Folgen und Reihen - WWZ

Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum
Universität Basel
Mathematik für Ökonomen 1
Dr. Thomas Zehrt
Folgen und Reihen
Literatur
Referenz: Gauglhofer, M. und Müller, H.: Mathematik für Ökonomen, Band 1, 17. Auflage, Sankt Gallen, Verlag Wilhelm Surbir , Seiten 1-12
2
1
Definitionen
Wird jeder natürlichen Zahl n(∈ N) genau eine reelle Zahl an (∈ R) zugeordnet, so bilden
die Zahlen a1 , a2 , a3 , . . . eine Zahlenfolge oder einfach Folge.
Schreibweise: {an } für a1 , a2 , a3 , . . .
Darstellung von Zahlenfolgen
• direkt: man gibt eine allgemeine Formel für das n-te Glied an.
Beispiele:
Bildungsgesetz
Folgenglieder
an = n2
; 1, 4, 9, 16, 25, 49, . . .
bn = 1/n
;
cn = n!
;
Kn = − 21
n
;
3
• rekursiv: man gibt eine Vorschrift an, wie man das n-te Glied aus seinen Vorgängern
berechnen kann. Damit dieser Prozess der Konstruktion der Folge starten kann,
müssen wir einige Glieder der Folge festlegen. Rekursiv definierte Zahlenfolgen werde
häufig auch als Differenzengleichungen bezeichnet.
Beispiele:
Bildungsgesetz
Anfangswerte
Folgenglieder
an = 2 · an−1
a1 = 2
; 2, 4, 8, 16, 32, 64, . . .
bn = 2 · bn−1
b1 = 1
;
cn = c2n−1 + cn−2
c0 = 1 und c1 = 2
;
an = sin(an−1 ) + cos(an−2 ) a0 = 1 und a1 = 2 ;
an−3 = a2n−4 + an−5
a0 = 1 und a1 = 2 ;
4
Ökonomische Beispiele
• Wert an von 1′ 000.− CHF nach n Jahren bei einer Verzinsung von 4%
In jedem Jahr wächst der Wert der Geldanlage um den Faktor 1.04. Wir erhalten
zunächst die rekursive Folge
an = 1.04 · an−1 , a1 = 1′ 040.
Formal können wir noch ein 0-tes Glied a0 = 1′ 000 einführen, das das Anfangsguthaben bezeichnet. Hier kann man nun leicht eine direkte Darstellung der Folge
angeben:
an =
=
=
=
1.04 · an−1
1.04 · (1.04 · an−2 )
···
(1.04)n · a0 .
Die ersten vier Glieder der Folge sind:
• Kontostand an nach n Jahren bei einem Anfangskapital von 1′ 000′ 000.−
CHF, einer Verzinsung von 5% und Bezügen von 20′ 000.− CHF, die jeweils
am Ende eines Jahres ausgezahlt werden
Nach dem gleichen Rezept wie im vorhergehenden Beispiel, erhalten wir
an = 1.05 · an−1 − 20′ 000. a0 = 1′ 000′000.
Die ersten vier Glieder der Folge sind:
5
Nebenbei bemerkt 1
Eine in Intelligenztests häufig verwendeter Typ von Aufgaben, der direkt mit Zahlenfolgen
zu tun hat, ist der Folgende:
Geben Sie das nächste Glied (und somit auch das Bildungsgesetz) der Folge
• 0, 0, . . .
• 2, 3, 5, 7, . . .
• 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, . . .
• 1, 1, 1, 3, −14, 15, 10093, 1/2, . . .
an.
Die Fragestellung scheint zu implizieren, dass es nur eine richtige Fortsetzung der jeweiligen Folge gibt, und zumindest für die ersten beiden Beispiele scheint die Lösung klar
zu sein!? Für die folgenden beiden Beispiele ist es schwierig oder gar unmöglich ein Bildungsgesetz zu finden!? Dabei ist die Lösung dieses Aufgabentyps einfach, allgemein und
universell anwendbar, denn die nächste Zahl ist nach dem klassischen Werk ,Mathematics
Made Difficult’ von Carl E. Linderholm immer 42!
