Rechnen mit Termen

Prof. Dr.-Ing. J. Böhm-Rietig
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Vorkurs
Mathematik: Rechnen mit Termen
FH-Köln, Fak. 10
02261/8196-120
Brüche
a⋅c a
=
b⋅c b
a c ad ± bc
± =
für b⋅d≠0
b d
bd
für b⋅c≠0
a c ac
⋅ =
b d bd
a c ad
: =
b d bc
Klammern: Abwandlung der normalen Rechenreihenfolge gemäß Assoziativ- und Distributivgesetz
(a+b)⋅(c+d)=ac+ad+bc+bd (Achtung mit Vorzeichen! Dies gehören immer direkt zum Ausdruck: -a =
ˆ (-a))
2
2
a +2ab+b =(a+b)
2
2
2
a −2ab+b =(a−b)
n n
n
(a+b) = ∑   ⋅ a i ⋅ b n − i
i

i =1 
2
2
2
a −b =(a+b)(a−b)
Nur in Summenschreibweise mit Binomialkoeffizienten richtig !
Rechengesetze für beliebige Potenzen
1
a =a
n
a := a⋅ ... ⋅a (n-faches Produkt) für n∈IN und n>0.
0
n
a =1 , 0 =0 für n>0 ,
a
n
m
= a
m
a
−1
=
1
0
für a≠0.
0 ist undefiniert/undefinierbar!
a
n
gilt für a>0, m∈IN und m>0 sowie n∈. Bei ungeradem m kann auch a<0 zulässig sein!
x
Beachte bei a : für reelle, nicht-natürliche Exponenten x muß die Basis a>0 sein.
x y x+y
x y x−y
x x
x
x x
x
a ⋅a = a
a /a = a
a ⋅b = (a⋅b)
a /b = (a/b)

y
 a x  = ax⋅y = (ay)x ≠ a  x
 
y 

=a
xy
x
f(x):=a : „allgemeine Exponentialfunktion zur Basis a>0“;
a
f(x):=x : „allgem. Potenzfunktion mit Exponent a≠0“
x x⋅ln(a)
Beachte: a = e
.
Rechengesetze für beliebige Logarithmen
Für a>0, a≠1 und c>0 ist definiert:
loga(1)=0
loga(a)=1
x
loga(a )=x
x = loga(c)
⇔
x
a =c .
loga(x⋅y) = loga(x)+loga(y)
loga(x/y) = loga(x)-loga(y)
1
b
ln() := loge() mit der Eulerschen Zahl e ≈ 2,71828
loga(x ) = b⋅loga(x) .
loga(x) =
log x (a )
lg() := log10() . Rückführung aller Logarithmen auf den natürlichen Log.:
loga(x) =
ln( x )
ln(a)
x
loga(x) und a sind zueinander inverse Funktionen.
Termumformungen: Äquivalente Umformungen, die die Lösungsmenge nicht verändern.
Seien T1,T2,T3,T4. Terme (Ausdrücke mit Zahlen, Rechenzeichen, Variablen) mit gleicher Definitionsmenge.
Termersetzung:
Ist T3=T1 und T4=T2, so gilt
T1=T2 ⇔ T3=T4
Gleichmäßige Termverrechnung auf beiden Seiten:
T1 = T2 ⇔ T1 ± T3 = T2 ± T3
Für T3≠0:
T1 = T2 ⇔ T1 ⋅ T3 = T2 ⋅ T3 ⇔ T1 / T3 = T2 / T3 .
T1 T2
Exponenzieren:
für a > 0 :
T1 = T2 ⇔ a = a .
Logarithmieren:
Potenzieren:
für a≠1, a, T1, T2 > 0 : T1 = T2 ⇔ loga T1 = loga T2 .
n
n
für n∈IN ungerade :
T1 = T2 ⇔ T1 = T2 ⇔ n T1 = n T 2 (dies nur für T1,T2 ≥0)
Termumformungen, die nur mit Fallunterscheiungen äquivalent durchgeführt werden
Zusätzliche, virtuelle (Schein-)Lös. sind möglich und müssen durch Testrechnungen ausgeschlossen werden.
T1⋅T2 = 0
⇔
T1 = 0 ∨ T2 = 0.
(für beliebig viele Produkte!)
n
n
T1 = T2 ∧ n∈IN gerade ⇔ T1 = T2 ∨ T1 = –T2 .
Achtung beim Wurzelziehen (gerade Wurzelordnung) und beim (geraden) Potenzieren auf beiden Seiten!!!
2
2
T1=T2 ist hinreichend für T1 =T2 , aber nicht norwendig, d.h. beim Quadrieren erhält man Scheinlösungen!
[Rechnen mit Termen.doc]
S. 1
[10.03.2006]