Formelsammlung

Fakultät für Informatik
Professur Theoretische Informatik
und Informationssicherheit
Wintersemester 2006/07
Prof. Dr. Hanno Lefmann
Theoretische Informatik I
Formelsammlung
Potenzieren
Für a, b ∈ R mit a > 0 ist die b-te Potenz von a, geschrieben ab , gleich eb·ln a (Verallgemeinerung des Potenzierens von ganzzahligen Exponenten auf reelle Exponenten
durch Benutzen des natürlichen Logarithmus ln (siehe unten) und der Exponentialfunktion ex . Die Zahl e = 2, 71828 . . . ist die Eulersche Zahl.). Es gelten folgende
Identitäten (Rechenregeln):
• a0 = 1
• ax · ay = ax+y für x, y ∈ R
• (ax )y = ax·y für x, y ∈ R
•
ax
ay
= ax−y für x, y ∈ R
Logarithmen
Der Logarithmus von b zur Basis a, mit a, b ∈ R+ , ist loga b. Dies ist die Zahl
x ∈ R, so dass ax = b ist. (Umkehrfunktion der Funktion ax ). Der Logarithmus zur
Basis e (Eulersche Zahl) wird mit ln abgekürzt, der Logarithmus zur Basis 2 (2-er
Logarithmus) wird häufig einfach log geschrieben.
Rechenregeln:
• loga b =
logc b
logc a
für jedes c > 0
• aloga b = b
• loga (b · b0 ) = loga b + loga b0
• loga (1/b) = − loga (b)
• loga (bc ) = c · loga b
• loga (b/b0 ) = loga (b) − loga (b0 )
• loga (b) · logb (a) = 1
Fakultät
Die Fakultät n! für n ≥ 0 ist das Produkt der Zahlen 1 bis n, also
Es gelten die Abschätzungen
Qn
i=1
i = 1·2·. . .·n.
• n! ≤ nn = 2n log n , d. h. also auch log(n!) ≤ n log n
n/2
= 2log(n/2)·n/2 , d. h. also auch log(n!) ≥ (n/2) · log(n/2)
• n! ≥ n2
• Also log(n!) = Θ(n log n)
√
√
• Stirlingformel: nn · e−n · 2πn ≤ n! ≤ nn · e−n · 2πn · e1/(12n) für alle n ∈ N
Binomialkoeffizienten
Der Binomialkoeffizient nk für ganzzahlige 0 ≤ k ≤ n ist die Anzahl aller kelementigen Teilmengen einer n-elementigen Menge. Es gelten die Identitäten:
•
n
k
=
•
n
k
=
n−1
k
•
n
k
=
n
n−k
•
n
1
•
•
n!
k!·(n−k)!
= n,
Pn
n
k=0
n
k
=
k
=
+
n·(n−1)·...·(n−k+1)
k·(k−1)·...·1
n−1
k−1
sowie
n
n
=
n
0
=1
n
2
=
n·(n−1)
2
= 2n
Pn−k+1
i=1
n−i
k−1
Folgende Abschätzungen sind hilfreich:
•
n
k
≥
n k
k
•
n
k
≤
en k
k
Summen und Reihen
• Die Summe der ersten n natürlichen Zahlen ist
• Die Summe der ersten n Quadratzahlen
Pn
i=1
Pn
i=1
i2 =
i=
n(n+1)
.
2
n(n+1)(2n+1)
.
6
• Die Summe der ersten n + 1 Potenzen von q ∈ R (einschließlich q 0 ) ist die
P
n+1
Geometrische Summe ni=0 q i = q q−1−1 .
• Die
Reihe ist die Summe aller Potenzen von q ∈ (−1, 1), d. h.
P∞ Geometrische
1
i
q
=
.
i=0
1−q
P
• Die Summe der Kehrwerte der ersten n natürlichen Zahlen ist ni=1
(n-te Harmonische Zahl). Es gilt ln(n + 1) ≤ H(n) ≤ ln(n) + 1.
1
i
= H(n)
Abschätzungen der Exponential- und Logarithmusfunktion
• Es gilt ex ≥ 1 + x für alle x ∈ R.
• Es gilt ln(x) ≤ x − 1 für alle x > 0.
Elementare Wahrscheinlichkeitstheorie
Ein Wahrscheinlichkeitsraum ist ein Paar (Ω, p), wobei Ω ein Ereignisraum, d. h.
eine Menge von sogenannten Elementarereignissen ist, und p : Ω → [0, 1] eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf dem Ereignisraum. Intuitiv ist der Ereignisraum Ω die
Menge der möglichen Ausgänge des modellierten Zufallsexperimentes und die Wahrscheinlichkeitsverteilung p gibt die relative Häufigkeit” an, die die einzelnen Ele”
mentarereignisse bei vielen (unendlich) Ausführungen des Zufallsexperimentes haben. Es gilt also
X
p(ω) = 1 .
ω∈Ω
Ein Ereignis E ist nun eine Teilmenge von Ω, und dieses Ereignis tritt genau dann
ein, wenn beim Zufallsexperiment ein Elementarereignis aus E auftritt. Beispielsweise könnte für das Zufallsexperiment Werfen eines Würfels” der Ereignisraum
”
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} sein (und die Wahrscheinlichkeitsverteilung p(1) = . . . = p(6) =
1/6). Dann wäre das Ereignis Es wird eine gerade Zahl geworfen” das Ereignis
”
E = {2, 4, 6}. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses E ist
Pr[E] =
X
p(ω) ,
ω∈E
in unserem Beispiel also 3 · 1/6 = 1/2. Bei unabhängigen Ereignissen können wir
die Wahrscheinlichkeiten multiplizieren, um die Wahrscheinlichkeit zu erhalten, dass
alle Ereignisse eintreten:
Pr[A1 ∩ . . . ∩ An ] =
n
Y
Pr[Aj ] .
j=1
Eine Zufallsvariable ist formal eine Abbildung X : Ω → R. Damit ordnet sie jedem
Ausgang des Zufallsexperimentes einen Wert” zu. Beispielsweise könnte für einen
”
Münzwurf Ω = {Kopf, Zahl} sein, und X(Kopf) = 10 sowie X(Zahl) = −10 sein.
Dann würde z. B. ein Spieler eine Münze werfen, und X gibt seinen Gewinn an, je
nachdem ob Kopf” oder Zahl” erscheint. Jeder Wert von X hat durch die Wahr”
”
scheinlichkeitsverteilung eine Wahrscheinlichkeit. Der Erwartungswert einer Zufallsvariable X, d. h. intuitiv ihr Mittelwert bei vielen Ausführungen des Zufallsexperimentes, ist definiert als
E[X] =
X
x · Pr[X = x] .
x∈X(Ω)
Wir summieren also über alle möglichen Werte der Zufallsvariablen und betrachten
die Produkte aus Wert und Wahrscheinlichkeit, dass X den Wert annimmt. Bei
unserem Münzwurf wäre bei Gleichverteilung der beiden Seiten der Münze (jeweils
Wahrscheinlichkeit 1/2) der Erwartungswert gleich
−10 · 1/2 + 10 · 1/2 = 0 ,
der Spieler wird also im Erwartungswert weder gewinnen noch verlieren.