Übungsblatt 4

Übungsblatt 4
Aufg. 4.1 (Mengenplanung bei einer Produktart; linearer Umsatz- und Kostenverlauf)
In einem Einproduktunternehmen liegen folgende Informationen über das Erzeugnis vor:
Stückpreis:
15 GE
Kapazitätsgrenze:
60.000 Stück
Variable Kosten:
Fixe Kosten:
12 GE
100.000 GE
a) Bestimmen Sie die Break-Even-Absatzmenge und den zugehörigen Break-Even-Umsatz!
b) Nennen Sie die Absatzmenge maximalen Gewinns und ermitteln Sie den zugehörigen Umsatz,
die Kosten und den Gewinn!
c) Stellen Sie die Break-Even-Situation in einem Umsatz-Gesamtkostenmodell graphisch dar!
Zeichnen Sie auch die Gewinnfunktion ein!
Aufgabe 4.21 (Mengenplanung bei einer Produktart; linearer Umsatz- und Kostenverlauf)
a) An einer Universität wird von einer Gruppe von Studenten eine monatlich erscheinende Zeitung
erstellt und vertrieben. Es werden 400 Stück zu einem Preis von 5 GE verkauft. Kosten fallen
zum einen für die monatliche Miete des genutzten Kopiergerätes in Höhe von 500 GE und zum
anderen für Papier und andere Materialien pro Exemplar in Höhe von 2,50 GE an.
a1) Ermitteln Sie die Kostenfunktion.
a2) Wie hoch ist der Gewinn der Studenten?
a3) Ab welcher Menge wird ein Gewinn erzielt?
a4) Stellen Sie die Kosten-, die Umsatz- und die Gewinnfunktion graphisch dar.
a5) Stellen Sie die Funktion der gesamten Stückkosten, der variablen Stückkosten und der
Stückkosten aus Fixkosten graphisch dar.
b) Die Studenten, die an der Zeitung mitarbeiten, möchten die Kostenstruktur ihrer Zeitung mit der
der Studentenzeitung der benachbarten Fachhochschule vergleichen. Diese lässt ihre Zeitung in
einer kleinen Druckerei herstellen. Folgende Angaben über die Absatzmengen (=Produktionsmengen) und die zugehörigen Gesamtkosten stellt die Fachhochschule zur Verfügung:
Absatzmenge
200 ME
600 ME
Kosten
800 GE
2.000 GE
b1) Ermitteln Sie die Kostenfunktion der Studentenzeitung der Fachhochschule unter der
Annahme eines linearen Kostenverlaufs.
b2) Welchen Gewinn erzielen die Studenten der Fachhochschule bei einem Preis von 5 GE pro
Zeitung und einer Absatzmenge von 400 Stück?
1 Quelle: Götze, U.: Kostenrechnung und Kostenmanagement, 2. Auflage 2000, S. 25f.
b3) Die Studenten der Universität überlegen, ob sie das `Produktionsverfahren´ der
Fachhochschule übernehmen sollen. Sie planen jedoch, den Verkauf ihrer Zeitung in den
nächsten Monaten auszuweiten, so dass sich die monatliche Absatzmenge auf 700 Stück
erhöht. Welches Produktionsverfahren führt bei dieser monatlichen Absatzmenge zu einem
höheren Gewinn?
b4) Ab welcher monatlichen Absatzmenge führt die Produktionsalternative der Universität zu
einem höheren Gewinn als die der Fachhochschule?
Aufg. 4.3 (Mengenplanung bei einer Produktart; nichtlinearer Umsatz- oder Kostenverlauf)
Ein Monopolist erwartet, dass sich die Preise und Absatzmengen entsprechend der folgenden
Preisabsatzfunktion einstellen:
p(x) = - 0,2 x + 200
Seine Kosten verlaufen nach der Funktion K(x) = 10.000 + 80 x!
a) Zeichnen Sie die Preisabsatzfunktion! Welcher Absatz wird für den Preis p(x) = 50 erwartet?
b) Welcher Umsatz ergibt sich bei der Absatzmenge x = 400 und wie groß ist der maximale
Umsatz? Zeichnen Sie die Funktion des Umsatzes!
c) Zeichnen Sie die Kostenfunktion! Wie hoch sind die Kosten für x = 400?
d) Bestimmen Sie den Break-Even-Absatz und den Break-Even-Umsatz!
e) Wie hoch ist der Gewinn für x = 400? Ermitteln Sie die Absatzmenge maximalen Gewinns, den
zugehörigen Umsatz, die Kosten und den Gewinn! Zeichnen Sie die Gewinnfunktion!
f) Die Umsatzrentabilität RU(x) wird definiert als:
R U (x ) =
G ( x ) Gewinn
=
.
