4.¨Ubungsblatt zur Statistik II - Ruhr

4. Übungsblatt zur Statistik II
Prof. Dr. Holger Dette, WiSe 2016/2017
Aufgabe 1.
Seien U1 , . . . , Un i.i.d. ∼ U[0, 1] und E1 , . . . , En+1 i.i.d. ∼ Exp(1). Zeigen Sie, dass
dann
Pr
D
i=1 Ei
U(r) = Pn+1
i=1 Ei
für r = 1, . . . , n, wobei U(r) die r-te Ordnungsstatistik der Beobachtungen U1 . . . , Un
bezeichne.
Aufgabe 2.
Für n ∈ N seien X1 , . . . , Xn Zufallsvariablen mit Verteilungsfunktion F und stetiger
Dichte f und cn1 , . . . , cnm ∈ R Gewichte der L-Statistik
m
X
Ln =
cnj X(rnj ) .
j=1
Weiter gelte für j = 1, . . . , m
rnj
= pj + o n−1/2
n
−1
< 1 und f (F (pj )) > 0. Zeigen Sie, dass dann die
lim cnj = cj
n→∞
mit 0 < p1 < . . . < pm
Verteilungskonvergenz
√
und
D
n (Ln − γ(F )) −→ N 0, σ 2
folgt, wobei
γ(F ) =
m
X
j=1
cj F −1 (pj ) und σ 2 =
m X
m
X
i=1 j=1
min{pi , pj } − pi pj
ci cj .
f (F −1 (pi ))f (F −1 (pj ))
Aufgabe 3.
Seien X1 , . . . , Xn unabhängig identisch verteilt mit Verteilungsfunktion F und stetiger
Dichte f . Zeigen Sie, dass die gemeinsame Dichte von X(r) und X(s) mit r < s durch
fX(r) ,X(s) (x, y) =
gegeben ist.
s−r−1
n−s
n!I{x<y} f (x)f (y)
F r−1 (x) F (y) − F (x)
1 − F (y)
(r − 1)!(s − r − 1)!(n − s)!
Aufgabe 4.
Seien X1 , . . . , Xn unabhängig und identisch verteilte Zufallsvariablen mit Verteilungsfunktion F . Weiter seien (an ) und (bn ) > 0 Folgen reeller Zahlen, sodass der Grenzwert
lim n(1 − F (an + bn x)) = u(x)
n→∞
für alle x ∈ R existiert, wobei auch der Wert u(x) = ∞ zugelassen ist. Zeigen Sie die
folgenden Aussagen:
a) Sei T (x) = exp(−n(1 − F (x))). Dann gilt
T (x) − 4n(1 − F (x))2 F n (x) < P(X(n) < x) ≤ T (x),
√
wobei die erste Ungleichung gilt sobald 0 < 1 − F (x) < 1/(2 n) und die zweite
Ungleichung für alle x ∈ R erfüllt ist.
b) Außerdem gilt
lim P
n→∞
X(n) − an
< x = e−u(x) ,
bn
wobei e−∞ = 0.
Hinweis: Die Ungleichungen
2
e−nz − (1 − z)n (e2nz − 1) < (1 − z)n ,
und
(1 − z)n ≤ e−nz ,
können ohne Beweis verwendet werden.
Besprechung in der Übung am 28.11.2016
2
z ∈ [0, 1]
z ∈ (0, 1/2)