¨Ubungen zur Linearen Algebra (Sek I) und Geometrie (L2/L5)

Übungen zur Linearen Algebra (Sek I) und Geometrie (L2/L5)
1. Gegeben die Punkte A := (1, 1, 5) , B := (5, 3, 2) , C := (7, 1, 1) , D := (2, 2, 6) des R3 .
Stellen Sie anhand einer Grund– und Aufrisszeichnung fest, ob sich die Geraden AB und
CD schneiden.
2. Zwei Ebenen seien im R3 durch jeweils drei Punkte festgelegt, nämlich
(0, 0, 0) , (5, 2, 0) , (4, 0, 4) bzw. (7, 0, 0) , (0, 5, 0) , (0, 0, 3) . Zeichnen Sie ihre Schnittgerade
in Grund– und Aufriss und bestimmen Sie (zeichnerisch!) die Länge jener Teilstrecke, auf
der alle drei Koordinaten ≥ 0 sind.
3. Lösen Sie eine der beiden Aufgaben 1. oder 2. mit Hilfe linearer Algebra!
Musterlösung (Heger) Aufgabe 3.1
Um zu bestimmen, ob zwei Geraden g, h einen Schnittpunkt haben, müssen wir zuerst aus
den Punkten A, B die Geradengleichung für g erstellen und dann mit C, D eine solche für h.
Da wir mit Vektoren arbeiten, können wir die Punkte auch als ihre Ortsvektoren auffassen,
dann gilt a ∈ R3 ist der zugehörige Ortsvektor zum Punkt A. Analog gilt das für alle anderen Punkte auch. Man beachte, dass eine Gerade im R3 durch mehrere Geradengleichungen
charakterisiert wird, aber jede Gerade wird durch zwei Punkte eindeutig beschrieben. Wir
brauchen dann also für jede Gerade einen Stützvektor und einen Richtungsvektor.
Man wähle am einfachsten a als Stützvektor und b − a als Richtungsvektor. Somit erhält
man als Gerade g (und analog mit c und d − c für h):
g : x = a + λ(b − a) λ ∈ R
h : x = c + µ(d − c) µ ∈ R
Wir können also nun die gegebenen a, b, c und d einsetzen, so dass wir folgende konkrete
Gleichungen erhalten:
   
 
   
 
7
2
7
1
5
1
h : x = 1 + µ ∗ (2 − 1) µ ∈ R
g : x = 1 + λ ∗ (3 − 1) λ ∈ R
1
6
1
5
2
5
Wir wollen jetzt prüfen, ob die zwei Geraden einen gemeinsamen Schnittpunkt haben.
Dafür such wir ein x ∈ g, h und ermitteln komponentenweise eine Gleichungssystem mit 2
Variablen und 3 Gleichungen:
1 + 4λ = 7 − 5µ
1 + 2λ = 1 + µ
5 − 3λ = 1 + 5µ
Damit liegt ein überstimmtes Gleichungssystem vor. Deshalb rechnen wir aus den ersten
zwei Gleichungen ein Ergebnis mittels dem Gaußverfahren und prüfen die Werte von λ
1
und µ in der dritten Gleichung. Addieren wir jetzt (I)+5(II) und erhalten folgendes Gleichungssystem
1 + 4λ = 7 − 5µ
6 + 14λ = 12
5 − 3λ = 1 + 5µ
Durch einfaches Ausrechnen und Einsetzen von λ in die erste Gleichung können wir auch
µ ermitteln:
6
7
3
λ =
7
5 − 3λ = 1 + 5µ
µ =
Daraus ergibt sich in der dritten Gleichung durch Einsetzen von λ und µ ein Widerspruch,
da 26
6= 37
. Also hat das Gleichungssystem keine Lösung, damit gilt L = {}. D.h. übersetzt
7
7
für unsere Geraden: Sie schneiden sich nicht. Damit können sie nur noch windschief oder
parallel liegen. Um hier noch den Unterschied feststellen zu können, prüfen wir, ob die
beiden Richtungsvektoren kollinear sind. Formulieren wir dies als: Finden sie ein eindeutiges
r ∈ R, so dass gilt:
   
−5
4



1
=
a∗ 2
5
−3
Stellen wir fix dieses kleine Gleichungssystem auf und lösen es:
4r = −5
2r = 1
−3r = 5
r = −
r =
1
2
r = −
5
4
5
3
Wir finden kein eindeutiges r, welches und das Gleichungssystem löst. Damit sind die
Vektoren nicht kollinear, wir können also bestätigen, dass die beiden Geraden g, h definitiv
windschief liegen.