Mit dem sogenannten Interpolationspolynom ist es sehr leicht ein gewünschtes
Bildungsgesetz zu konstruieren. Nehmen wir an, dass wir ein Bildungsgesetz
suchen, das die Anfangssequenz 0, 0 mit der Zahl 42 fortsetzt.
Polynomialer Ansatz: p(x) = λ0 + λ1 x + λ2 x2
Die Bedingungen: p(1) = 0, p(2) = 0 und p(3) = 42 ergeben drei lineare Gleichungen für die drei Unbekannten λ0 , λ1 und λ2 , die z.B. durch Elimination
bestimmt werden können.
Lösung: an = 42 − 63n + 21n2
6
2
Graphische Illustration
Um sich Zahlenfolgen besser vorstellen zu können, kann man die Punkte (n, an ) in einem
Koordinatensystem einzeichnen (das ist der Graph).
Einige Beispiele
1
2
3
4
5
6
7
8
9
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
n
7
3
Eigenschaften von Zahlenfolgen
3.1
Beschränktheit
Eine Zahlenfolge {an } heisst
• nach unten beschränkt, wenn es eine Konstante m gibt, so dass gilt
an ≥ m
für alle n = 1, 2, 3, . . .. Die Folge an = n ist nach unten beschränkt (z.B. mit m = 1).
Aufgabe 1 Finden Sie drei weitere nach unten beschränkte Folgen.
• nach oben beschränkt, wenn es eine Konstante M gibt, so dass gilt
an ≤ M
für alle n = 1, 2, 3, . . . Die Folge an = 1/n ist nach oben beschränkt (z.B. mit
M = 1).
Aufgabe 2 Finden Sie drei weitere nach oben beschränkte Folgen.
• beschränkt, wenn sie nach unten und nach oben beschränkt ist. Die Folge an = 1/n
ist beschränkt (z.B. mit m = 0 und M = 1).
Aufgabe 3 Finden Sie drei weitere beschränkte Folgen.
8
3.2
Monotonie
Eine Zahlenfolge {an } heisst
• monoton wachsend, falls gilt
an+1 ≥ an
für alle n = 1, 2, 3, . . . Die Folge an = n ist monoton wachsend, d.h. jedes Folgenglied
ist (strikt) grösser als sein Vorgänger.
Aufgabe 4 Finden Sie drei weitere monoton wachsende Folgen.
• monoton fallend, falls gilt
an+1 ≤ an
für alle n = 1, 2, 3, . . . Die Folge an = 1/n ist monoton fallend, d.h. jedes Folgenglied
ist (strikt) kleiner als sein Vorgänger.
Aufgabe 5 Finden Sie drei weitere monoton fallende Folgen.
9
3.3
Konvergenz und Divergenz, Grenzwerte und Nullfolgen
Seien a und ǫ reelle Zahlen mit ǫ > 0. Die ǫ-Umgebung Uǫ (a) von a war definiert als:
Uǫ (a) = {x ∈ R : |x − a| < ǫ} = (a − ǫ, a + ǫ) ,
{z
}
|
| {z }
Abstand
offenes Intervall
d.h. Uǫ (a) ist das offene Intervall mit den Grenzen a−ǫ und a+ǫ, oder anders ausgedrückt,
die Menge aller reellen Zahlen x, die von a einen Abstand kleiner als ǫ haben.
Aufgabe 6 Sei a = 2.37 und ǫ = 0.45. Lösen Sie die Ungleichung |x − 2.37| < 0.45.
Beschreiben Sie die 0.45-Umgebung von 2.37.
Nun führen wir den zentralen Begriff einer konvergenten Zahlenfolge ein. Die Definition
scheint zunächst etwas mysteriös.
