MATHEMATIK II

Fachhochschule Münster
Fachbereich Maschinenbau
Prof. Dr. L. Göllmann
M ATHEMATIK II - SS 2017
9. Ü BUNGSBLATT ANALYSIS
Aufgabe 41
Untersuchen Sie die folgenden skalaren Felder auf lokale Extrema
a) f ( x, y) = x2 − 2x + y2 + 1
b) f ( x, y) = e−( x
2 + y2 )+2( x − y −1)
c) f ( x, y) = 13 x3 − x − y2
Aufgabe 42
Berechnen Sie die folgenden Integrale
R
a)
dS, wobei S = { x ∈ R2 : k~x k < R} Kreisscheibe im R2 mit Radius R um den
S
Nullpunkt.
Interpretieren Sie das Ergebnis.
b)
R1 Rx
c)
R
tet dt dx
0 1
xy dS, wobei S = [0, 1] × [0, 2] = {( x, y) : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ x ≤ 2}
S
d)
RR Rπ 2π
R
r2 sin θ dϕ dθ dr
0 0 0
Aufgabe 43
Berechnen Sie das Kurvenintegral
R
~v(~x ) · d~x mit ~v(~x ) = ( xy2 , x2 y, 0)T für die durch die
c
folgenden Raumkurven gegebenen Integrationswege c
a) ~x (t) = (t, t, 0) T , wobei t ∈ [0, 1].
b) ~x (t) = (t, t2 , 0) T , wobei t ∈ [0, 1].
Berechnen Sie die folgenden Ringintegrale, über den durch die Raumkurve x (t) = (cos t, sin t, cos t) T
mit t ∈ [0, 2π ] gegebenen Integrationsweg c. Zeigen Sie zuvor, dass dieser Integrationsweg
tatsächlich geschlossen ist.
H
c) (− x2 , x3 , x1 ) T · d~x
c
1
d)
H
~v(~x ) · d~x für ~v(~x ) = ( xy2 , x2 y, 0)T (vgl. Aufgabe 22).
c
Berechnen Sie grad U für U (~x ) =
der Vorlesung auf?
1 2 2
2x y .
Was fällt im Zusammenhang mit Satz (7.6)
Zeigen Sie die Gültigkeit der Integrabilitätsbedingung rot ~v := ∇ T × ~v = ~0 wobei
∇ = (∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z).
Aufgabe 44
Berechnen Sie jeweils die L APLACE-Transformierte
ω,
t ∈ [0, ∞)
a) ϕω (t) =
wobei ω ∈ R.
0,
t ∈ (−∞, 0)
1,
t ∈ [ a, ∞)
wobei a > 0 (allg. H EAVISIDE-Funktion).
b) h(t − a) = ϕ1 (t − a) =
0,
t ∈ (−∞, a)
Für die folgenden Funktionen werde nun vorausgesetzt, dass sie auf dem Intervall der negativen Zahlen (−∞, 0) verschwinden, d.h. f (t) = 0 für t < 0. Berechnen Sie auch hier
jeweils die Bildfunktion.
c) f (t) = t2
d) f (t) = (t − 1)2 − 2t
e) f (t) = t3 e−2t
f) f (t) = e−at cos(ωt).
Bestimmen Sie nun umgekehrt jeweils zur angegebenen Bildfunktion der L APLACE-Transformation eine korrespondierende Originalfunktion.
g) F (s) =
1
s −1
h) F (s) =
1
s3
i) F (s) =
12
( s +3)4
j) F (s) =
2s+1
s2
1
k) F (s) = 4 s+
, Hinweis: Aufgabe d) und Ähnlichkeitssatz
s2
l) F (s) =
m) F (s) =
n) F (s) =
ω
s2
2
k + kω
, Hinweis: sin(ωt)
1
,
(s−1)(s+2)
8
,
s3 + s
◦−•
ω
s2 + ω 2
Hinweis: Faltungssatz
Hinweis: Faltungssatz und sin t
◦−•
1
s2 +1
Aufgabe 45
Lösen Sie folgende Anfangswertaufgaben
a) Durch Trennung der Variablen: ẋ = exp(1 − x ) sin t,
x (π ) = 2
b) Durch Variation der Konstanten: ẋ = t2 − x,
x (−1) = 1
c) Durch L APLACE-Transformation: ẋ + x = 1,
x (0) = 0
d) Durch L APLACE-Transformation: ẍ − ẋ = 3,
x (0) = 1,
e) Durch L APLACE-Transformation: ẍ = cos t − ω 2 x,
ẋ (0) = 0
x (0) = 1,
ẋ (0) = 0,
f) Durch eine von Ihnen auszuwählende
Methode: ẋ = 2t(1 + x2 ) cos(t2 + 1),
√
mit dem Anfangswert
x ( π − 1) = 0
2
ω 6= 1