Aufgabe 3.2 Um die Schnittgerade zweier Ebenen E1 und E2 zu bestimmen, benötigt
man die Ebenengleichungen in Parameterform oder in Koordinatenform. In diesem Falle
2
lässt sich die Aufgabe mit wenig Rechenarbeit schnell lösen, wenn die Koordinatenform
benutzen. Diese lautet für eine Ebene E : ax1 + bx2 + cx3 = d. Weiterhin wissen wir, dass
jede Ebene durch genau drei Punkte charakterisiert wird. Also stellen wir für unsere erste
Ebene E1 ein Gleichungssystem auf, indem wir die drei Punkte einsetzen:
0a + 0b + 0c = d
5a + 2b + 0c = d
4a + 0b + 4c = d
Durch schnelles Umformen erhalten wir nun folgendes System:
d = 0
5a = −2b
a = −c
Damit ist das Gleichungssystem unterbestimmt und eine Variable frei wählbar. Wir nehmen
b = 5. Damit ergibt sich a = −2 und c = 2. Somit erhalten wir die erste Ebenengleichung
von E1 mit −2x1 + 5x2 + 2x3 = 0. Man kann sich gerne vergewissern, dass diese Gleichung
stimmt, indem man drei Punkte nochmal einsetzt und nachrechnet. Analog verfahren wir
mit E2 und deren Punkten:
7a + 0b + 0c = d
0a + 5b + 0c = d
0a + 0b + 3c = d
Ebenfalls durch schnelles umformen erhalten wir:
d
7
d
b =
5
d
c =
3
a =
Auch hier haben wir ein unterbestimmtes Gleichungssystem. Diesmal wählen wir d =
3 ∗ 5 ∗ 7 = 105, damit wir ganze Zahlen für a, b, c erhalten. Somit folgt dann, dass a = 15,
b = 21 und c = 35 und schlussendlich E2 mit 15x1 + 21x2 + 35x3 = 105. Wenn wir die
Schnittgerade ermitteln wollen, müssen wir E1 = E2 setzen und das dementsprechende
Gleichungssystem aufstellen:
−2x1 + 5x2 + 2x3 = 0
15x1 + 21x2 + 35x3 = 105
3
Damit erhalten wir ein unterbestimmtes Gleichungssystem. D.h. wir dürfen eine Variable
frei wählen. Setze also x3 = α ∈ R und löse x1 ,x2 in Abhängikeit von α.
−2x1 + 5x2 = −2α
15x1 + 21x2 = 105 − 35α
x3 = α
Diese Gleichungssystem kann man jetzt weiter umformen, rechnet man 15*(I)+2*(II) und
erhält dann durch einsetzen von (II) in (I) folgende Lösungen:
133
175
−α∗
39
117
70
100
=
−α∗
39
117
= α
x1 =
x2
x3
Und somit kann man auch leicht die Gerade formulieren, die diese Lösungen beschreibt.
Diese Gerade ist dann auch die Schnittgerade der zwei Ebenen.
 133 
 175 
− 117
39
 + α ∗ − 100  α ∈ R
g : x =  70
39
117
0
1
Als letztes wollen wir noch die Länge jenes Stückchen auf der Geraden finden, auf der alle
Koordinaten ≥ 0 sind. Man betrachtet also:
175
133
−α∗
39
117
70
100
0 ≤
−α∗
39
117
0 ≤ α
0 ≤
75
19
21
α ≤
10
α ≥ 0
α ≤
21
≤ 75
erhalte ich Punkte mit nichtnegativen Koordinaten. Betrachte
D.h. für alle 0 ≤ α ≤ 10
19
nun die Randpunkte, für die dies Gerade noch gilt. Das wäre α1 = 0 und α2 = 21
. Man
10
überlege kurz und stelle fest, dass wenn man die Verbindung dieser Randpunkte betrachtet,
die auf jeden Fall auf unserer Geraden liegen. Wenn ich jetzt einfach den Abstand dieser
zwei Punkte berechne, dann habe ich die gewünschte Teilstrecke:
 175 
 21 
39
10

vα1 =  70
39
0
v α2 =  0 
21
10
4
Damit ist:
kdk = kvα1 − vα2 k
q
p
2
2
2
= (v11 − v21 ) + (v12 − v22 ) + (v13 − v23 ) = ( 175
−
39
21 2
)
10
70 2
+ ( 39
) + (− 21
)2 ≈ 3.65
10
4. Gegeben seien drei paarweise nicht parallele Ebenen Ei ⊂ R3 (Vereinbarung: Gleichheit zählt auch als Parallelität, es sind also auch keine zwei der Ebenen gleich.) Die drei
Schnittgeraden seien mit g1 , g2 , g3 bezeichnet. Begründen Sie: a) Die drei Schnittgeraden
können niemals windschief liegen. b) Wenn zwei von ihnen parallel sind, dann auch die
dritte. c) Wenn zwei von ihnen gleich sind, dann auch die dritte. d) Wenn sich zwei von
ihnen im Punkt P schneiden, dann schneiden sich auch je zwei andere im gleichen Punkt.
5. Zeichnen Sie ein reguläres Oktaeder in Kavalierprojektion und in Militärprojektion!
6. Eine Ebene sei im R3 durch die drei Punkte (0, 0, 0) , (5, 2, 0) , (4, 0, 4) festgelegt (vgl.
Aufgabe 2). Geben Sie sich einen Kreis auf dieser Ebene (Mittelpunkt und Radius beliebig)
vor und bestimmen Sie jene beiden Durchmesser des Kreises, deren Grundriss–Bilder die
maximale und die minimale Länge haben. Begründen Sie Ihre Konstruktion!
7. Ermitteln Sie die Lösungsmenge L ⊂ R3 des Gleichungssystems
−y + z = 3
x + y − 2z = −5
−x
+ z = 2
nach dem Gaussverfahren und interpretieren Sie Ihr Resultat geometrisch. Was ändert sich,
wenn Sie die Zahl 2 auf der rechten Seite der letzten Gleichung durch eine Zahl a 6= 2
ersetzen?
8. a, b, c, d, e, f seien reelle Zahlen. Begründen Sie, dass das Gleichungssystem
ax + by = e
cx + dy = f
genau dann ein eindeutig bestimmtes reelles Lösungspaar (x, y) besitzt, wenn ad−bc 6= 0 .
9. Für a) das regelmäßige Sechseck und b) das regelmäßige Fünfeck, beide in den Einheitskreis einbeschrieben, berechne man mit Hilfe von Trigonometrie die Längen aller Diagonalen.
10. Beweisen Sie: Es gibt Polynome Tn (x) ∈ R[x] vom Grad n , mit deren Hilfe man
cos nϕ berechnen kann als cos nϕ = Tn (cos ϕ) . Bestimmen Sie T2 , T3 , T4 .
