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B. Schmalfuß
Paderborn, den 25.01.08
Übung Stochastik I
(13. Serie)
Grenzwertsätze
(I) Seien Xn i.i.d N (0, 1) verteilt. Dann gilt für die Folge Xn2 der Zentrale Grenzwertsatz.
(II) Für Primzahlen p sei Ap = {n ∈ N : p teilt n}. Man zeige: Es gibt kein
Wahrscheinlichkeitsmaß P P
auf Ω = N, für welches die Ap unabhängig sind und
P (Ap ) = 1/p gilt. (Hinweis p prim 1/p = ∞).
(III) Sei (Xn )n∈N eine Folge unabhängiger, identisch verteilter zufälliger Größen
mit dem Erwartungswert 0 und der Varianz 1, deren 3. absolutes Moment E(|Xn3 |)
existiert. Für jedes n ∈ N sei die zufällige Größe Yn definiert durch
X1 + X2 + . . . + Xn
√
Yn =
.
n
Zeige mit Hilfe der charakteristischen Funktion:
PYn → N (0, 1) für n → ∞
(IV) Eine Vorlesung wird von 70 Studenten belegt. Es sei p = 0.5 die (für alle
Studenten identische) Wahrscheinlichkeit , tatsächlich an der Klausur teilzunehmen.
Der Dozent hat 40 Kopien des Aufgabenblattes anfertigen lassen. Berechne die
Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der Kopien ausreicht
(i) exakt
(ii) asymptotisch.
(1) Es werden am Tag 2000 Chips produziert, wobei die Wahrscheinlichkeit, dass
ein Chip zur Qualitätsklasse 1 gehört, 0.8 beträgt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass an einem Tag
(a) mehr als 1600
(b) genau 1600
Chips produziert werden, die zur Qualitätsklasse 1 gehören? (Hinweise: Man interpretiere die Anzahl der Qualität 1 Chips als binomialverteilte Zufallsvariable. Man
wende für (a) den Satz vom Moivre-Laplace an. Zur Berechnung von (b) benutze
man die Stirlingsche Formel.)
(2) Man beweise die Umkehrung des Lemmas von Borel-Cantelli.
Es sei (Ai )i∈N eine Folge von unabhängig Ereignissen. Dann gilt:
∞
X
P (Ai ) = ∞ ⇒ P (lim sup Ai ) = 1.
i→∞
i=1
(3) Katastrophen treten zu den zufälligen Zeiten T1 , T2 , · · · auf, wobei Ti = X1 +
· · ·+Xi gilt. Die Zufallsvariablen Xi seien positiv, unabhängig und identisch verteilt
1
und besitzen einen endlichen Erwartungswert. Es sei weiterhin N (t) := max{n :
Tn ≤ t}. Zeige
1
N (t)
=
fast sicher.
t
EX1
eine Folge von unabhängigen Zufallsvariablen mit
lim N (t) = ∞,
t→∞
(4) Es sei (Xn )n∈N
lim
t→∞
1
1
, P (Xn = 0) = 1 −
.
2n log n
n log n
Man zeige, dass das schwache Gesetz der großen Zahlen, aber nicht das starke
Gesetz der großen Zahlen gilt.
P (Xn = n) = P (Xn = −n) =
Abgabe der Aufgaben bis zum Dienstag, 05.02.08 15:45 Uhr im roten
Kasten Nr.5 auf D1