BRÜCHE & DEZIMALZAHLEN | Rechnen mit Brüchen Lösungscoach Brüche in Dezimalzahlen umwandeln Aufgabe Wandeln Sie in Dezimalzahlen um: a) 3 5 b) 3 8 Lösungscoach Es gibt für jede Zahl viele unterschiedliche Darstellungen, die sich für unterschiedliche Zwecke eignen. Brüche kann man zum Beispiel erweitern oder kürzen: 34 und 68 sind zwei Darstellungen derselben Zahl. Um zu entscheiden, welche von zwei Zahlen größer ist, eignet sich die Bruchschreibweise eher schlecht. Dazu ist es sinnvoll, die Zahlen zuerst als Dezimalzahlen zu schreiben denn dann kann man sie ziffernweise vergleichen. Es ist z. B. nicht auf den ersten 17 Blick offensichtlich, dass 45 < 20 ist, aber nach der Umformung 45 = 0,8 und 17 = 0,85 ist klar, 20 dass 0,8 < 0,85 ist. Im Folgenden wird erklärt, wie man im Allgemeinen auf Gleichungen wie 4 = 0,8 und 17 = 0,85 kommt. 5 20 Brüche lassen sich besonders einfach in Dezimalzahlen umformen, wenn der Nenner als erste Ziffer 1 und sonst nur Nullen hat, also 10 oder 100 oder 1000 und so weiter. Solche Zahlen 177 heißen Zehnerpotenzen. Nehmen wir als Beispiel 10000 . Um das in eine Dezimalzahl umzuschreiben, beginnen wir mit dem Zähler, also 177. Dann zählen wir ab, wie viele Nullen der Nenner hat: in diesem Fall sind es 5. Jetzt führen wir ein Komma ein und schieben es um 5 Stellen nach links: :10 :10 :10 :10 177 = 177,0 −→ 17,70 −→ 1,770 −→ 0,1770 −→ 0,01770 = 0,0177. 177 Als Ergebnis erhalten wir 10000 = 0,0177. Um andere Brüche in Dezimalzahlen umzuwandeln, muss man erst erweitern oder kürzen, um eine Zehnerpotenz als Nenner zu erhalten. a) Schritt 1: Nenner auf eine Zehnerpotenz erweitern Bei 3 5 ist der Nenner 5. Wir suchen die kleinste Zehnerpotenz, die durch 5 teilbar ist 10, 100, 1000,. . . © Touchdown Mathe Seite 1 sponsored by BRÜCHE & DEZIMALZAHLEN | Rechnen mit Brüchen Die erste Zehnerpotenz ist schon durch 5 teilbar, denn die letzte Ziffer ist 0.1 Also müssen wir 3 so erweitern, dass der Nenner 10 wird. Der zugehörige Erweiterungsfaktor ist 5 gewünschter Nenner : aktueller Nenner = 10 : 5 = 2. Somit ist 3 3·2 6 = = . 5 5·2 10 Schritt 2: Komma verschieben Jetzt müssen wir 106 in eine Dezimalzahl umwandeln. Dazu notieren wir den Zähler, also 6, und zählen die Nullen im Nenner. Der Nenner (10) hat nur eine Null. Also müssen wir ein Komma einführen und um eine Stelle nach links verschieben. Aus 6 wird dann 0,6. b) Schritt 1: Nenner auf eine Zehnerpotenz erweitern Bei 3 8 ist der Nenner 8. Wir suchen die kleinste Zehnerpotenz, die durch 8 teilbar ist 10, 100, 1000, 10 000,. . . 10 ist nicht durch 8 teilbar, 100 auch nicht (das erkennt man z. B. daran, dass bei der schriftlichen Division 100:8 der Rest 4 übrig bleibt). Es gilt aber 1000 : 8 = 125 - 8 20 - 16 40 - 40 0 Somit ist 1000 durch 8 teilbar. Das ist also die kleinste Zehnerpotenz, die durch 8 teilbar ist. Daher müssen wir faktor ist 3 8 so erweitern, dass der Nenner 1000 wird. Der zugehörige Erweiterungs- gewünschter Nenner : aktueller Nenner = 1000 : 8 = 125. 3 3 · 125 375 Somit ist = = (zur Berechnung von 3 · 125, siehe den Lösungscoach Multipli8 8 · 125 1000 kation von natürlichen Zahlen). 1 siehe Teilbarkeitsregeln © Touchdown Mathe Seite 2 sponsored by BRÜCHE & DEZIMALZAHLEN | Rechnen mit Brüchen Schritt 2: Komma verschieben 375 Jetzt müssen wir 1000 in eine Dezimalzahl umwandeln. Dazu notieren wir den Zähler, also 375, und zählen die Nullen im Nenner. Der Nenner (1000) hat drei Nullen. Also müssen wir ein Komma einführen und um drei Stellen nach links verschieben: :10 :10 :10 375 = 375,0 −→ 37,50 −→ 3,750 −→ 0,3750 = 0,375. Lösung: a) 3 = 0,6 5 b) 3 = 0,375 8 © Touchdown Mathe Seite 3 sponsored by