Grundwissen Mathe 6 - Digitale Schule Bayern

Grundwissen Mathematik
-5-
Otto-Hahn-Gymnasium Marktredwitz
Jahrgangsstufe 6
6.1
Bruchzahlen
6.1.1
Brüche
Mit Hilfe von Brüchen lassen sich Bruchteile vom Ganzen
angeben.
Der Nenner gibt an, in wie viele gleich große Teile ein
Ganzes zerlegt wird.
Der Zähler gibt an, wie viele von diesen gleichen Teilen
man nimmt.
3
4
7
15
Die positiven und die negativen Bruchzahlen bilden mit der
Zahl Null die Menge Q der rationalen Zahlen.
−
5
6
1
3
-1
0
−2 = −
Brüche mit Nenner 100 werden häufig als Prozentsätze
geschrieben.
17
= 17%
100
Brüche, bei denen der Zähler größer als der Nenner ist,
lassen sich als gemischte Zahlen schreiben.
7
3
=1
4
4
2
Dezimalbrüche
Bei einem Dezimalbruch stehen auf der ersten Stelle nach
dem Komma die Zehntel, auf der zweiten die
Hundertstel, auf der dritten die Tausendstel ...
0,07402 =
Ein Dezimalbruch kann nach dem Komma eine sich ständig
wiederholende Ziffer oder Ziffernfolge besitzen, die man
Periode nennt.
2,6454545K = 2,645
Einen Bruch kann man als endlichen Dezimalbruch
schreiben, wenn im Nenner des vollständig gekürzten
Bruches nur die Primfaktoren 2 und 5 vorkommen.
Brüche lassen sich mit Hilfe der Division in Dezimalzahlen
umwandeln.
6.1.3
1
1
2
2
10
= − =K
1
5
Jede ganze Zahl lässt sich als Bruchzahl schreiben.
6.1.2
1
1
2
3
=
7402
7
4
2
=
+
+
100000 100 1000 100000
1
= 1 : 8 = 0,125
8
1
1
= = 1 : 6 = 0,16666K = 0,16
2⋅3 6
Kürzen und Erweitern
Kürzen bedeutet, Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl zu
teilen.
Erweitern bedeutet, Zähler und Nenner mit derselben Zahl
zu multiplizieren.
Beim Erweitern und Kürzen ändert sich der Wert eines
Bruches nicht.
20 20 : 4 5
=
=
36 4 36 : 4 9
2 7 2 ⋅ 7 14
=
=
3 3 ⋅ 7 21
Zum Größenvergleich von Brüchen muss sie entweder auf
gleichen Nenner oder gleichen Zähler bringen.
Von zwei Brüchen mit gleichen Nennern ist derjenige
kleiner, der den kleineren Zähler hat.
4 6
<
7 7
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6.1.4
-6-
Otto-Hahn-Gymnasium Marktredwitz
Addition und Subtraktion von Bruchzahlen
Gleichnamige Brüche werden addiert (subtrahiert), indem
man die Zähler addiert (subtrahiert) und den Nenner
beibehält.
2 3 2+3 5
+ =
=
7 7
7
7
2 3 2−3
1
− =
=−
7 7
7
7
Falls die Brüche keinen gemeinsamen Nenner haben,
müssen sie vorher durch Erweitern oder Kürzen
gleichnamig gemacht werden.
3 1 Erweitern 6 5 11
+
=
+
=
5 2
10 10 10
3 12 Kürzen des 11 6 17
1
=
+ =
=2
1 +
8 16 2. Bruchs 8 8 8
8
Dezimalzahlen werden addiert (subtrahiert) wie
natürliche Zahlen. Man schreibt sie so untereinander, dass
Komma unter Komma steht, und rechnet stellenweise.
6.1.5
8,405
+ 12,0293
− 12,0293
20,4343
− 3,6243
Multiplikation und Division von Bruchzahlen
Brüche werden multipliziert, indem man Zähler mal
Zähler und Nenner mal Nenner rechnet.
Dezimalzahlen werden multipliziert, indem man erst ohne
Rücksicht auf die Kommata multipliziert und dann im
Ergebnis das Komma so setzt, dass dieses genau so viele
Nachkommastellen hat wie die Faktoren zusammen.
Durch einen Bruch wird dividiert, indem man mit dem
Kehrbruch multipliziert.
Durch eine Dezimalzahl wird dividiert, indem man im
Divisor und Dividend das Komma so weit nach rechts
verschiebt, bis der Divisor eine ganze Zahl ist. Beim
Dividieren wird dann beim Überschreiten des Kommas
im Dividenden im Ergebnis das Komma gesetzt.
6.1.6
8,405
2 9
2 ⋅ 9 Kürzen 3
⋅ =
=
3 10 3 ⋅10
5
2,1⋅ 0,47
84
147
0,987
2 9 2 10 20
:
= ⋅ =
3 10 3 9 27
18,473 : 2,03 = 1847,3 : 203 = 9,1
− 1827
203
− 203
0
Relative Häufigkeit
Die absolute Häufigkeit k eines bestimmten Ereignisses
gibt an, wie oft dieses Ereignis bei einem n Mal wiederholten Zufallsexperiment eingetreten ist.
