Stochastik I - Mathematik, TU Dortmund

TU Dortmund
Fakultät für Mathematik
Prof. Dr. J. Woerner
M. Sc. R. Shevchenko
M. Sc. V. Schulmann
Sommersemester 2017
Stochastik I
Blatt 12
Abgabe der Übungsaufgaben:
Montag, 10.07.2017, 13.00 Uhr, in festen Zweiergruppen und getrennt nach
Aufgaben (die entsprechenden Briefkastennummern sind im jeweiligen
Aufgabenkopf vermerkt). Schreiben Sie unbedingt Ihre Gruppendaten auf
jede Abgabe!
Aufgabe 1
(5 Punkte, Briefkasten Nr. 26)
Es sei λ ∈ R und (Xn )n∈N eine Folge unabhängiger Zufallsvariablen mit
1
P (Xn = nλ ) = P (Xn = −nλ ) = .
2
(a) Geben Sie eine Bedingung für λ an, so dass (Xn )n∈N das starke Gesetz der
großen Zahlen erfüllt.
(b) Zeigen Sie: Falls (Xn )n∈N das schwache Gesetz der großen Zahlen erfüllt,
dann folgt:
n
n−1
1X
1X
1
P
Xn =
Xi −
Xi → 0.
n
n i=1
n i=1
Sie dürfen ohne Beweis verwenden: Falls Yn → Y und Zn → Z stochastisch,
dann gilt Yn + Zn → Y + Z und Yn Zn → Y Z stochastisch.
(c) Nutzen Sie (b), um zu zeigen: Für λ ≥ 1 erfüllt (Xn )n∈N weder das schwache
noch das starke Gesetz der großen Zahlen.
Aufgabe 2
(5 Punkte, Briefkasten Nr. 28)
Beweisen Sie folgendes Konvergenzkriterium: Eine Folge (Xn )n∈N von Zufallsvariablen konvergiert genau dann fast sicher gegen eine weitere Zufallsvariable X,
wenn
lim P (sup |Xn − X| > ε) = 0 für alle ε > 0 gilt.
m→∞
n≥m
Aufgabe 3
(5 Punkte, Briefkasten Nr. 36)
Beim Druck eines Buches sei die Wahrscheinlichkeit für eine fehlgedruckte Seite
gleich 0, 003, wobei die Fehler unabhängig voneinander entstehen. Wie groß ist
ungefähr die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem 1000-seitigen Buch höchstens fünf
Seiten Fehler enthalten? Verwenden Sie als Approximation
(a) die Normalverteilung,
(b) die Poissonverteilung.
Aufgabe 4
(5 Punkte, Briefkasten Nr. 45)
Die Zufallsvariablen X, X1 , X2 , ... seien stochastisch unabhängig und identisch exponentialverteilt mit Parameter t > 0, d.h. die Dichte von X ist gegeben durch
f (x) = te−tx 1[0,∞) (x) und die Verteilungsfunktion durch F (x) = (1−e−tx )1[0,∞) (x)
(x ∈ R).
Es seien An = {Xn ≤ log(2), Xn+1 ≤ log(3)} (n ∈ N) sowie A = lim supn→∞ An .
Berechnen Sie P (A).
Tipp: (An )n∈N ist nicht stochastisch unabhängig! Betrachten Sie eine geeignete
Teilfamilie von (An )n∈N .
Die neuen Übungsblätter, Modalitäten zur Abgabe sowie weitere
Informationen zur Veranstaltung finden Sie auf unserer Homepage:
www.mathematik.uni-dortmund.de/lsiv/2017Sommer/StochI/index.htm