Mathematik 2

Übungen Analysis (Mathematik 2 für Informatiker)
Wintersemester 2015
Übungsblatt 5
Besprechung am 12. 11. 2015
Aufgabe 1 Vervollständigen Sie das Beispiel aus der Vorlesung, indem Sie zeigen:
a) Die Folge (1 + 1/n)n n>1 ist monoton wachsend.
b) Für alle n gilt
n
X
2−(k−1) <
k=1
1
.
1 − 1/2
Aufgabe 2 Zeigen Sie:
∀x ∈ R ∀ε > 0 ∃q ∈ Q : |x − q| < ε.
(“Die rationalen Zahlen liegen dicht in R.”)
Aufgabe 3 Seien (an )n>0 eine monoton wachsende und (bn )n>0 eine monoton fallende Folge
mit limn→∞ bn − an = 0. Zeigen Sie: Die Folgen (an )n>0 und (bn )n>0 sind konvergent, und es gilt
limn→∞ an = limn→∞ bn .
(Hinweis: Zeigen Sie, dass beide Folgen beschränkt sind.)
Aufgabe 4 Sei p eine ganze Zahl. Zeigen Sie:


0, wenn p < 0,
p
lim n = 1, wenn p = 0,
n→∞


∞, wenn p > 0.
Aufgabe 5 Die Folge (an )n>0 sei gegeben durch die Rekursionsgleichung
a0 = 1,
a1 = −1,
und
an = an−1 + 2an−2 für n > 2.
Finden Sie eine geschlossene (d. h. nicht rekursive) Darstellung für an .
Aufgabe 6 Die Folge (xn )n>0 sei gegeben durch die Rekursionsgleichung
1
5 x0 = 3
und
xn+1 =
xn +
für n > 0.
2
xn
a) Zeigen Sie, dass (xn )n>0 monoton fallend und nach unten beschränkt ist.
b) Berechnen Sie limn→∞ xn .
Aufgabe 7 Seien limn→∞ an = ∞ und limn→∞ bn = ∞. Zeigen Sie:
a) limn→∞ an + bn = ∞;
b) limn→∞ an bn = ∞.
Zeigen Sie außerdem, dass über limn→∞ an − bn und limn→∞ an /bn keine allgemeinen Aussagen
gemacht werden können.