Mathematische Methoden I (WS 10/11)

Mathematische Methoden I (WS 10/11)
Übung VII (Abgabe: 29.11.10)
1. Moivre-Formel (3 Punkte)
Ausgehend von den jeweiligen Potenzreihen weisen Sie für z = |z|eiφ den Zusam-
menhang z n = |z|n (cos(nφ) + i sin(nφ)) nach. Stellen Sie sin z und cos z durch
eiz und e−iz dar. Weisen Sie für die hyperbolischen Funktionen die Darstellungen
sinh z =
sin(iz)
i
sowie cosh z = cos(iz) nach.
2. Dies und das (4 Punkte)
(a) Ist die Funktion f (z) = zz ∗ , mit z ∈ C, analytisch?
(b) Gilt für beliebige komplexe Zahlen die Relation cos2 z + sin2 z = 1?
√
(c) Was ist ii ?
(d) Was ist ln(ie)?
3. Polarform (3 Punkte)
Bringen Sie folgende komplexe Ausdrücke in die Polarform:
(a) z 1/3
−2i
,
√ (b) ln i + 3 ,
(c)
(1+i)4
.
(1−i)4
4. Punktmengen (3 Punkte)
Welche Figur bilden die Punktmengen, für die gilt:
(a) Im z + Re z = 1,
(b) |z + 1| + |z − 1| = 8,
(c) 1 < (z − 1)(z ∗ − 1) < 2.
5. Konvergenzradius (1 Punkt)
Bestimmen Sie die Konvergenzeigenschaften folgender komplexer Reihen:
(a)
(b)
∞
P
2n
z
(−1)n (2n)!
,
n=0
∞
P
n=0
1
.
zn
6. Ringintegral (3 Punkte)
Bestimmen Sie die Residuen von
eaz
,
f (z) =
(z + 1)(z + 2)
wobei a ∈ R und z ∈ C. Berechnen Sie das Ringintegral
‰
dz f (z),
C
wobei der Integrationsweg C ein Kreis der Form |z − 2| = 5 sei (Umlaufsinn
positiv).
7. Integration mit Residuensatz (5 Punkte)
Berechnen Sie mit Hilfe des Residuensatzes das Integral
ˆ∞
dx
cos x
, mit x ∈ R.
x2 + 4
−∞
Hinweis: Schreiben Sie cos x mit Hilfe von Exponentialfunktionen und überlegen
Sie, ob das jeweilige Integral in der oberen oder unteren Halbebene geschlossen
werden muss. Achten Sie auf den Umlaufsinn“ der Integration.
”