U( x ) Umsatz
Zeichnen Sie die Kurve der Umsatzrentabilität und berechnen Sie dafür die Rentabilitäten bei
den Absatzmengen: x = 70; x = 100; x = 250; x = 300; x = 400
x = 500.
g) Unterstellen Sie jetzt, dass sich die Kosten nach den folgenden Kostenfunktionen entwickeln:
g1 )
g2 )
1
1
x 3 − x 2 + 60 x + 10.000
5000
8
60 x + 8.000

K(x) =  1
8
x 3 − x 2 + 124 x + 8.000

25
 2.500
K(x) =
für
0 ≤ x ≤ 400
für
400 ≤ x ≤ 1.000
Bestimmen Sie die Absatzmenge maximalen Gewinns, den zugehörigen Umsatz, die Kosten
und den Gewinn!
Aufgabe 4.4 (Mengenplanung bei einer Produktart; geknickte Preisabsatzfunktion)
Auf einem Dyopolmarkt erwartet eine Unternehmung unter der Annahme, der Mitkonkurrent hält
seine Aktionsparameter konstant, dass sich die eigenen Preise und Absatzmengen entsprechend der
folgenden Preisabsatzfunktion einstellen:
PAF1: p1 ( x ) = −0,5x + 70
für
0 ≤ x ≤ 40
PAF2: p 2 ( x ) = − x + 90
für
40 ≤ x ≤ 90
Seine Produktionskosten verhalten sich ersprechend der Kostenfunktion:
K ( x ) = 40 x + 200
für
0 ≤ x ≤ 90
a) Zeichnen Sie unter Beachtung der gültigen Bereiche die Preisabsatzfunktion! Welcher Absatz
wird für den Preis p = 60 und welcher für p = 30 erwartet?
b) Berechnen Sie die Umsatzfunktion sowie die Grenzumsatzfunktion.
c) Welcher Umsatz bzw. Grenzumsatz ergibt sich bei der Absatzmenge x = 20 und x = 60 und wie
groß ist die Menge maximalen Umsatzes und der dazugehörige Umsatz?
d) Zeichnen Sie die Funktion des Grenzumsatzes in das Koordinatensystem aus Aufgabenteil a)
ein. Stellen Sie in einem neuen Koordinatensystem die Umsatzfunktion graphisch dar!
e) Welche Kosten ergeben sich bei einer Absatzmenge x = 20 und x = 60 sowie für die in
Aufgabenteil c) ermittelte umsatzmaximale Menge? Zeichnen Sie die Kostenfunktion in das
zweite Koordinatensystem ein!
f) Ermitteln Sie die Gewinnfunktion. Wie hoch ist der Gewinn für x = 20 und x = 60 sowie für die
in Aufgabenteil c) ermittelte umsatzmaximale Menge?
g) Ermitteln Sie die Absatzmenge maximalen Gewinns, den zugehörigen Umsatz, die Kosten und
den Gewinn!
Aufgabe 4.5 (Programmplanung bei mehreren Produktarten und einem Engpass)
Ein Betrieb produziert vier verschiedene Produktarten A, B, C und D. Er verfügt über eine
Fertigungskapazität von 180.000 Leistungseinheiten (LE) pro Periode. Die Absatzpreise sowie die
variablen Stückkosten der einzelnen Produktarten sind aus der folgenden Tabelle zu entnehmen.
Diese beinhaltet außerdem Informationen über die produktartspezifischen Absatzhöchstmengen
sowie darüber, inwieweit die Fertigungskapazität durch die Herstellung einer Einheit der einzelnen
Produktarten jeweils beansprucht wird.
Produktart
A
B
C
D
Preis [GE/Stück]
120
80
70
60
var. Stückkosten [GE/Stück]
90
60
50
50
4.000
5.000
6.000
7.000
20
8
10
2
Absatzhöchstmenge
[Stück/Periode]
Kapazitätsbeanspruchungskoeffizient [LE/Stück]
Es fallen fixe Kosten in Höhe von 160.000 GE in der Periode an.
a) Ermitteln Sie die Zusammensetzung des optimalen Produktions- und Absatzprogramms, wenn
der Betrieb die Zielsetzung verfolgt, seinen Gewinn zu maximieren. Wie hoch ist der Gewinn,
der bei Realisation dieses Programms erzielt wird?
b) Aus absatzpolitischen Gründen ist es notwendig, von jeder Produktart mindestens 4.000 ME zu
fertigen und an die Abnehmer zu liefern. Ermitteln Sie das gewinnmaximale Produktions- und
Absatzprogramm.
c) Durch Werbemaßnahmen für das Produkt D, die zu Kosten in Höhe von 7.500 GE führen, wäre
es möglich, ceteris paribus die Absatzhöchstmenge für das Produkt D auf 8.000 Stück zu
steigern. Beurteilen Sie anhand einer geeigneten Rechnung, ob sich für die Situation unter a) die
Durchführung der Werbemaßnahmen lohnt.