Tipp: Induktion über n . Versuchen Sie, Tn+1 durch Tn und Tn−1 auszudrücken.
5
Musterlösung. Induktionsanfang ist cos 0ϕ = 1 , also T0 = 1 (konstantes Polynom vom
Grad 0 ) und cos 1 · ϕ = T1 (cos ϕ) , also T1 (x) = x (Polynom vom Grad 1 ) tut’s.
Nun sei die Behauptung bewiesen für alle cos mϕ , m ≤ n (Induktionsannahme).
Für den Induktionsschritt betrachte man die Gleichungen
cos(n + 1)ϕ
cos(n − 1)ϕ
Tn+1 (cos ϕ) + Tn−1 (cos ϕ)
Tn+1 (x)
=
=
=
=
cos nϕ cos ϕ − sin nϕ sin ϕ
cos nϕ cos ϕ + sin nϕ sin ϕ ,
also
2 Tn (cos ϕ) · cos ϕ ,
also ist
2 x Tn (x) − Tn−1 (x)
ein Polynom vom Grad n + 1 , denn nach Induktionsvoraussetzung kennen wir die Grade
von Tn und Tn−1 . Die letzte Gleichung liefert eine bequeme Rekursion:
T2 (x) = 2x2 − 1 ,
T3 (x) = 4x3 − 3x ,
T4 (x) = 8x4 − 8x2 + 1
Noch eine Musterlösung (Heger): Zur Lösung der Aufgabe verwenden wir folgende Hilfsmittel aus der Trigonometrie:
1. cos (α ± β) = cos α ∗ cos β ∓ sin α ∗ sin β
Cosinus-Additionstheorem
2. sin (α ± β) = sin α ∗ cos β ± cos α ∗ sin β
Sinus-Additionstheorem
3. sin2 ϕ + cos2 ϕ = 1
Trigonometrischer Pythagoras
Wichtig ist hierbei, dass die Additionstheoreme in beide Richtungen gelten und dass α,β
nicht zwingend verschieden sein müssen. Desweiteren kann man nach Bedarf auch die
Gleichungen umstellen, z.B. gilt nach (3) auch sin2 ϕ = 1 − cos2 ϕ. Berechnen wir aber nun
zuerst einmal T2 , T3 und T4 mit Hilfe der gegebenen Definition der Polynome Tn (cos ϕ) =
cos nϕ :
T2 (cos ϕ) = cos 2ϕ = cos (ϕ + ϕ) = cos ϕ ∗ cos ϕ − sin ϕ ∗ sin ϕ = cos2 ϕ − sin2 ϕ
= cos2 ϕ − (1 − cos2 ϕ) = 2 cos2 ϕ − 1
Wir sehen also, dass T2 (cos ϕ) = 2 cos2 ϕ − 1. Setzen wir cos ϕ = x, so erhalten wir
T2 (x) = x2 − 1, also ein Polynom mit Grad 2, d.h. T2 ∈ R[x]. Weiter gehts mit T3 (x):
T3 (cos ϕ) = cos 3ϕ = cos(2ϕ + ϕ) = cos 2ϕ ∗ cos ϕ − sin 2ϕ ∗ sin ϕ = cos 2ϕ ∗ cos ϕ −
sin (ϕ + ϕ) ∗ sin ϕ = cos 2ϕ ∗ cos ϕ − (sin ϕ ∗ cos ϕ + cos ϕ ∗ sin ϕ) ∗ sin ϕ = cos 2ϕ ∗ cos ϕ −
2 ∗ sin2 ϕ ∗ cos ϕ = cos 2ϕ ∗ cos ϕ − 2 ∗ (1 − cos2 ϕ) ∗ cos ϕ = cos 2ϕ ∗ cos ϕ − 2 cos ϕ + 2 cos3 ϕ
Wir wissen schon von T2 , dass cos 2ϕ = 2 cos2 ϕ − 1, also folgt weiter:
= (2 cos2 ϕ − 1) ∗ cosϕ − 2 cos ϕ + 2 cos3 ϕ = 2 cos3 ϕ − cosϕ − 2 cos ϕ + 2 cos3 ϕ =
4 cos3 ϕ − 3 cos ϕ
6
Setzen wir wieder cos ϕ = x, so erhalten wir T3 (x) = 4x3 − 3x, also ein Polynom mit Grad
3, d.h. T3 ∈ R[x]. Zuletzt noch T4 (x):
T4 (cos ϕ) = cos 4ϕ = cos (3ϕ + ϕ) = cos 3ϕ ∗ cos ϕ − sin 3ϕ ∗ sin ϕ = cos 3ϕ ∗ cos ϕ −
sin (2ϕ + ϕ) ∗ sin ϕ = cos 3ϕ ∗ cos ϕ − (sin 2ϕ ∗ cos ϕ + cos 2ϕ ∗ sin ϕ) ∗ sin ϕ = cos 3ϕ ∗
cos ϕ − sin 2ϕ ∗ cos ϕ ∗ sin ϕ − cos 2ϕ ∗ (1 − cos2 ϕ) = cos 3ϕ ∗ cos ϕ − sin 2ϕ ∗ cos ϕ ∗ sin ϕ +
cos 2ϕ ∗ cos2 ϕ − cos 2ϕ = cos 3ϕ ∗ cos ϕ + cos ϕ ∗ (cos 2ϕ ∗ cos ϕ − sin 2ϕ ∗ sin ϕ) − cos 2ϕ =
cos 3ϕ ∗ cos ϕ + cos ϕ ∗ cos (2ϕ + ϕ) − cos 2ϕ = 2 cos ϕ ∗ cos 3ϕ − cos 2ϕ
(*)Wir wissen ja schon, dass aus T2 und T3 , dass cos 2ϕ = 2 cos2 ϕ − 1 und cos 3ϕ = 4 cos3 ϕ − 3 cos ϕ, also
folgt auch hier:
= 2 cos ϕ ∗ (4 cos3 ϕ − 3 cos ϕ) − (2 cos2 ϕ − 1) = 8 cos4 ϕ − 8 cos2 ϕ + 1
Auch hier setzen wir mit cos ϕ = x ein Polynom mit Grad 4, nämlich T4 (x) = 8x4 −8x2 +1 ∈
R[x]. Wir wollen jetzt aber noch zeigen, dass jedes beliebige Tn den Grad n hat. Aus
(*) in der Berechnung von T4 können wir schnell sehen, dass folgende Beziehung gilt:
T4 (x) = 2xT3 (x) − T2 (x). Dies ist gilt im folgendenen auch für jedes beliebige n:
Wir setzen x = cos ϕ, damit wir die Definition unserer Polynome ausnutzen können.