Eine reelle Zahl a heisst Grenzwert der Zahlenfolge {an }, falls für jede reelle Zahl ǫ > 0
eine reelle Zahl N(ǫ) existiert, so dass
|an − a| < ǫ
für alle n > N(ǫ) gilt. Anders formuliert: Für jede Zahl ǫ > 0 gibt es eine Zahl N(ǫ), so
dass alle Glieder an mit n > N(ǫ) in der ǫ-Umgebung von a liegen.
Schreibweise: lim an = a
n→∞
Wir sagen dann, dass die Folge {an } konvergent ist. Existiert eine solche Zahl a nicht,
so nennen wir die Zahlenfolge divergent. Zahlenfolgen mit dem Grenzwert a = 0 heissen
Nullfolgen.
10
Beispiele:
1. Wir wollen zeigen, dass die Zahlenfolge {1/n} den Grenzwert a = 0 hat. Zunächst
gilt
|an − a| = |1/n − 0| = 1/n.
Sei nun ein beliebiges ǫ > 0 vorgegben. Wir müssen eine Vorschrift finden, die uns
zu jedem dieser ǫ > 0 eine reelle Zahl N(ǫ) liefert, so dass alle auf das Glied aa mit
n > N(ǫ) in der ǫ-Umgebung von 0 liegen. Wir versuchen, die Ungleichung 1/n < ǫ
nach n aufzulösen und diese Ungleichung gilt genau dann, wenn
n>
1
=: N(ǫ)
ǫ
gilt.
• ǫ = 1 ; N(ǫ) = 1 und es gilt 1/n < ǫ = 1 für alle n > N(ǫ) = 1 oder: ab dem
2-ten Folgenglied liegen alle Folgenglieder in der 1-Umgebung von 0.
• ǫ = 1/2 ; N(ǫ) = 2 und es gilt 1/n < ǫ = 1/2 für alle n > N(ǫ) = 2 oder: ab
dem 3-ten Folgenglied liegen alle Folgenglieder in der 1/2-Umgebung von 0.
n
= 1. Zunächst gilt
n→∞ n + 1
1 n
n
1
n
+
1
n + 1 − 1 = n + 1 − n + 1 = n + 1 = n + 1 .
n
} hat den Grenzwert a = 1, d.h. lim
2. Die Zahlenfolge { n+1
Sei nun ein beliebiges ǫ > 0 vorgegeben. Wir versuchen wieder, die Ungleichung
1
< ǫ nach n aufzulösen. Natürlich gilt diese Ungleichung genau dann, wenn
n+1
n>
1
− 1 =: N(ǫ)
ǫ
gilt.
3. Sei q eine reelle Zahl mit der Eigenschaft |q| < 1. Die Zahlenfolge {q n } ist eine
Nullfolge.
Beispiele:
• q=
• q=
• q=
1
2
1
3
− 21
1 1
,
,
,
.
.
.
21 41 81
; 3 , 9 , 27 , . . .
; − 12 , 14 , − 18 , . . .
;
1
4. Die Zahlenfolge {n} ist divergent.
11
Oft ist es nicht leicht, die Konvergenz oder Divergenz von Zahlenfolgen direkt nachzuweisen. Hifreich können die folgenden Sätze sein.
Satz 3.1 Seien {an } und {bn } zwei Zahlenfolgen mit lim an = a und lim bn = b. Dann
n→∞
n→∞
gilt
lim (an ± bn ) = a ± b
(1)
n→∞
lim (an · bn ) = a · b
an
a
lim
=
falls bn 6= 0 und b 6= 0.
n→∞ bn
b
n→∞
Beispiele:
n2 + 3n
=
n→∞ 2n2 − n + 1
lim
=
n2 · (1 + 3/n)
n→∞ n2 · (2 − 1/n + 1/n2 )
lim
1 + 3/n
n→∞ 2 − 1/n + 1/n2
lim
lim (1 + 3/n)
=
n→∞
lim (2 − 1/n + 1/n2 )
(Regel 2.3)
n→∞
1 + lim 3/n
=
n→∞
2 − lim 1/n + lim 1/n2
n→∞
=
1+0
2−0+0
=
1
.
