Grundwissen 6

Grundwissen Mathematik
1
Bruchzahlen
1.1
Brüche
Jahrgangsstufe 6
Mit Hilfe von Brüchen lassen sich Bruchteile vom
Ganzen angeben.
Der Nenner gibt an, in wie viele gleich große Teile ein
Ganzes zerlegt wird.
Der Zähler gibt an, wie viele von diesen gleichen
Teilen man nimmt.
3
4
7
15
Die positiven und die negativen Bruchzahlen bilden mit
der Zahl Null die Menge Q der rationalen Zahlen.
−
5
6
1
3
-1
0
Jede ganze Zahl lässt sich als Bruchzahl schreiben
(Scheinbruch).
−2 = −
Brüche mit Nenner 100 werden häufig als Prozentsätze
geschrieben.
17
= 17%
100
Brüche, bei denen der Zähler größer als der Nenner ist
(unechte Brüche), lassen sich als gemischte Zahlen
schreiben.
7
3
=1
4
4
1.2
1
1
2
2
2
10
= − =…
1
5
Dezimalzahlen
Bei einer Dezimalzahl stehen auf der ersten Stelle nach
dem Komma die Zehntel, auf der zweiten die
Hundertstel, auf der dritten die Tausendstel ...
0,07402 =
Eine Dezimalzahl kann nach dem Komma eine sich
ständig wiederholende Ziffer oder Ziffernfolge
besitzen, die man Periode nennt.
2,6454545… = 2,645
Einen Bruch kann man als endliche Dezimalzahl
schreiben, wenn im Nenner des vollständig gekürzten
Bruches nur die Primfaktoren 2 und 5 vorkommen.
Brüche lassen sich mit Hilfe der Division in
Dezimalzahlen umwandeln.
1.3
1
1
2
3
=
7402
7
4
2
=
+
+
100000 100 1000 100000
1
= 1 : 8 = 0,125
8
1
1
= = 1 : 6 = 0,16666… = 0,16
2⋅3 6
Größenvergleich von Brüchen
Brüche vergleicht man, indem man sie entweder auf
gleichen Nenner oder gleichen Zähler bringt.
Von zwei Brüchen mit gleichen Nennern ist derjenige
kleiner, der den kleineren Zähler hat.
1.4
4 6
<
7 7
Kürzen und Erweitern
Kürzen bedeutet, Zähler und Nenner durch dieselbe
Zahl zu teilen.
Erweitern bedeutet, Zähler und Nenner mit derselben
Zahl zu multiplizieren.
20 20 : 4 5
=
=
36 4 36 : 4 9
2 7 2 ⋅ 7 14
=
=
3 3 ⋅ 7 21
Beim Erweitern und Kürzen ändert sich der Wert eines
Bruches nicht.
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Grundwissen Mathematik
1.5
Jahrgangsstufe 6
Addition und Subtraktion von Bruchzahlen
Gleichnamige Brüche werden addiert (subtrahiert),
indem man die Zähler addiert (subtrahiert) und den
Nenner beibehält.
2 3 2+3 5
+ =
=
7 7
7
7
2 3 2−3
1
− =
=−
7 7
7
7
Falls die Brüche keinen gemeinsamen Nenner haben,
müssen sie vorher durch Erweitern oder Kürzen
gleichnamig gemacht werden.
3 1 Erweitern 6 5 11
+
=
+
=
5 2
10 10 10
3 12 Kürzen des 11 6 17
1
1 +
=
+ =
=2
8 16 2. Bruchs 8 8 8
8
Dezimalzahlen werden addiert (subtrahiert) wie
natürliche Zahlen. Man schreibt sie so untereinander,
dass Komma unter Komma steht, und rechnet
stellenweise.
1.6
8,405
8,405
+ 12,0293
− 12,0293
20,4343
− 3,6243
Multiplikation und Division von Bruchzahlen
Brüche werden multipliziert, indem man Zähler mal
Zähler und Nenner mal Nenner rechnet.
Dezimalzahlen werden multipliziert, indem man erst
ohne Rücksicht auf die Kommas multipliziert und
dann im Ergebnis das Komma so setzt, dass dieses
genau so viele Nachkommastellen hat wie die
Faktoren zusammen.
2 9
2 ⋅ 9 Kürzen 3
⋅ =
=
3 10 3 ⋅10
5
2,1⋅ 0,47
84
147
0,987
Durch einen Bruch wird dividiert, indem man mit
dem Kehrbruch multipliziert.