Tn+2 (cos ϕ) = cos (n + 2)ϕ = cos ((n + 1)ϕ + ϕ) = cos (n + 1)ϕ ∗ cos ϕ − sin (n + 1)ϕ ∗
sin ϕ = cos (n + 1)ϕ ∗ cos ϕ − sin (nϕ + ϕ) ∗ sin ϕ = cos (n + 1)ϕ ∗ cos ϕ − (sin nϕ ∗ cos ϕ +
cos nϕ ∗ sin ϕ) ∗ sin ϕ = cos (n + 1)ϕ ∗ cos ϕ − sin nϕ ∗ cos ϕ ∗ sin ϕ − cos nϕ ∗ (1 − cos2 ϕ) =
cos (n + 1)ϕ ∗ cos ϕ − sin nϕ ∗ cos ϕ ∗ sin ϕ + cos nϕ ∗ cos2 ϕ − cos nϕ = cos (n + 1)ϕ ∗ cos ϕ +
cos ϕ ∗ (cos nϕ ∗ cos ϕ − sin nϕ ∗ sin ϕ) − cos nϕ = cos (n + 1)ϕ ∗ cos ϕ + cos ϕ ∗ cos (nϕ + ϕ) −
cos n)ϕ = 2 cos ϕ ∗ cos (n + 1)ϕ − cos nϕ = 2 ∗ cos ϕ ∗ Tn+1 (cos ϕ) − Tn (cos ϕ)
Setzen wir cos ϕ = x, so erhalten wir, dass Tn+2 (x) = 2xTn+1 (x) − Tn (x)
Wir wissen nun, dass also durch Indexverschiebung, dass Tn (x) = 2xTn−1 (x)−Tn−2 (x) gilt.
Induktiv lässt schnell folgendes einsehen. Für n=4, hat offensichtlich T4 den Grad 4, T3
den Grad 3 und T2 den Grad 2. Damit wäre die Induktionsverankerung gezeigt. Im Schritt
von n → n + 1 können wir verwenden, dass Tn den Grad n hat und Tn−1 den Grad n − 1
besitzt. Wenn wir also Tn mit 2x multiplizieren, erhalten wir ein Polynom mit Grad n + 1,
selbst wenn wir davon Tn−1 mit Grad n − 1 abziehen. Damit folgt dass auch Tn+1 Grad
n + 1 hat für jedes beliebige n ∈ N. Induktiv wäre hiermit gezeigt, dass Tn (x) ein Polynom
n-ten Gerades ist.
11. Beweisen Sie mit Hilfe von Vektorrechnung: Wenn sich die Diagonalen eines ebenen
Vierecks gegenseitig halbieren, handelt es sich um ein Parallelogramm.
7
12. Man zeige mit Hilfe von Vektoren: Die vier Diagonalen eines räumlichen Parallelotops
schneiden sich in einem Punkt.
13. Gegeben ein Dreieck auf der Kugeloberfläche. Definieren Sie, was eine Mittelsenkrechte sein soll und überlegen Sie sich, ob sich die drei Mittelsenkrechten in einem (oder in
zwei?) Punkten schneiden, der ebenso wie in der euklidischen Ebene als Mittelpunkt eines
Umkreises dient.
Musterlösung. Sei eine sphärische Gerade AB gegeben, die zwischen den Punkten A und
B eine der Dreiecksstrecken definiert, P sei einer der Pole der Gerade AB . Das Lot auf der
Strecke ist dann jener Großkreis auf der Kugel, der durch den Mittelpunkt M der Strecke
und den Pol P verläuft. Wie alle spärischen Geraden ist auch dieses Lot der Schnitt einer
Ebene E durch den Kugelmittelpunkt O . Genau wie in der euklidischen Ebene hat jeder
Punkt Q dieses Lots — und nur die Punkte dieses Lots! — von A und B den gleichen
Abstand, wie man z.B. daran erkennt, dass eine Spiegelung an E die Punkte A und B
vertauscht, den Punkt Q fest lässt und natürlich die Sphäre in sich überführt.
Nun betrachtet man zwei der drei Lote auf den Dreieckseiten. Deren Schnittpunkt hat von
allen drei Eckpunkten die gleiche Entfernung, liegt also auch auf dem dritten Lot, genau
wie in der euklidischen Ebene. Die Sache mit dem Umkreis stimmt ebenso, wenn man Kreis
wie im euklidischen als Punktmenge gleichen Abstands von einem Mittelpunkt definiert.
Neu ist allerdings, dass — wie immer auf der Sphäre — zwei Geraden nicht einen, sondern zwei (Antipoden–) Schnittpunkte haben; ein Dreieck hat also strenggenommen zwei
Mittelpunkte.