2
Aufgabe 7
3n4 + 6n
=
n→∞ 2n2 − n + 1
lim
(Regel 2.1)
n→∞
{1/n}, {1/n2} sind Nullfolgen
(2)
(3)
12
5n2 + 3n
=
n→∞ 2n3 + 2n + 1
lim
13
Satz 3.2 Jede beschränkte monotone Zahlenfolge ist konvergent.
n
Beispiel: Man sieht leicht, dass die Zahlenfolge { n+1
} beschränkt und monoton wachsend
ist, denn einerseits
n
≤ 1 =: M
m := 0 ≤
n+1
und andererseits
an =
n+1
n
<
= an+1
n+1
n+2
für alle n = 1, 2, 3, . . .
Aufgabe 8 Überprüfen Sie diese drei Ungleichungen auf ihre Richtigkeit.
Satz 3.3 Jede konvergente Zahlenfolge ist beschränkt, oder anders ausgedrückt, jede nicht
beschränkte Zahlenfolge ist nicht konvergent (divergent).
Aufgabe 9 Ist jede beschränkte Zahlenfolge auch konvergent?
14
Die folgenden Grenzwerte sollte man kennen:
1
n
=
0
lim
1
n→∞ na
=
0
1
lim √
n→∞
n
=
0
lim q n
=
0 für |q| < 1
lim
n→∞
n→∞
für a > 0
15
4
Geometrische Folgen und Reihen
Seien a und q reelle Zahlen. Eine Zahlenfolge der Gestalt
a, aq, aq 2 , aq 3 , . . . , aq n , . . .
heisst geometrische Folge. Die rekursive Bildungsvorschrift einer geometrischen Folge ist
an = q · an−1 , a0 = a. Der Ausdruck
∞
X
s = a + aq + aq 2 + aq 3 + . . . + aq n + . . . =
k=0
a · qk
heisst unendliche geometrische Reihe mit den Parametern a und q. Für jede natürliche
Zahl n heisst die reelle Zahl
sn = a + aq + aq 2 + aq 3 + . . . + aq n−1 =
n−1
X
k=0
a · qk
die n-te Partialsumme der unendlichen geometrischen Reihe. Durch
{sn } = {|{z}
a , a + aq , a + aq + aq 2 , a + aq + aq 2 + aq 3 , . . .}
| {z } |
{z
} |
{z
}
s1
s2
s3
s4
ist damit eine neue Zahlenfolge definiert. Wir wollen nun die unendliche geometrische
Reihe mit den Parametern a und q als konvergent bezeichnen, wenn die zugehörige Folge
{sn } ihrer Partialsummen konvergiert.
Beispiel:
Die Folge
1 1 1
1, , , , . . .
2 4 8
ist eine geometrische Folge (a = 1 und q = 1/2) und
∞ k
X
1 1 1
1
1 + + + ... =
2 4 8
2
k=0
ist die unendliche geometrische Reihe mit den Parametern 1 und 1/2. wir können die
Folge der Partialsummen ablesen:
s1
=
1
s2
=
1+
s3
=
s4
=
···
3
1
= = 1.5
2
2
1 1
7
1 + + = = 1.75
2 4
4
15
1 1 1
= 1.875
1+ + + =
2 4 8
8
16
Aufgabe 10 Berechnen Sie noch weitere 2 Partialsummen und raten Sie die allgemeine
Gestalt der n-ten Partialsumme. Konvergiert die unendliche geometrische Reihe?
Satz 4.1 Für die n-te Partialsumme sn der unendlichen geometrische Reihe mit den
Parametern a und q 6= 1 gilt:
sn = a
1 − qn
.
1−q
Beweis: Zunächst gelten die beiden Identitäten
sn = a + aq + aq 2 + aq 3 + . . . + aq n−2 + aq n−1
qsn =
aq + aq 2 + aq 3 + . . . + aq n−2 + aq n−1 + aq n ,
und somit folgt
sn − qsn = sn · (1 − q)
= a + aq + aq 2 + aq 3 + . . . + aq n−2 + aq n−1
−aq − aq 2 − aq 3 − . . . − aq n−2 − aq n−1 − aq n
= a − aq n
= a · (1 − q n )
oder
sn = a
1 − qn
.
