Mathematischer Vorkurs

Fachbereich Physik
Prof. Dr. Bernd Stühn
Dipl. Phys. Markus Domschke
Sommersemester 2009
2. April 2009
Mathematischer Vorkurs
Übung 2
1 Berechnen mit Hilfe von i =
a)
p
p
−1:
p
p
b) −144
4−7
c) p
5
d)
−4
p
4 · (−25)
2 Berechnen Sie:
a) i 8
b) i 15
c) (−i)3
d) ((−i)2 )5
3 Schraffieren Sie in der Gaußschen Zahlenebene die Menge komplexer Zahlen, die wie folgt bestimmt ist:
a) |z| =
p
2
b) |z| >
p
2
c) 1 ≤ |z| <
p
5
4 Berechnen Sie die (komplexen) Lösungen folgender quadratischen Gleichungen:
b) x 2 + 23 x + 25
=0
16
a) x 2 + 4x + 13 = 0
p
c) x 2 − 2i 2x + 1 = 0
d) 16x 2 + 8(i + 1)x + 2(i + 92 ) = 0
5 Bringen Sie die komplexe Zahl z = r(cos φ + i sin φ) in die Form z = x + i y .
a) z = 5(cos π3 + i sin π3 )
b) z = 2(cos π2 + i sin π2 )
c) z = 4(cos π4 − i sin π4 )
d) z = 3(cos 23 π − i sin 23 π)
6 Drücken Sie die Zahl z = x + i y jeweils durch r und φ aus:
a) z = i − 1
b) z = −2i
c) z =
p
d) z = −3(1 + i)
3+i
7 Berechnen Sie mit Hilfe der Eulerschen Formel:
a) e−iπ
b) e
i
π
2
c) e
5
−i π
2
d) e
i
π
3
8 Berechnen Sie anhand der folgend gegebenen Werte für e iΦ und e−iΦ die Werte Φ, cos Φ und sin Φ:
e−iΦ = 1
a) e iΦ = 1,
b) e iΦ = −1, e−iΦ = −1
p
p
d) e iΦ = 21 3 + 2i , e−iΦ = 12 3 − 2i
e−iΦ = i
c) e iΦ = −i,
9 Berechnen Sie aus z1 und z2 das Produkt z = z1 · z2 sowie den Quotienten Z =
a) z1 = 1 + i,
i π2
c) z1 = 2e ,
z2 = 1 − i
b) z1 = 3 − 2i,
z2 = 12 e i
d) z1 = 21 e ,
i π4
π
2
z1∗
z2
:
z2 = 5 + 4i
z2 = 32 e−i
3π
4
10 Machen Sie den Nenner der folgenden Brüche reell:
p
a) p
3−
p
2i
p
3 + 2i
i
(i + 1)
d)
8−i
11
5i
b) p
p
2 − 3i
e) (5 − i) · (6 − i)
5−i
p
p
p
1 − a + 1 + ai
c) p
−p
p
p
1 + a − 1 − ai
1 − a − 1 + ai
p
1+a+
1 − ai
6−i
a) Geben Sie die Ausdrücke
(i − 1)4
und
10 + 2i
10 − 2i
in der Form z = Re(z) + i I m(z) an.
b) Stellen Sie −5, i und (i − 1) in Polarkoordinaten dar und verifizieren Sie das Ergebnis von
(i − 1)4 aus Teil a)
c) Lösen Sie die Gleichungen
z 2 = −5
und
z5 =
p
3 − i,
indem Sie die Darstellung y = r exp(iφ) exp(i2πn) (n ist eine ganze Zahl) für die rechte Seite
der Gleichung benutzen.