1. Rationale Zahlen - Maria-Theresia
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Maria-Theresia-Gymnasium München Grundwissen Mathematik 6. Klasse 1. Rationale Zahlen Brüche Brüche haben die Form nz mit z∈ IN0 , n∈ IN . z heißt der Zähler, n der Nenner des Bruches. Unechte Brüche kann man in gemischte Zahlen umwandeln. Bruchzahlen: Zu jeder Bruchzahl gehören unendlich viele verschiedene Brüche. IB 0 = Menge der Bruchzahlen. Es gilt: IN0 ⊂ IB 0 Der Wert des Quotienten zweier natürlicher Zahlen a und b ist die Bruchzahl ba . Beispiele: 3 (echter Bruch: Zähler < Nenner) 5 7 5 (unechter Bruch: Zähler > Nenner) 1 9 (Stammbruch: Zähler = 1) 9 4 = 2 41 1 3 = 62 = 39 = ... 5 8 5:8 = Formänderung von Brüchen: a) Erweitern eines Bruches bedeutet: Zähler und Nenner werden mit derselben natürlichen Zahl multipliziert. b) Kürzen eines Bruches bedeutet: Zähler und Nenner werden durch einen gemeinsamen Teiler dividiert. Anordnung der Bruchzahlen: Von zwei Brüchen mit gleichem Nenner ist derjenige der kleinere, der den kleineren Zähler hat. Von zwei Brüchen mit gleichem Zähler ist derjenige der kleinere, der den größeren Nenner hat. Brüche mit verschiedenen Nennern bringt man vor dem Vergleichen auf den Hauptnenner (= kgV aller Nenner). Addieren und Subtrahieren: Brüche mit gleichem Nenner werden addiert (subtrahiert), indem man die Zähler addiert (subtrahiert) und den Nenner beibehält. Brüche mit verschiedenen Nennern erweitert man zuerst auf den Hauptnenner. 3 4 3 ⋅3 4 ⋅3 = 14 21 14:7 21:7 = 3 7 < 5 7 4 9 < 4 7 3 11 + 1 4 + 4 11 1 6 = = = = 2 3 7 , 11 3 12 9 12 7 13 2 + 12 = 3 − 13 = 4 ; 13 5 12 Multiplizieren: 3 12 ⋅ = 21⋅⋅33 = 21 ; 8 9 Brüche werden multipliziert, indem man zuerst = 10 21 2 31 ⋅ 4 21 = 73 ⋅ 92 = 21 soweit wie möglich kürzt, und dann Zähler mit 2 Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert. Gemischte Zahlen müssen vor dem Multiplizieren in unechte Brüche verwandelt werden. 3 3⋅7 : 6 = 14 = 21⋅⋅12 = 41 ⋅6 14 7 Dividieren: Durch einen Bruch wird dividiert, indem man mit dem Kehrbruch multipliziert. Bruchteil eines Bruches: „Bruchteil von…“ ist „Bruchteil mal…“ 1 2 5 von 38 kg = 32 ⋅ 38 kg = 1⋅3 5⋅ 4 kg = 3 20 kg Maria-Theresia-Gymnasium München Grundwissen Mathematik 3 5 6. Klasse 1 −1 1 −1 1 ; = = − ; åQ , − å Q , = Rationale Zahlen: −2 −2 4 6 2 2 2 Die Bruchzahlen und ihre Gegenzahlen bilden zusammen die Menge der rationalen Zahlen. Q = Menge der rationalen Zahlen Es gilt: Æ⊂ Q 3 3 3 ; = = Der Wert des Quotienten zweier ganzer Zahlen a − 5 5 5 und b ist die Bruchzahl ba ( b Der Betrag einer rationalen Zahl ist ihr Abstand von der Zahl 0. 3 3 4 1 7 , − 13 ; − 11 = − 11 − 13 = − 10 11 13 Rechnen mit rationalen Zahlen Für das Rechnen mit rationalen Zahlen gelten ( − 38 ) ⋅ ( − 12 ) = 21⋅⋅33 = 21 ; ( − 38 ) ⋅ 12 = − 21⋅⋅33 = − 21 ; die gleichen Regeln wie für das Rechnen mit 9 9 ganzen Zahlen 4 0,04 = 100 = Dezimalbrüche Zahlen wie 1,356 heißen Dezimalbrüche. Dabei bedeutet die 1. (2.,3.,...) Stelle hinter dem Komma Zehntel (Hundertstel, Tausendstel,....).Die Ziffern hinter dem Komma heißen Dezimalen. 1 25 ; 234 1,234= 1 1000 = 1 117 500 Runden auf: 3,4564 1 Dez. ≈3,5 Runden von Dezimalbrüchen: Ist die erste wegzulassende Ziffer 0, 1, 2, 3, 4, so 3,76 + 4,32 = 8,08 wird abgerundet, ist sie 5, 6, 7, 8, 9, so wird ( −3,76) + ( −4,32 ) = − 8,08; aufgerundet. Addieren und Subtrahieren von Dezimalbrüchen: Es werden die Stellen gleichen Wertes addiert (subtrahiert). Multiplikation und Division mit Stufenzahlen: Verschiebe des Kommas um so viele Stellen nach rechts (links), wie die Stufenzahl Nullen hat. Multiplikation von Dezimalbrüchen: Die Kommas bleiben beim Multiplizieren zunächst unberücksichtigt. Das Ergebnis erhält so viele Dezimalen, wie die Faktoren zusammen haben. Division durch eine natürliche Zahl: Vor dem Herabholen der 1. Ziffer hinter dem Komma wird im Ergebnis das Komma gesetzt. Division