2 9 2 10 20
:
= ⋅ =
3 10 3 9 27
Durch eine Dezimalzahl wird dividiert, indem man
im Divisor und Dividend das Komma so weit nach
rechts verschiebt, bis der Divisor eine ganze Zahl ist.
Beim Dividieren wird dann beim Überschreiten des
Kommas im Dividenden im Ergebnis das Komma
gesetzt.
18,473 : 2,03 = 1847,3 : 203 = 9,1
− 1827
203
− 203
0
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Grundwissen Mathematik
2
Prozent- und Schlussrechnung
2.1
Prozentrechnung
Die Prozentschreibweise % ist eine Abkürzung für den
1
Bruch
.
100
Der Grundwert (GW) steht für das Ganze, der
Prozentwert (PW) steht für den Anteil vom Ganzen
und der Prozentsatz (PS) steht für den Bruchteil, den
dieser Anteil vom Ganzen ausmacht.
Jahrgangsstufe 6
5% =
5
100
= 0, 05
24,4%= 24,5
= 0, 245
100
40%
kg = 0, 40 ⋅ 24kg = 9,60 kg
von 24
PS
GW
PW
Das Ganze
40%
2.2
Proportionalität
Direkte
Proportionalität:
Bei
Verdoppelung
(Verdreifachung, ...) der einen Größe verdoppelt
(verdreifacht, ...) sich auch die andere Größe.
Preis direkt proportional zur Menge:
Indirekte Proportionalität: Bei Verdoppelung
(Verdreifachung, ...) der einen Größe nimmt die
andere Größe auf die Hälfte (ein Drittel, ...) ab.
Anzahl der Arbeiter indirekt proportional zur
benötigten Arbeitszeit:
1 kg kostet 2,40 €
2 kg kosten 4,80 €
5 kg kosten 12,00 €
3 Maler brauchen 10 Stunden
6 Maler brauchen 5 Stunden
15 Maler brauchen 2 Stunden
2.3
Schlussrechnung
Die Schlussrechnung läuft nach folgendem Schema ab:
1. Schluss auf die Einheit
2. Schluss auf das Vielfache
3 Maler brauchen zum Streichen der Hauswand
10 Stunden. Wie lange brauchen dafür 5 Maler?
3 Maler
1 Maler
5 Maler
=
=
=
10 Stunden
30 Stunden
6 Stunden
(Einheit)
3 kg Äpfel kosten 3,60 €. Wie viel muss man für 5 kg
Äpfel bezahlen?
3 kg
1 kg
5 kg
=
=
=
3,60 €
1,20 €
6,00 €
(Einheit)
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Grundwissen Mathematik
3
Geometrie
3.1
Flächeninhalte
Dreiecksfläche =
Jahrgangsstufe 6
1
mal Grundseite mal Höhe
2
Die Höhe kann dabei auch außerhalb des Dreiecks
liegen.
h
h
g
g
A=
1
⋅g ⋅h
2
Den Flächeninhalt geradlinig begrenzter Figuren
kann man durch Zerlegen oder Ergänzen bestimmen.
(rechts: Bestimmung der Parallelogrammfläche
A = g · h)
3.2
Volumen
Die Größe des Raumes, den ein Körper einschließt,
nennt man Rauminhalt oder Volumen.
Der Rauminhalt wird durch Vergleich (bzw. Auffüllen)
mit Einheitswürfeln bestimmt.
Die Volumeneinheiten sind:
1 mm³ < 1 cm³ < 1 dm³ < 1 m³
Die Umrechnungszahl zwischen zwei benachbarten
Volumeneinheiten ist immer 1000.
Besondere Einheiten:
1 dm³ = 1 l (1 Liter)
1 cm³ = 1 ml (1 Milliliter)
100 l = 1 hl (1 Hektoliter)
3.3
17 cm 3 = 17000 mm 3
17 cm 3 =
17
dm 3 = 0,017 dm 3
1000
0,5 l = 0,5 dm 3 = 0,5 ⋅1000 cm 3 = 500 cm 3
Volumen von Quader und Würfel
Das Volumen des Quaders ist das Produkt aus Länge,
Breite und Höhe.
h
Quader
Das Volumen des Würfels ist die dritte Potenz seiner
Kantenlänge.
s
Würfel
b
l
VQ = l ⋅ b ⋅ h
s
s
VW = s 3
1,1 m
1,5 m
2m
V = 2 m ⋅1,5 m ⋅1,1 m = 3,3 m 3
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