14. Berechnen Sie die (kürzeste) Flug–Entfernung von Frankfurt nach Tokyo. Frankfurt
liegt (so ungefähr) auf 50o nördlicher Breite und 9o östlicher Länge, Tokyo auf 36o n.B.
und 140o ö.L., für den Erdradius dürfen Sie 6370 km annehmen.
Musterlösung. In Gedanken verkleinert man die (idealisierte) Erdkugel zunächst auf die
Einheitssphäre (d.h. die von Radius 1 ); dort definieren Frankfurt, Tokyo und der Nordpol
die Punkte F, T, N . Man betrachtet das Dreieck mit diesen drei Eckpunkten. Die Seitenlängen b = F N = 90o − 50o = 40o und a = T N = 90o − 36o = 54o sind — wie immer
auf der Sphäre — als Winkel gegeben (gemessen auf den Meridianen, man bedenke, dass
der Nordpol 90o nördliche Breite besitzt) und können an den geographischen Daten abgelesen werden. Der Winkel γ des Dreiecks am Nordpol ist die Differenz der Längengerade,
also 131o . Die Seitenlänge c des Dreiecks, also die Entfernung zwischen F und T , erfüllt
nach dem 1. Cosinussatz demnach
cos c = cos a cos b + sin a sin b cos γ = 0, 588 · 0, 766 + 0.809 · 0, 643 · (−0, 656) = 0.109 ,
was auf (etwa) c = arc cos 0.109 = 84o führt. Da wir bis jetzt im Gradmaß gerechnet
2π
haben, müssen wir für die wahre km–Entfernung mit 360
· 6370 multiplizieren; Resultat ist
etwa 9310 km.
8
15. Fortsetzung: In welchem Winkel zum Nordpol müssen Sie starten, wenn Sie die kürzeste
Flugroute nach Tokyo einschlagen? Wie weit nördlich werden Sie auf dieser Route kommen?
Musterlösung. Gefragt ist zunächst nach dem Winkel α am Punkt F des oben genannten Dreiecks; der ergibt sich sehr bequem aus dem sphärischen Sinussatz, diesmal unter
Verwendung des Arcus Sinus.
sin α =
0, 755 · 0, 809
sin γ sin a
=
= 0, 614 ,
sin c
0, 995
α = 38o
Um die nördlichste Breite auf der Flugroute zu bestimmen, verkleinern wir das Dreieck
F T N zu einem Dreieck F BN , in dem der Punkt B auf der Flugroute F T liegt, aber nun
die Seite N B senkrecht auf F T steht (Höhenlinie im bisherigen Dreieck), wir behalten also
α und b bei, setzen β = 90o und bestimmen die Länge h der Seite N B wieder nach dem
Sinussatz:
sin b
= 0, 614 · 0, 643 = 0, 395 ,
h = 23o
sin h = sin α ·
o
sin 90
Die Flugroute erreicht also etwa 67o nördlicher Breite, berührt also etwa den Polarkreis.
Die wahren Flugrouten folgen allerdings nicht so genau den sphärischen Geraden, und die
Erdoberfläche ist auch keine genaue Kugeloberfläche; esl lohnt also nicht, bis zur 5. Stelle
hinter dem Komma zu rechnen.
16. Beweisen Sie mit Hilfe Ihrer Kenntnisse über das Gaußverfahren, dass je vier Vektoren
a1 , a2 , a3 , a4 ∈ R3 stets linear abhängig sind.
Tipp: Natürlich sollten Sie das Problem ,,linear abhängig oder nicht” erstmal in ein Problem
über ein (homogenes) lineares Gleichungssystem — nämlich aus drei Gleichungen mit vier
Unbekannten — umformulieren.
17. Gegeben ein Dreieck mit Eckpunkten A, B, C und ein beliebiger Punkt S im Innern
des Dreiecks. Die Gerade AS schneide die Gerade BC im Punkt U , und analog seien
V := BS ∩ AC , W := CS ∩ AB (machen Sie sich eine Zeichnung!). Identifizieren wir die
Punkte wie üblich mit Vektoren, dann gibt es drei Zahlen 0 < u, v, w < 1 , so dass
W − A = w(B − A) ,
U − B = u(C − B) ,
V − C = v(A − C)
ist. Beweisen Sie, dass das Produkt der drei Teilungsverhältnisse
w
u
v
·
·
= 1
1−w 1−u 1−v
erfüllt.
18. Führen Sie den Beweis aus, dass die Differenz der Abstände der Hyperbelpunkte zu
ihren Brennpunkten konstant ist.
9
19. Seien a und b positive reelle Zahlen. Durchläuft ϕ alle reellen Zahlen (im zweiten Fall
ohne die ganzzahligen Vielfachen von π ), dann durchlaufen die Punkte
( a cos ϕ , b sin ϕ )
bzw.
(
1
a cos ϕ
,
)
b sin ϕ b sin ϕ
Kurven im R2 . Welche? Und warum?
20. Beschreiben Sie die Spiegelung des R3 an der Ebene x1 + x2 − x3 = 0 durch eine
Matrix.
21. Beweisen Sie: R[x] , also die Polynome mit reellen Koeffizienten, bilden einen Vektorraum unendlicher Dimension. Die Abbildung p(x) 7→ p′ (x) (Differentiation) des Vektorraums in sich ist linear und surjektiv. Bestimmen Sie den Kern dieser Abbildung!
Musterlösung (darf in Aufg. 26 recycelt werden!)
Polynome kann man addieren und mit reellen Zahlen multiplizieren, also hat man die
nötigen Operationen für einen Vektorraum zur Verfügung. Dass die Vektorraumaxiome
erfüllt sind, ist so trivial, dass hier nur als Beispiel die Kommutativität der Addition
genannt sei: Für je zwei Polynome p(x) und q(x) ist — weil die Addition punktweise
definiert ist und das Kommutativgesetz für die reellen Zahlen gilt —
p(x) + q(x) = q(x) + p(x) .
