¨Ubungsaufgaben zur Vorlesung Einführung in die
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Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg WS 2010/2011 Fakultät für Mathematik Prof. Dr. G. Christoph Dr. B. Leneke Übungsaufgaben zur Vorlesung Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik Blatt 12* - Abgabe bis Donnerstag, 20.01.2011, 14:00 Uhr (G 18 - 158) 59. (4 + 4 P) Berechnen Sie für die Zufallsgröße X + Y a) die Zähldichte, wenn X und Y unabhängig negativ binomialverteilt sind mit gleichem p ∈ (0, 1) und nX ∈ N bzw. nY ∈ N. b) die Dichtefunktion, wenn X und Y unabhängig cauchy-verteilt sind. 60. (2 + 4 P) Beweisen Sie die folgenden Grenzwertbeziehungen charakteristischer Funktionen. a) Sei Xn ∼ Bi(n, pn ) für jedes n ∈ N, Y ∼ P oi(λ) und npn → λ ∈ (0, ∞). Dann gilt: lim ϕXn (t) = ϕY (t), t ∈ R. n→∞ √ b) Für jedes n ∈ N sei Xn ∼ P oi(λn ) und Yn = √Xλn − λn . Dann gilt für n λn → ∞ 2 /2 lim ϕYn (t) = e−t n→∞ , t ∈ R. 61. (5 P) Es sei X eine absolut stetige Zufallsgröße mit Dichtefunktion f (x) = 3x2 1[0,1] (x) . Berechnen Sie die charakteristische Funktion von X. 62. (3 + 4 P) Seien (Xn )n≥1 und (Yn )n≥1 Folgen von (reellwertigen) Zufallsvariablen und P P gelte weiterhin Xn → X sowie Yn → Y für n → ∞. Zeigen Sie, dass dann gilt: P a) Xn + Yn → X + Y für n → ∞ P b) Xn Yn → XY für n → ∞. 1 63. (3 P) Sei (Zn )n≥1 eine Folge u.i.v. standard-normal-verteilter Zufallsvariablen, dann n P heißt Yn = Zi2 chi-quadrat-verteilt mit n Freiheitsgraden, kurz: χ2n -verteilt. i=1 Zeigen Sie: Die Zufallsvariable Y√n −n konvergiert in Verteilung gegen eine standard2n normal-verteilte Zufallsvariable. * Im Internet verfügbar unter http://fma2.math.uni-magdeburg.de/∼leneke/wtheorie ws1011.html 2