In einer Klasse mit 32 Schülern gibt es in einer Matheschulaufgabe 4 Einser.
Für das Ereignis „Note 1“ gilt:
Die relative Häufigkeit gibt den Anteil des Ereignisses an
der Gesamtanzahl der Durchführungen an.
Absolute Häufigkeit: k = 4
k absolute Häufigkeit
Relative Häufigkeit: =
n
Gesamtzahl
Relative Häufigkeit:
k
4 1
=
= = 0,125 = 12,5%
n 32 8
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6.2
Geometrie
6.2.1
Flächeninhalte
Dreiecksfläche: A =
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1
⋅g ⋅h
2
h
Die Höhe kann dabei auch außerhalb des Dreiecks liegen.
h
g
g
Den Flächeninhalt geradlinig begrenzter Figuren kann
man durch Zerlegen oder Ergänzen bestimmen.
6.2.2
Volumen
Die Größe des Raumes, den ein Körper einschließt, nennt
man Rauminhalt oder Volumen.
Der Rauminhalt wird durch Vergleich (bzw. Auffüllen) mit
Einheitswürfeln bestimmt.
Die Volumeneinheiten sind:
1 mm³ < 1 cm³ < 1 dm³ < 1 m³
Die Umrechnungszahl zwischen
Volumeneinheiten ist immer 1000.
zwei
benachbarten
Besondere Einheiten:
1 dm³ = 1 l (1 Liter)
1 cm³ = 1 ml (1 Milliliter)
100 l = 1 hl (1 Hektoliter)
6.2.3
17 cm 3 = 17000 mm 3
17 cm 3 =
17
dm 3 = 0,017 dm 3
1000
0,5 l = 0,5 dm 3 = 0,5 ⋅1000 cm 3 = 500 cm 3
Volumen von Quader und Würfel
Das Volumen des Quaders ist das Produkt aus Länge,
Breite und Höhe.
h
Quader
Das Volumen des Würfels ist die dritte Potenz seiner
Kantenlänge.
s
Würfel
b
l
VQ = l ⋅ b ⋅ h
s
s
VW = s 3
1,1 m
1,5 m
2m
V = 2 m ⋅1,5 m ⋅1,1 m = 3,3 m 3
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6.3
Prozent- und Schlussrechnung
6.3.1
Prozentrechnung
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Der Begriff „Prozent“ ist nur eine andere Schreibweise für
Brüche mit dem Nenner 100.
17 % =
Jede Prozentaufgabe besteht aus drei Angaben. Der
Grundwert steht für das Ganze, der Prozentwert steht
für den Anteil vom Ganzen und der Prozentsatz steht für
den Bruchteil, den dieser Anteil vom Ganzen ausmacht.
Prozentsatz
17
= 0,17
100
125
125 % =
= 1,25
100
0,3 % = 0,003
40% von 24 kg = 9,60 kg
1
2
3
123
123
Grundwert
Prozentwert
Das Ganze
40%
6.3.2
Berechnungen mit Prozenten
Berechnung des Prozentwerts
0,175 ⋅ 120 kg = 21 kg
Berechnung des Prozentsatzes
21 kg
= 0,175 = 17,5%
120 kg
Berechnung des Grundwertes
21 kg : 0,175 = 120 kg
6.3.3
Proportionalität
Direkte
Proportionalität:
Bei
Verdoppelung
(Verdreifachung, ...) der einen Größe verdoppelt
(verdreifacht, ...) sich auch die andere Größe.
Preis direkt proportional zur Menge:
Indirekte
Proportionalität:
Bei
Verdoppelung
(Verdreifachung, ...) der einen Größe nimmt die andere
Größe auf die Hälfte (ein Drittel, ...) ab.
Anzahl der Arbeiter
benötigten Arbeitszeit:
1 kg
2 kg
5 kg
kostet
kosten
kosten
3 Maler
6 Maler
15 Maler
6.3.4
2,40 €
4,80 €
12,00 €
indirekt
proportional
zur
brauchen 10 Stunden
brauchen 5 Stunden
brauchen 2 Stunden
Schlussrechnung
Die Schlussrechnung läuft nach folgendem Schema ab:
1. Schluss auf die Einheit
2. Schluss auf das Vielfache
3 Maler brauchen zum Streichen der Hauswand
10 Stunden. Wie lange brauchen dafür 5 Maler?
3 Maler =
1 Maler =
5 Maler =
10 Stunden
30 Stunden
6 Stunden
(Einheit)
3 kg Äpfel kosten 3,60 €. Wie viel muss man für 5 kg
Äpfel bezahlen?
3 kg =
1 kg =
5 kg =
3,60 €
1,20 €
6,00 €
(Einheit)