Die Polynome 1 (konstantes Polynom), x , x2 , x3 , x4 , . . . sind linear unabhängig, denn
das Polynom a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + . . . (endliche Summe mit Koeffizienten ai ∈ R ) ist
nur dann das Nullpolynom (= Nullvektor des Vektorraums), wenn alle ai = 0 sind, also
gibt es unendlich viele linear unabhängige Elemente. Wäre die Dimension endlich, gäbe
es höchstens so viele linear unabhängige Vektoren wie die Dimension angibt, also ist die
Dimension unendlich.
Die Differentiation ist in der Tat linear, denn für alle Polynome p , q und alle reellen
Faktoren r ist
(p(x) + q(x))′ = p(x)′ + q(x)′
und
(rp(x))′ = r · p(x)′ ,
wie wir aus der Analysis wissen. Die Differentiation ist in der Tat surjektiv, denn jedes
Polynom hat eine Stammfunktion, die selbst ein Polynom ist. Der Kern besteht aus allen
Polynomen, die beim Differenzieren zu 0 werden, und das sind bekanntlich die konstanten
Polynome.
22. Stellen Sie eine Gleichung auf, deren Lösungen im R3 die Form eines Parabolspiegels
beschreiben, also eines Rotationsparaboloids, das rotationssymmetrisch zu einer Achse ist
und dessen Schnitt mit einer Ebene, welche diese Achse enthält, eine Parabel beschreibt.
23. Man beweise: Tangenten an eine Hyperbel haben außer ihrem Berührpunkt keinen
weiteren Schnittpunkt mit der Hyperbel, auch nicht mit ihrem anderen Ast.
10
24. Beweisen Sie jene Variante des Satzes des Desargues, in der die beiden Dreiecke
ABC und A′ B ′ C ′ zwar in perspektiver Lage liegen, aber die Parallelitäten AB||A′ B ′
und BC||B ′ C ′ gelten.
Tipp: Sie dürfen Vektorrechnung benutzen oder auch Ihre Kenntnisse aus der Abbildungsgeometrie - oder auch, was Sie in der darstellenden Geometrie gelernt haben.
25. Sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum, f : V → V eine lineare Abbildung von
V in sich selbst. Man zeige: f ist injektiv genau dann, wenn f surjektiv ist.
26. Fortsetzung der sehr unbeliebten Aufgabe 21 : Jetzt bestehe V aus allen Polynomen
vom Grad < 5 . Geben Sie eine kurze Begründung dafür, dass auch V ein Vektorraum ist
und die Differentiation p 7→ p′ eine lineare Abbildung D von V in sich. Bestimmen Sie
dim V , Kern D , Rang D .
27. Beweisen Sie: Eine (endliche) affine Ebene der Ordnung n besitzt genau n2 + n verschiedene Geraden.
Tipp: Denken Sie daran, dass sich die Menge aller Geraden in Parallelenscharen zerlegen
lässt. Wieviele Geraden enthält jede Parallelenschar? Und wie groß ist die Anzahl aller
Parallelenscharen? Wählen Sie sich einen festen Punkt P und bedenken Sie, dass jede Parallelenschar genau einen Repräsentanten h besitzt, der durch P verläuft; man muss also
die Geraden durch P zählen. Dazu wählen Sie sich eine Gerade g, welche P nicht enthält,
und betrachten die möglichen Schnitte g ∩ h . Wieviele h gibt es also?
28. Ein eher kombinatorisches als geometrisches Problem: Warum gelingt es nicht, ein
faires Skatturnier für 8 Spieler zu organisieren, in dem je zwei Spieler in genau einer Runde
aufeinandertreffen? Können Sie Ihr Argument auch für Turniere mit 6 oder 7 Spielern
anwenden?
Tipp: Überlegen Sie sich, wieviele Runden jeder Spieler spielen müsste.
29. Welchen Winkel schließen je zwei Diagonalen eines Würfels ein?
Tipp: Sie können zum einen jene Figur betrachten, welche eine Ebene aus dem Würfel
ausschneidet, die zwei Diagonalen enthält, und in dieser Figur Seitenlängen bestimmen
und ebene Trigonometrie anwenden. Zum anderen können Sie Ihre neuen Kenntnisse über
das Skalarprodukt anwenden, am besten dazu den Würfel geschickt in den R3 platzieren
— etwa mit Mittelpunkt 0 und Koordinaten der 8 Eckpunkte alle = ±1 .
30. Beweisen Sie mit Hilfe Ihrer Kenntnisse über das Skalarprodukt, dass für je drei Punkte
P, Q, R des R2 oder des R3 die Streckenlängen immer die Dreiecksungleichung |P R| ≤
|P Q| + |QR| erfüllen.
31. Beweisen Sie, dass eine projektive Ebene der Ordnung n insgesamt n2 + n + 1 Punkte
besitzt und ebensoviele Geraden.
11
Tipp: Sie dürfen von Ihren Kenntnissen über affine Ebenen der Ordnung n ausgehen und
sich überlegen, was alles hinzukommt. Für die Anzahl der Geraden dürfen Sie das Dualitätsprinzip einsetzen oder Aufgabe 27 benutzen.
32. Was für einen Satz erhalten Sie, wenn Sie auf den (natürlich projektiven) Satz des
Desargues das Dualitätsprinzip anwenden?
33. Beweisen Sie den Höhensatz über rechtwinklige Dreiecke mit Hilfe von Vektoren und
Skalarprodukt!
Tipp: Legen Sie den Nullpunkt in den Fußpunkt der Höhe, dann wird es bequem.
