Wahrscheinlichkeitstheorie I

G. Trutnau
WS 2005/06
Wahrscheinlichkeitstheorie I
Aufgabe 33. Zeige mit Hilfe des zentralen Grenzwertsatzes, dass
lim e
n→∞
−n
n
X
nk
k=1
1
1
= und lim
n→∞ (n − 1)!
k!
2
Z
0
n
tn−1 e−t dt =
1
.
2
Aufgabe 34. Sei Pn die Gleichverteilung auf der Menge Ωn aller Permutationen von
{1, . . . , n} und Zn (ω) die Anzahl der Inversionen der Permutation ω ∈ Ωn (vgl. Aufgabe
23). Zeige, dass die Verteilung von
Zn − E[Zn ]
p
var(Zn )
für n → ∞ schwach gegen N (0, 1) konvergiert.
Aufgabe 35. Für n ∈ N sei Yn,1 , . . . , Yn,n eine Folge von unabhängigen
Zufallsvariablen
Pn
mit P [Yn,k = 1] = 1 − P [Yn,k = 0] = pn,k und Sn :=
k=1 Yn,k
P. nDer Poissonsche
Grenzwertsatz besagt bekanntlich, dass unter der Annahme limn→∞ k=1 pn,k = λ und
limn→∞ max{pn,k |1 ≤ k ≤ n} = 0 die Folge (PSn ) schwachPgegen die Poissonverteilung
n
mit Parameter λ konvergiert. Zeige, dass im Falle limn→∞ k=1 pn,k (1 − pn,k ) = ∞ die
Folge (Sn ) dagegen die zentrale Grenzwerteigenschaft besitzt.
Aufgabe 36. Sei λ ∈ R und sei (Xn ) eine unabhängige Folge reeller Zufallsvariablen,
so dass
1
(n ∈ N).
P [Xn = nλ ] = P [Xn = −nλ ] =
2
Zeige:
(i) Für λ < −1/2 genügt die Folge (Xn ) nicht der Fellerschen Bedingung.
R n+1 2λ
Rn
(ii) Für λ ≥ −1/2 gilt s2n ≥ 1
x dx im Fall λ ≤ 0 und s2n ≥ 0 x2λ dx im Fall
λ ≥ 0.
(iii) Für alle λ ≥ −1/2 hat (Xn ) die zentrale Grenzwerteigenschaft.
(iv) Zeige mit Hilfe von Aufgabe 32, dass die Folge (Xn ) für λ ≥ 1/2 nicht dem schwachen
Gesetz der großen Zahlen genügt.