Übungsaufgaben zu komplexen Zahlen

Übungsaufgaben zu komplexen Zahlen
Aufgabe 1 Umrechnung zwischen den verschiedenen Darstellungsformen komplexer Zahlen.
• kartesische Form z = a + i b , a, b ∈ R,
• trigonometrische Form z = r · (cos φ + i sin φ),
• Exponentialform z = e i φ .
Dabei gilt
p
a2 + b 2,
‚ Œ
b
.
φ = arg z = arctan
a
r = |z| =
a) z = 5 + i12, b) z = 3 − i2, c) z = −4 − i6, d) z = −i + 0, 4,
e) z = 4 · (cos 315◦ + i sin 315◦ ), f) z = 1, 5 · (cos 108◦ + i sin 108◦ ),
g) z = 5 · e i 2,56 , h) z = 0, 8 · e −i 1,2 .
In g) und h) ist der Winkel φ in rad angegeben.
Für die Aufgaben 2 und 3 rechne man mit den Zahlen
z1 = −2 + i 3,
z2 = 3 − i5,
z3 = 2 + i.
Aufgabe 2
Berechnen Sie die folgenden Zahlen:
a) z = z1 + z2 + z3 , b) z = z1 − z2 − z3 ,
Aufgabe 3
Berechnen Sie die folgenden Zahlen:
a) z = z1 · z2 , b) z = 2 · z1z·z2 , c) z =
3
c) z = 2 · z1 + 12 · z2 − 4 · z3 .
z1 ·z3
.
z2
Aufgabe 4
Berechnen Sie die folgenden Zahlen und stellen Sie sie in der Gaußschen Zahlenebene dar!
Dabei gilt, daß die n. Wurzeln aus der komplexen Zahl z = r · e iφ gegeben sind durch
p
n
p
a) z = 3 −8,
p
5
b) z = −i,
p
n
(φ+2πk)
r · ei n ,
p
z = 3 3 + i4.
z=
k = 0, 1, . . . , n − 1.