34. Die Punkte ±(1, 0, 0) , ±(0, 1, 0) , ±(0, 0, 1) ∈ R3 bilden die Ecken eines regulären
Oktaeders. Wie weit sind seine Randflächen vom Nullpunkt entfernt?
Tipp: Aus Symmetriegründen genügt es, einen dieser acht Abstände auszurechnen. Stellen
Sie für die Randfläche eine Gleichung auf. Hessesche Normalform!
35. Das Kartenspiel Doppelkopf wird in Runden zu je 4 Spielern gespielt. Können Sie ein
Turnier für 13 Spieler so organisieren, dass je zwei Spieler in genau einer Runde aufeinandertreffen? Hinweis: Es werden dann insgesamt 13 Runden gespielt.
36. Die Punktmenge K ⊂ R3 sei durch die Gleichung x21 + x22 = x23 definiert (kennen
wir schon). Zeigen Sie: Für die Äquivalenzrelation x ∼ y , die man zur Definition der
projektiven Ebene P2 (R) verwendet, gilt: wenn x ∈ K und y ∼ x , dann auch y ∈ K .
Also ist
Q := { [x] ∈ P2 (R) | x ∈ K }
eine wohldefinierte Untermenge der projektiven Ebene. Was für eine affine Kurve erhalten
Sie, wenn Sie die projektiven Ebene einschränken auf den affinen Teil, der durch x3 = 1
gegeben ist? Und was, wenn der affine Teil durch x2 = 1 gegeben ist? Oder durch
x3 − x2 = 1 ?
37. Wie groß ist die Symmetriegruppe des Würfels? Ist sie kommutativ?
38. Nummerieren Sie die vier Eckpunkte des regulären Tetraeders und begründen Sie,
dass man jeder Symmetriebewegung des Tetraeders eine Permutation aus der Permutationsgruppe S4 zuordnen kann. Ist diese Zuordnung bijektiv?
39. Man beweise: Eine Zentralprojektion einer Geraden auf eine andere Gerade ist durch
die Bilder von drei Punkten bereits eindeutig bestimmt.
12
40. Ein Rechenpäckchen zum Rechnen in symmetrischen Gruppen Sn . Berechnen Sie die
folgenden Produkte von Permutationen:
(23)(34)(46)(16) ,
(16)(46)(34)(23) ,
(16432)(12346) ,
(134)3 ,
(15267)5 ,
(192837465)9 ,
(56)(15267)(56) ,
(145)(192837465)(154) ,
(16432)(192837465)(12346) .
Versuchen Sie Regeln zu formulieren, die Sie daraus gelernt haben!
41. Legen Sie den Mittelpunkt eines gleichseitigen Dreiecks in den Nullpunkt des R2 und
beschreiben Sie alle sechs Symmetrien des Dreiecks durch Matrizen!
42. Matrixmultiplikation von 2 × 2–Matrizen: Zeigen Sie, dass AB = BA immer stimmt,
wenn A und B Drehungen beschreiben, aber fast nie, wenn A und B Spiegelungen darstellen. Ausnahme?
Zum Beweis müssen Sie keine Riesenrechnungen anstellen, Sie dürfen geometrisch argumentieren.
13
Musterlösungen zur Probeklausur
1. Gegeben ein ebenes Dreieck mit den Seitenlängen a = 4 , b = 5 , c = 6 . Berechnen Sie
alle Winkel und die Längen aller Höhenlinien.
α = 41, 41o , β = 55, 77o , γ = 82, 82o , ha = 4, 96 , hb = 3, 97 , hc = 3, 31
2. Welchen Abstand hat die Ebene, die im R3 durch die Gleichung x−2y +2z = 9 gegeben
ist, a) vom Nullpunkt und b) vom Punkt (3, 3, 3) ?
a) 3
b) 2
3. Von den hier aufgelisteten 9 Aussagen sind genau 5 richtig, 4 falsch. Kreuzen Sie die 5
richtigen an! (Volltreffer: 20 Punkte, 4 richtige: 12 Punkte, 3 richtige: 4 Punkte)
Längenverhältnisse auf einer Geraden bleiben bei Parallelprojektion erhalten
X
Der Flächeninhalt eines sphärischen Dreiecks hängt von der Winkelsumme ab
X
cos 4α lässt sich als Polynom in cos α schreiben
X
Jedes lineare Gleichungssystem in drei Unbekannten besitzt eine Lösung
Der R3 besitzt eine Basis aus vier Vektoren
Parabeln besitzen zwei Brennpunkte
2
2
2
Der Rang einer linearen Abbildung ist die Dimension ihres Kerns
Jede affine Ebene kann man zu einer projektiven Ebene erweitern
Die Symmetriegruppe eines regelmäßigen Sechsecks besteht aus 12 Bewegungen
2
X
X
4. Ein sphärisches Dreieck besitze den Winkel α = π/2 und die Seitenlänge b = π/2 (im
Bogenmaß natürlich, Anordnung wie üblich). Beweisen Sie, dass dann auch β = π/2 = a
ist.
Beweis. Nach dem 1. sphärischen Cosinussatz ist cos a = cos b cos c + sin b sin c cos α =
0 + 0 = 0 , also a = π/2 . Ganz analog folgt dann cos β = 0 aus dem 2. Cosinussatz oder
sin β = 1 (also β = π/2 ) aus dem sphärischen Sinussatz.
5. Sei f : V → W eine lineare Abbildung von Vektorräumen. Man zeige: Wenn
Kern f = {0} , dann ist f injektiv.
Beweis. Wenn für irgendwelche v, u ∈ V gilt f (v) = f (u) , dann ist f (v − u) = 0
(Linearität), also v − u ∈ Kern f ⇒ v − u = 0 , also v = u ; daher ist f injektiv.