Aufg. 4.6 (Programmplanung bei mehreren Produktarten und einem Engpass)
Auf einer Drehbank mit einer Kapazität von 18.000 Minuten pro Periode werden 4 Produkte bearbeitet, deren Daten in der folgenden Tabelle zusammengestellt sind:
Produktart
maximale
Absatzpreis
variable
Fertigungszeit
Absatzmenge
(GE/Stück)
Stückkosten
(Min./Stück)
1
200
68
60
10
2
800
90
55
7
3
400
110
40
20
4
400
55
40
5
Für ein bisher mit 600 Stück pro Periode fremdbezogenes Zubehörteil hat der Lieferant den Preis
von 120,- auf 160,- GE pro Stück erhöht. Dieses Zubehörteil kann ebenfalls auf der Drehbank
erstellt werden: die entscheidungsrelevanten variablen Stückkosten belaufen sich auf 140,- GE. Die
Bearbeitungszeit beträgt 5 Minuten pro Leistungseinheit.
Auf diese 600 Stück kann keinesfalls verzichtet werden, auch nicht teilweise!
Ermitteln Sie,
a) welche Produkte (gegebenenfalls einschließlich des bisher fremdbezogenen Zubehörteiles, das
als Produkt 5 bezeichnet werden soll) in Zukunft in welchen Mengen auf der Drehbank
gefertigt werden.
b) wie hoch der Deckungsbeitrag der Planperiode gemäß dem in Aufgabenteil a) festgelegten Produktionsprogramm ist.
Aufg. 4.7 (Programmplanung bei mehreren Produktarten und mehreren Engpässen)
Ein Betrieb hat die Produktion für ein Quartal zu planen und will zwei Produktarten berücksichtigen. Die Produktionspreise pi und die variablen Stückkosten kvi betragen:
p1 = 800;
p2 = 700;
kv1 = 400;
kv2 = 400.
Zur Produktion stehen in der ersten Fertigungsstufe 2.200 Maschinenstunden zur Verfügung. Die
erste Produktart benötigt 2 (Std./Stck.), die zweite Produktart benötigt 1 (Std./Stck.).
In der zweiten Fertigungsstufe benötigen beide Produktarten 2 (Std./Stck.), und es sind 2.600 Stunden verfügbar.
Für die dritte Stufe gilt die Beschränkung: 2x1 + 6x2 ≤ 5.400.
a) Stellen Sie die Zielfunktion auf und formulieren Sie die Nebenbedingungen. Geben Sie auch
explizit die Bedeutung der Variablen an.
b) Zeichnen Sie den Beschränkungsraum im x1x2-Diagramm, und führen Sie die graphische Optimierung durch.
c) Welche Mengen könnten bei Monoproduktion von den beiden Produktarten jeweils gefertigt
werden, und welche Gewinne ergäben diese Pläne?
d) Stellen Sie das Ausgangstableau für die Optimierung mit Hilfe der Simplexmethode auf.
e) Führen Sie die Optimierung nach der Simplexmethode durch.
f) Interpretieren Sie das Optimaltableau.
Aufgabe 4.8 (Programmplanung bei mehreren Produktarten und mehreren Engpässen)
Für eine Unternehmung liegt ein lineares Optimierungsproblem mit zwei Problemvariablen x1 und
x2 sowie drei Schlupfvariablen y1, y2 und y3 vor. Die Schlupfvariablen sind den drei Problemrestriktionen zugeordnet. Das Optimierungsproblem wird mit Hilfe der Simplexmethode analysiert.
Nach einem Rechenschritt ergibt sich das folgende Tableau (1. Iteration).
BV
x1
x2
y1
y2
y3
x2
0,4
1
0,08
0
0
8
y2
6
0
−0,6
1
0
30
y3
1
0
0
0
1
7
−5
0
1
0
0
100
(ki-gi)
T
a) Leiten Sie aus diesem Tableau das Ausgangstableau ab.
b) Nach einem weiteren Rechenschritt ergibt sich das folgende Optimaltableau:
BV
x1
x2
y1
x2
0
1
0,12
x1
1
0
y3
0
(ki-gi)
0
y2
y3
T
−0,07*
0
6*
−0,1
0,17
0
5
0
0,1
−0,17
1
2
0
0,5*
0,83
0
125*
Nehmen Sie eine wirtschaftliche Interpretation der mit (*) gekennzeichneten Tableauelemente
vor.