1−q
2
17
Frage: Für welche q konvergiert die Folge {sn } gegen einen Grenzwert s?
Fallunterscheidung:
• q > 1 : Hier ist die Folge {q n } unbeschränkt und positiv, also ist auch {sn } unbeschränkt, also divergent.
Pn−1
• q = 1 : Hier gilt sn = k=0
a = n · a, also ist {sn } divergent.
• |q| < 1 : Die Zahlenfolge {q n } ist eine Nullfolge und es gilt
s =
lim sn
n→∞
1 − qn
n→∞
1−q
1 − lim q n
n→∞
= a
1−q
1
= a
.
1−q
=
lim a
• q ≤ −1 : Hier ist die Folge {q n } alternierend negativ und positiv, dem Betrag nach
≥ 1 (d.h. es ist keine Nullfolge) und {sn } ist divergent.
Wir haben damit das folgende bewiesen:
Satz 4.2 Die unendliche geometrische Reihe
2
n
3
s = a + aq + aq + aq + . . . + aq + . . . =
∞
X
k=0
a · qk
mit den Parametern a und q konvergiert genau dann, wenn |q| < 1. Ihr Wert beträgt dann
s =
a
.
1−q
18
Aufgabe 11
k
∞ X
1
−
1.
=
2
k=0
2.
∞ k
X
1
k=0
3. sn =
2
n−1
X
k=0
4.
0.2 · 2k =
4 k
X
2
k=0
3
=
=
19
5
Die Eulersche Zahl
Wir betrachten die folgende (allgemeine) unendliche Reihe
1+
∞
X
1
1
1
1
1
+ + +···+
+··· =
.
1! 2! 3!
n!
k!
k=0
Dabei bezeichnet k! := 1 · 2 · . . . · k (mit 0! := 1) die so genannte Fakultät. Ist diese Reihe
konvergent? Sicher ist die Folge {sn } der Partialsummen monoton wachsend und nach
unten beschränkt (z.B. durch m = 1). Wir müssen also nur noch eine obere Schranke
finden. Es gilt
1
1!
=
1
1
1
= = 0
1
1
2
1
2!
=
1
1
1
= = 1
2
2
2
1
3!
=
1
1
1
<
= 2
2·3
2·2
2
1
1
1
=
<
= 3
2·3·4
2·2·2
2
···
1
1
1
1
=
<
= k−1 .
k!
2 · 3 · ...· k
2 · 2...· 2
2
1
4!
Somit gilt
∞
∞
X
X
1
1
= 1+
k!
k!
k=0
k=1
< 1+
= 1+
∞
X
k=1
∞
X
k=0
1
2k−1
1
2k
1
1 − 1/2
= 3 =: M.
= 1+
Wir haben gezeigt, dass {sn } monoton wachsend und beschränkt, also konvergent ist. Der
Grenzwert wird mit e bezeichnet und heisst Eulersche Zahl
∞
X
1
≈ 2.71828..
e :=
k!
k=0
20
Die Zahl e tritt auch als Grenzwert anderer Folgen auf. Es gelten die beiden wichtigen
Gleichungen:
n
1
lim 1 +
= e
n→∞
n
p n
= ep
lim 1 +
n→∞
n
Aufgabe 12 Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte.
n
3
lim 1 +
=
n→∞
5n
n+2
3
lim 1 −
=
n→∞
n
lim
n→∞
n+2
n−3
n
=
Inhaltsverzeichnis
1 Definitionen
2
2 Graphische Illustration
6
3 Eigenschaften von Zahlenfolgen
7
3.1
Beschränktheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
3.2
Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
3.3
Konvergenz und Divergenz, Grenzwerte und Nullfolgen . . . . . . . . . . .
9
4 Geometrische Folgen und Reihen
15
5 Die Eulersche Zahl
19