14
Achtung: Anders als bei Modulteilprüfungen gibt es nur eine Wiederholungsmöglichkeit,
nämlich entweder in der Nachklausur oder in einem Jahr am Ende der entsprechenden
Vorlesungen des SoSe 09. Zur Nachklausur ist nur zugelassen, wer an der Klausur teilgenommen, diese aber nicht bestanden hat — oder sich dazu angemeldet hat, aber nicht
angetreten ist (dann wird die Klausur aber mit 0 Punkten gewertet). An sich ist keine
besondere Anmeldung nötig: Wer zur Klausur antritt, ist angemeldet.
Rahmenbedingungen: Mobiltelefone und Laptops am besten nicht mitbringen; wenn
doch, dann ausschalten und tief in verschließbare Taschen versenken! Ebenso sind Bücher
und Skripten verboten, einziges Hilfsmittel ist ein eigenhändig handschriftlich hergestellter
DIN A4 –Spickzettel (keine Kopie!). Mitzubringen sind mindestens zwei funktionsfähige
Stifte als Schreibzeug, Taschenrechner und Schmierpapier, am besten auch Bleistift, Zirkel
und Lineal, um ggf. eine Skizze anzufertigen. Ebenso sind Personalausweis oder Studentenausweis mitzubringen. Jeder Betrugsversuch hat Ausschluss aus der Klausur und Note
6 zur Folge. Jeder Teilnehmer muss bis zum Ende der Klausur auf seinem Platz bleiben.
Toilettenbesuch nur einzeln und unter Zurücklassung allen Materials. Sitzordnung: Jede
zweite Reihe bleibt frei, zwischen Ihnen und Ihren nächsten Nachbarn sind mindestens
zwei Plätze frei zu halten.
Bis zu 100 Klausurpunkte können in der Nachklausur erreicht werden. Notenpunkte und
Noten ergeben sich daraus wie folgt. Nicht bestanden ist die Klausur mit
Klausurpunkten 0–9 10–18 19–27 28–36 37–45
Notenpunkten
0
1
2
3
4
Noten
6
5
5
5
5
Bestanden ist sie mit (Zeilen geben wieder Klausurpunkte, Notenpunkte, Note an)
46–50 51–55 56–60 61–65 66–70 71–75 76–80 81–85 86–90 91–95 96–100
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
4
4
3
3
3
2
2
2
1
1
1
Wer die Klausur nicht bestanden hat und sich gründlich auf die Nachklausur vorbereiten
will — oder wer anderweitig Nachhobedarf verspürt — möge an einem Repetitorium
teilnehmen. Dieses findet täglich von 17.00 (s.t.) bis 19 Uhr vom 1. bis 4. und vom 23. bis
26. September im Raum 902 der RMStr. 10 statt.
Es folgen einige Aufgaben für’s Repetitorium und zum Fitmachen für die Nachklausur.
15
1. Versuchen Sie, den Dreispiegelungssatz der ebenen Geometrie auf den R3 zu verallgemeinern, natürlich mit Beweis!
2. Gegeben ein reguläres Tetraeder im R3 , die Ecken seien von 1 bis 4 nummeriert.
Wir wissen schon, dass jede Permutation von {1, 2, 3, 4} durch eine Symmetriebewegung des Tetraeders realisiert werden kann. Um welchen Typ von Bewegung (Translation, Spiegelung, Drehung, Drehspiegelung?) handelt es sich bei den Permutationen
(1 2) , (1 2)(3 4) , (1 2 3) , (1 2 3 4) ?
3. f : V → V sei eine lineare Abbildung des Vektorraums V in sich, λ ∈ R ein Eigenwert
von f . Beweisen Sie, dass alle v ∈ V , welche f (v) = λv erfüllen, einen Untervektorraum
von V bilden (den sogenannten Eigenraum zu f und λ ).
4. a sei ein Vektor des R3 von der Länge 1 , und mit h , i sei wie üblich des euklidische
Skalarprodukt bezeichnet. Beschreiben Sie die Wirkung der beiden Abbildungen
x 7→ x − 2ha, xia
und
x 7→ −x + 2ha, xia
des R3 in sich und zeigen Sie, dass es sich um orthogonale Transformationen handelt.
Eigenwerte und Eigenvektoren? Tipp: Was machen diese Abbildungen mit Vektoren, welche
a) Vielfache von a oder b) orthogonal zu a sind?
5. Beschreiben Sie die Menge aller Punkte im R3 , welche von den beiden Geraden
{(−1, y, 0) | y ∈ R} und {(1, 0, z) | z ∈ R} gleichen Abstand haben, durch eine Gleichung
in x, y, z . Wenn Sie die entstehende Fläche mit der Ebene z = 0 schneiden, was für eine
Kurve ergibt sich dann? (Diese Frage können Sie schon beantworten, bevor Sie zu rechnen
anfangen.)
6. Berechnen Sie
1 −1
0 1
9
,
3
0 1 0
 0 0 1  ,
0 0 0

4
1 0 0
 2 1 0  .
0 0 1




2 0 3
−1 1 0
3 1




0 −2 0
1 4 1
.
und
,
7. Berechnen Sie alle Eigenwerte von
0 3
3 0 1
0 1 −1
Bestimmen Sie zu jedem Eigenwert den Eigenraum (s. Aufg. 3).

8. Zeigen Sie mit Hilfe von Vektoren und Skalarprodukt: Ein Parallelogramm ist genau
dann eine Raute (also mit gleichlangen Seiten), wenn die Diagonalen senkrecht aufeinander
stehen.
9. Beschreiben Sie die Projektionen des R3 in Grundriss– und Aufrissebene durch Matrizen!
16