
, x ∈ R \ {0},
18x5 + 11x3 + 2010x2
für x → +∞, für x → −∞, für x & 0 und für x % 0.
(5 Punkte)
Aufgabe 2:
Es sei
f : R → R, f (x) :=
x sin x1 falls x 6= 0,
0
falls x = 0.
Aus Aufgabe 4b) vom letzten Blatt wissen wir, dass f stetig bei 0 ist (und damit überall).
Zeigen Sie, dass f bei 0 nicht differenzierbar ist, also dass der Grenzwert des Differenzen(0)
quotienten f (x)−f
für x → 0 nicht existiert.
x−0
Hinweis: Finden Sie zunächst zwei Folgen (an ) und (bn ) in R mit an → +∞ und bn → +∞,
so dass limn→∞ sin an = 0 6= 1 = limn→∞ sin bn gilt.
(5 Punkte)
1
Aufgabe 3:
a) Berechnen Sie die Ableitungen folgender Funktionen; bitte geben Sie die Zwischenschritte an.
√
(i) f (x) = [ln( x2 + 1)]3 ;
1
(ii) g(x) = sin
· [cos(5x + 2)];
x2 + 1
s
x3 + 7
3
(iii) h(x) =
.
x2 + 1
b) Die Funktion
h π πi
arcsin : [−1, 1] → − ,
2 2
wird
als die Inverse der Einschränkung der Sinus-Funktion auf das Intervall
π definiert
π
− 2 , 2 ; also
arcsin(sin y) = y
π π
für y ∈ − 2 , 2 . Zeigen Sie mit Hilfe der Formel für die Ableitung der inversen
Funktion, dass
1
(arcsin)0 (x) = √
für x ∈ (−1, 1).
1 − x2
(5 Punkte)
Aufgabe 4:
Sei die Funktion f : (−∞, 3) ∪ (3, +∞) → R definiert als
x2 − 5
.
x−3
f (x) :=
a) Berechnen Sie: lim f (x), lim f (x), lim f (x), lim f (x).
x→−∞
x→+∞
x&3
x%3
b) Ermitteln Sie die lokalen Minima und Maxima von f .
c) Skizzieren Sie den Graphen von f anhand der Ergebnisse aus a) und b) .
(5 Punkte)
2