3. Übungsblatt “Numerische Methoden in der Chemie” SoSe 2017

3. Übungsblatt “Numerische Methoden in der Chemie” SoSe 2017
15. Mai 2017
1) Stellen Sie die folgenden komplexen Zahlen in der Form a + ib
dar:
a)r2 = 2
φ2 = 180◦
b)r3 = 4
φ3 = 225◦
2) Geben Sie z1 , . . . , z4 in der Polarform an.
z1 = 1 +
√
3 i z2 =
√
3 − i z3 = z1 · z2 z4 =
z1
z2
3) Geben Sie z in der Form z = a + ib an.
iπ/2
a) z = e
−iπ
−e
2i
b) z = π
iπ
1 − e− 2 i e
2
4) Berechnen Sie |z| für folgende Ausdrücke.
iπ
a) z1 =
e−3+ 4 ·(1−i)
(5−2i)∗ (i+1)∗
b) z2 =
e−iα
1−iζeiα
(ζ, α reell, 0 ≤ α < 2π)
c) Für welche ζ, α in b) wird der Nenner von z2 null?
5) Man berechne
a) alle 3. Wurzeln aus z in der Form a + ib, mit
iπ iπ
z
=
exp −
· Re e 4
|1 + i|
√
b) beide Ausdrücke für e z , mit
z
=
√
π2
(1 + 3 i)
2
6) Zeigen Sie mit Hilfe der Eulerschen Formel, dass gilt:
a) cos2 x + sin2 x = 1
b) cos(x + y) = cos(x) cos(y) − sin(x) sin(y)
c) sin(x + y) = sin(x) cos(y) + sin(y) cos(x)