durch einen Dezimalbruch: Der Quotient zweier Zahlen ändert sich nicht, wenn man bei beiden Zahlen das Komma um gleich viele Stellen in gleicher Richtung verschiebt (=gleichsinnige Kommaverschiebung). Das Komma wird beim Dividend und Divisor so weit verschoben, bis der Dividend eine natürliche Zahl ist. 2 2 Dez. ≈3,46 3 Dez. ≈3,456 ( −3,76) − ( −4,32) = ( −3,76) + 4,32 = 4,32 − 3,76 = 0,56; 2,04 ⋅ 1000 = 2040 14,73 : 100 = 0,1473 1,86 ⋅ 0,54 930 744 1,0044 ⇒ (−1,86 ) ⋅ 0,54 = − 1,0044; (− 1,86 ) ⋅ (− 0,54 ) = 1,0044; 9,2 : 8 = 1,15 2,56 : 1,6 = 25,6: 16 = 1,6 Maria-Theresia-Gymnasium München Grundwissen Mathematik 13 20 5 9 6. Klasse = 0,65 = 0,555... = 0, 5 Umformen gewöhnlicher Brüche in Dezimalbrüche: z = z:n = ergibt einen n • endlichen Dezimalbruch, wenn der Nenner des vollständig gekürzten Bruchs nur die Primfaktoren 2 oder 5 enthält. unendlichen periodischen Dezimalbruch sonst. Die sich wiederholende Ziffernfolge heißt Periode 2. Prozentrechnung Prozent = Hundertstel 5 = 0,05 Bsp.: 5% = 100 25 = 0,25 1 20 25% = 100 Beispiele: 1 4 Eine Ware kostet 50,00 € und wird um 16% verteuert. 116% von 50,00€ = 116% ⋅ 50,00€ = 1,16 ⋅ 50,00€ = 58,00€; Eine Ware kostet 58,00 € und wird um 16% verbilligt. 84% von 58,00€ = 84% ⋅ 58,00€ = 0,84 ⋅ 58,00€ = 48,72€ ; Prozentsatz, Grundwert, Prozentwert: Anteile werden häufig in Prozent angegeben. p p% = 100 Es gilt: p% von G = P p% = Prozentsatz, G = Grundwert, P = Prozentwert Dem Grundwert werden immer 100% zugeordnet. Eine Ware wir von 50 € auf 58 € verteuert. 58€ − 50€ Prozentuale Erhöhung = ⋅ 100% = 16% 50€ Zinsrechnung: Zins Z = Leihgebühr in € Kapital K = ausgeliehener Geldbetrag Zinssatz p% = Leihgebühr in % p t Zinsformel: Z = 360 ⋅ 100 ⋅ K Ein Kapital von 15000 wird 60 Tage zu einem Zinssatz von 4,5% verzinst. 1 Zinsjahr = 360 Tage, 1 Zinsmonat = 30 Tage Zins Z= 60 ⋅ 4,5 ⋅ 15000 € = 112,5€; 360 ⋅ 100 3. Rauminhalte Volumeneinheiten: Hat ein Würfel die Kantenlänge l = 3 cm so ist sein Volumen Umrechnungen: mm3 → cm3 → dm3 → m3 Umrechnungszahl 1000 3 1mm 1mm 1cm 1cm3 = 1ml 1dm 3 1dm = 1l 1m 1m3 h = 1,5 cm 1000 mm3 = 1 cm3 1000 cm3 = 1 dm3 1000 dm3 = 1 m3 3,5 m3 = 3500 dm3 = 3500000 cm3 3 Maria-Theresia-Gymnasium München Grundwissen Mathematik 6. Klasse b = 2 cm Volumen des Quaders: Das Volumen eines Quaders der Länge l, der Breite b und der Höhe h beträgt: VQ = 3 cm · 2 cm · 1,5 cm = 9 cm3 s = 0,5 cm VQ = l ·b ·h VW = (0,5 cm)3 = 0,125 cm3 = 125 mm3 Volumen des Würfels: Das Volumen des Würfels der Kantenlänge s beträgt: VW = s 3 4. Der Winkel Dreht man eine Halbgerade um ihren Anfangspunkt S entgegen dem Uhrzeigersinn bis zur Halbgeraden h, so wird ein Gebiet überstrichen, das wir den Winkel zwischen g und h nennen. Bezeichnungen: (g, h) oder ASB Winkeleinheiten: 1° = 60´ (Winkelminuten) 1´ = 60 ´´ Winkelsekunden) Winkelarten: Gradzahl α = 0° Bezeichnung Nullwinkel 0°<α <90° spitzer Winkel α=90° rechter Winkel 90°<α <180° stumpfer Winkel α = 180° gestreckter Winkel 180°<α <360° α= 360° überstumpfer Winkel Vollwinkel 4 Maria-Theresia-Gymnasium München Grundwissen Mathematik 5. Zuordnungen Bei einer Zuordnung wird jeder Zahl (aus einer Menge von Zahlen) eine weitere Zahl zugeordnet. Beschreibungsmöglichkeiten: Tabelle, Graph, Vorschrift Direkte Proportionalität: Bei einer direkten Proportionalität wird dem doppelten, dreifachen,...Wert der einen Größe, das doppelte, dreifache,... der anderen Größe zugeordnet. Graph: Eine vom Nullpunkt ausgehende Halbgerade. Besondere Eigenschaft: Zusammengehörende Wertepaare sind quotientengleich. Der gemeinsame Quotientenwert y : x heißt Proportionalitätsfaktor. Indirekte Proportionalität: Bei einer indirekten Proportionalität wird dem doppelten, dreifachen, ... Wert der einen Größe die Hälfte, der dritte Teil,... der anderen Größe zugeordnet. Graph: Hyperbel Besondere Eigenschaft: Zusammengehörende Wertepaare sind produktgleich. 5 6. Klasse
