Brüche in Dezimalzahlen umwandeln Aufgabe Lösungscoach

BRÜCHE & DEZIMALZAHLEN | Rechnen mit Brüchen
Lösungscoach
Brüche in Dezimalzahlen umwandeln
Aufgabe
Wandeln Sie in Dezimalzahlen um:
a)
3
5
b)
3
8
Lösungscoach
Es gibt für jede Zahl viele unterschiedliche Darstellungen, die sich für unterschiedliche Zwecke
eignen. Brüche kann man zum Beispiel erweitern oder kürzen: 34 und 68 sind zwei Darstellungen derselben Zahl. Um zu entscheiden, welche von zwei Zahlen größer ist, eignet sich die
Bruchschreibweise eher schlecht. Dazu ist es sinnvoll, die Zahlen zuerst als Dezimalzahlen zu
schreiben denn dann kann man sie ziffernweise vergleichen. Es ist z. B. nicht auf den ersten
17
Blick offensichtlich, dass 45 < 20
ist, aber nach der Umformung 45 = 0,8 und 17
= 0,85 ist klar,
20
dass 0,8 < 0,85 ist. Im Folgenden wird erklärt, wie man im Allgemeinen auf Gleichungen wie
4
= 0,8 und 17
= 0,85 kommt.
5
20
Brüche lassen sich besonders einfach in Dezimalzahlen umformen, wenn der Nenner als erste
Ziffer 1 und sonst nur Nullen hat, also 10 oder 100 oder 1000 und so weiter. Solche Zahlen
177
heißen Zehnerpotenzen. Nehmen wir als Beispiel 10000
. Um das in eine Dezimalzahl umzuschreiben, beginnen wir mit dem Zähler, also 177. Dann zählen wir ab, wie viele Nullen der
Nenner hat: in diesem Fall sind es 5. Jetzt führen wir ein Komma ein und schieben es um 5
Stellen nach links:
:10
:10
:10
:10
177 = 177,0 −→ 17,70 −→ 1,770 −→ 0,1770 −→ 0,01770 = 0,0177.
177
Als Ergebnis erhalten wir 10000
= 0,0177. Um andere Brüche in Dezimalzahlen umzuwandeln,
muss man erst erweitern oder kürzen, um eine Zehnerpotenz als Nenner zu erhalten.
a)
Schritt 1: Nenner auf eine Zehnerpotenz erweitern
Bei
3
5
ist der Nenner 5. Wir suchen die kleinste Zehnerpotenz, die durch 5 teilbar ist
10, 100, 1000,. . .
©
Touchdown Mathe
Seite 1
sponsored by
BRÜCHE & DEZIMALZAHLEN | Rechnen mit Brüchen
Die erste Zehnerpotenz ist schon durch 5 teilbar, denn die letzte Ziffer ist 0.1 Also müssen wir
3
so erweitern, dass der Nenner 10 wird. Der zugehörige Erweiterungsfaktor ist
5
gewünschter Nenner : aktueller Nenner = 10 : 5 = 2.
Somit ist
3
3·2
6
=
= .
5
5·2
10
Schritt 2: Komma verschieben
Jetzt müssen wir 106 in eine Dezimalzahl umwandeln. Dazu notieren wir den Zähler, also 6, und
zählen die Nullen im Nenner. Der Nenner (10) hat nur eine Null. Also müssen wir ein Komma
einführen und um eine Stelle nach links verschieben. Aus 6 wird dann 0,6.
b)
Schritt 1: Nenner auf eine Zehnerpotenz erweitern
Bei
3
8
ist der Nenner 8. Wir suchen die kleinste Zehnerpotenz, die durch 8 teilbar ist
10, 100, 1000, 10 000,. . .
10 ist nicht durch 8 teilbar, 100 auch nicht (das erkennt man z. B. daran, dass bei der
schriftlichen Division 100:8 der Rest 4 übrig bleibt). Es gilt aber
1000 : 8 = 125
- 8
20
- 16
40
- 40
0
Somit ist 1000 durch 8 teilbar. Das ist also die kleinste Zehnerpotenz, die durch 8 teilbar ist.
Daher müssen wir
faktor ist
3
8
so erweitern, dass der Nenner 1000 wird. Der zugehörige Erweiterungs-
gewünschter Nenner : aktueller Nenner = 1000 : 8 = 125.
3
3 · 125
375
Somit ist =
=
(zur Berechnung von 3 · 125, siehe den Lösungscoach Multipli8
8 · 125
1000
kation von natürlichen Zahlen).
1
siehe Teilbarkeitsregeln
©
Touchdown Mathe
Seite 2
sponsored by
BRÜCHE & DEZIMALZAHLEN | Rechnen mit Brüchen
Schritt 2: Komma verschieben
375
Jetzt müssen wir 1000
in eine Dezimalzahl umwandeln. Dazu notieren wir den Zähler, also 375,
und zählen die Nullen im Nenner. Der Nenner (1000) hat drei Nullen. Also müssen wir ein
Komma einführen und um drei Stellen nach links verschieben:
:10
:10
:10
375 = 375,0 −→ 37,50 −→ 3,750 −→ 0,3750 = 0,375.
Lösung:
a)
3
= 0,6
5
b)
3
= 0,375
8
©
Touchdown Mathe
Seite 3
sponsored by