Wahrscheinlichkeitstheorie II

G.TRutnau/M. Röckner
SS 2006
Wahrscheinlichkeitstheorie II
Pn
Aufgabe 27. Sei Xn := k=1 Yk , n ∈ N, und E[|Yk |] < ∞.
(i) Zeige mit Hilfe von Aufgabe 24, dass
lim E[Y1 |σ(Xn , Xn+1 , . . . )] = E[Y1 |C] f.s. und in L1 ,
n→∞
T
wobei C := n∈N σ(Xn , Xn+1 , . . . ).
(ii) Die Yi seien nun bedingt austauschbar, d.h. für 1 ≤ k ≤ n
E[Yk |σ(Xn , Xn+1 , . . . )] = E[Y1 |σ(Xn , Xn+1 , . . . )] f.s.
Beweise für Xn ein starkes Gesetz der großen Zahlen:
Xn
= E[Y1 |C] f.s. und in L1 .
n→∞ n
lim
(iii) Sind die Yi i.i.d., so sind sie bedingt austauschbar und es gilt
lim
n→∞
Xn
= E[Y1 ] f.s. und in L1 .
n
Aufgabe 28. (i) Sei (An )n∈N eine Filtrierung. Sei A ∈ σ(
0–1–Gesetz von Paul Levy:
S
n∈N
An ). Dann gilt das
lim P [A|An ] = 1A P –f.s.
n→∞
(ii) Leite aus (i) das 0–1–Gesetz von Kolmogorov ab: Ist B1 , B2 , . . . eine Folge unabhängiger σ–Algebren und
B∞ :=
\
n∈N
σ(
[
Bk )
das “tail–field”,
k≥n
so gilt
A ∈ B∞ ⇒ P [A] = 0 oder 1 .
Aufgabe 29. (Yn,k )n,k≥1 seien unabhängig und identisch verteilte Zufallsvariablen auf
dem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P ) mit Werten in Z+ und An := σ(Ym,k |m ≤ n, k ≥
1). Zeige, dass für f : Z+ → R+ und n ≥ 0
E[f (Xn+1 )|An ] = E[f (Yn+1,1 + . . . + Yn+1,Xn )] P–f.s.
—2—
Aufgabe 30. (Yn,k )n,k≥1 und (Ȳn )n≥1 seien Folgen unabhängig und jeweils identisch
verteilter Zufallsvariablen auf dem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P ) mit Werten in
Z+ , m := E[Yn,k ] 6= 1 und λ := E[Ȳn ]. Weiterhin sei X0 := 1, Xn+1 (ω) := Ȳn+1 (ω) +
Yn+1,1 (ω) + . . . + Yn+1,Xn (ω) (ω). (Xn ) ist ein Verzweigungsprozess mit Immigration,
wobei Ȳn die Immigration in der n–ten Generation beschreibt. Zeige, dass
1
Mn = n
m
ein Martingal ist.
µ
Xn − λ
µ
1 − mn
1−m
¶¶
,n ≥ 0,